预习01 条件概率与事件的独立性（七大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习01 条件概率与事件的独立性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实际问题； 2．能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率． 3．会判断事件的独立性，并能利用公式求解实际问题. 知识点一、条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③条件概率的性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即． （2）. （3）如果B与C是两个互斥事件，则． （4）设与B互为对立事件，则 知识点二、全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 知识点三、独立性与条件概率的关系 1、当时，事件A与事件B相互独立的充要条件是． 这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 2、判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 考点一：条件概率的计算 例1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（多选）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 变式1-2．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为 ． 变式1-3．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 考点二：条件概率的性质及应用 例2．（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 变式2-3．对于随机事件，若，，，则 . 考点三：全概率公式的应用 例3．一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（   ） A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32 变式3-1．已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 变式3-3．若，，，则 . 考点四：贝叶斯公式的应用 例4．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 变式4-3．某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 考点五：相互独立事件的判断 例5．已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 变式5-1．事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 变式5-2．（多选）甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（   ） A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件 B．事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C．事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件 D．事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件 变式5-3．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． 考点六：相互独立事件的概率问题 例6．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 变式6-2．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 变式6-3．篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试，测试规定每支球队三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和为2分或以上视通过测试.现有甲、乙、丙组队参与投球测试，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. (1)求乙、丙两人各自命中的概率; (2)求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率. 考点七：概率的综合 例7．设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 变式7-1．已知，下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若事件A，B相互独立，则；⑤若事件A，B相互独立，则；正确的有（    ） A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤ 变式7-2．甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 变式7-3．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. (1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率； (2)求甲校以3:1获胜的概率. 一、单选题 1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 3．从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 4．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 6．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（    ） A．事件，，两两互斥 B． C． D．事件，相互独立 二、多选题 7．已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 8．随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 三、填空题 9．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 10．某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 11．甲乙两人掷骰子，约定掷出质数甲得一分，掷出合数乙得一分，并约定先达到两分者获胜，此时游戏结束.问：若最多进行三局，则甲胜的概率是 ；恰好进行三局游戏结束的概率是 四、解答题 12．甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． (1)求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 13．将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 14．小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 15．某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习01 条件概率与事件的独立性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实际问题； 2．能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率． 3．会判断事件的独立性，并能利用公式求解实际问题. 知识点一、条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③条件概率的性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即． （2）. （3）如果B与C是两个互斥事件，则． （4）设与B互为对立事件，则 知识点二、全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 知识点三、独立性与条件概率的关系 1、当时，事件A与事件B相互独立的充要条件是． 这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 2、判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 考点一：条件概率的计算 例1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 变式1-1．（多选）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，当输入时，收到的概率为，收到，的概率分别为， 故收到的信号字母变的概率为．又信号的传输相互独立， 从而当输入时，输出的信号只有三个的概率为，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，， ， 所以，故D正确． 故选：CD． 变式1-2．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为 ． 【答案】/ 【详解】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为， 依题意可得样本空间，其包含的样本点有个． 记事件“”，则事件包含的样本点为，，，，，，，，，，共个． 记事件“”，则事件“且”， 其包含的样本点有，，，，，，，，，共个， 所以由条件概率公式知． 故答案为： 变式1-3．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】/0.75 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 考点二：条件概率的性质及应用 例2．（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 变式2-1．（多选）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D：，故不正确． 故选：ABD. 变式2-2．（多选）已知，为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若和是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】AD 【详解】对于选项A：因为， 所以，故A正确． 对于选项B：，故B错误． 对于选项C：若B和C是两个互斥事件， 则， 且， 因为与不一定相等， 则不一定相等，故C错误； 对于选项D：因为，所以． ，故D正确． 故选：AD. 变式2-3．对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】，又， 所以， 因为，所以. 故答案为： 考点三：全概率公式的应用 例3．一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（   ） A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32 【答案】C 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 变式3-1．已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 变式3-2．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 故选：BC 变式3-3．若，，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 考点四：贝叶斯公式的应用 例4．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 变式4-1．现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 变式4-2．某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 变式4-3．某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 考点五：相互独立事件的判断 例5．已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 【答案】D 【详解】解：，得， 又，故事件与事件相互独立， 故选：D. 变式5-1．事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【详解】由对立事件的概率公式可得， 因为，即，可得， 所以，，因此，事件与事件独立. 故选：C. 变式5-2．（多选）甲、乙两人各投掷一枚骰子一次，下列说法正确的是（   ） A．事件“甲投得1点”与事件“甲投得5点”是互斥事件 B．事件“甲投得1点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件 C．事件“甲投得奇数点”与事件“乙投得偶数点”是对立事件 D．事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件 【答案】ABD 【详解】在A中，甲、乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得1点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，A正确； 在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得1点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件，B正确； 在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲投得奇数点”与件“乙投得偶数点”可同时发生，故不是对立事件，故C错误； 在D中，“甲投得1点”的概率为，“甲、乙点数之和为7”，包括共有6种情况，概率为， “甲投得1点且甲、乙点数之和为7”只包括这种情况，故概率为，由于， 故事件“甲投得1点”与事件“甲、乙点数之和为7”是相互独立事件，D正确. 故选：ABD． 变式5-3．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，若用x表示红色骰子正面朝上的点数，用y表示绿色骰子正面朝上的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”． (1)判断事件A，B是否相互独立； (2)分别求事件和C的概率． 【答案】(1)不相互独立 (2)；. 【详解】（1）解：由题可知，事件“”，事件“至少有一颗骰子的点数为5”， 则事件的所有情况为：，共5种情况， 所以， 事件的所有情况为：， 共11种情况，所以， 事件的所有情况为：，所以， ，所以与不相互独立. （2）， 事件“”，事件的所有情况为： ，共12种情况， 所以. 考点六：相互独立事件的概率问题 例6．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”， 则，，， 故， 故恰好有一轮获胜的概率． 故选：A. 变式6-1．甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 【答案】BD 【详解】A，若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，故第二次由乙发球的概率为，故A错误； B，甲先得一分的概率为，故B正确； C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误； D，前两次发球都由甲得分的概率为， 则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确． 故选：BD 变式6-2．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 【答案】3 【详解】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 变式6-3．篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试，测试规定每支球队三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和为2分或以上视通过测试.现有甲、乙、丙组队参与投球测试，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. (1)求乙、丙两人各自命中的概率; (2)求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率. 【答案】(1)乙、丙两人各自命中的概率分别为. (2) 【详解】（1）设乙、丙两人各自命中的概率分别为，每人是否命中互不影响， 故， 解得， 故乙、丙两人各自命中的概率分别为. （2）甲、乙、丙这支球队通过投球测试，则三人得分和为2分或3分. 三人得分和为3分，即甲、乙、丙三人均命中，概率为， 三人得分和为2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中， 其概率为， 故甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率为. 考点七：概率的综合 例7．设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】①：由是互斥事件，则，故①错误； ②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故选：D. 变式7-1．已知，下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若事件A，B相互独立，则；⑤若事件A，B相互独立，则；正确的有（    ） A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【详解】因为， ①若，则，故①正确； ②若，，因为的值不确定，故②错误； ③若，则，即③错误； ④若事件A，B相互独立，则，所以④正确； ⑤若事件A，B相互独立，则，可知⑤正确. 故选：D 变式7-2．甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 【答案】 【详解】分两类讨论： （1）第一次摸球甲小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，两个小朋友摸出的球均为白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，两个小朋友摸的球均为黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； （2）第一次摸球乙小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，甲小朋友摸到白球、乙小朋友摸到黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，甲小朋友摸到黄球、乙小朋友摸到白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率． 综上所述，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率． 故答案为：. 变式7-3．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. (1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率； (2)求甲校以3:1获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下： 甲校连胜3局，概率为； 乙校连胜3局，概率为. 故恰好比赛三局，比赛结束的概率. （2）甲校以3:1获胜的情况如下： ①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜， 概率为； ②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜， 概率为. 故甲校以3:1获胜的概率. 一、单选题 1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件， ， 故，， 所以， 即谜题没被破解的概率为． 故选：C． 2．已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 3．从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 由题意得，， 所以. 故选：D. 4．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：由题意知，，故A错误； B：由题意知，，故B错误； C：事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 所以A与独立，则，故C正确； D： ，故D错误． 故选：C 5．某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 【答案】C 【详解】记事件使用新药，则不使用新药，病人3天病愈， 依题意， ， 所以. 故选：C 6．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（    ） A．事件，，两两互斥 B． C． D．事件，相互独立 【答案】C 【详解】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，， 对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，， ，所以事件，相互独立，故D正确； 故选：C 二、多选题 7．已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 8．随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 三、填空题 9．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】/0.06 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 10．某同学第1天午餐时随机选择中的一家就餐，若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.6；若第1天去餐厅，则第2天去餐厅的概率为0.8．则该同学第2天去餐厅的概率为 ． 【答案】0.3/ 【详解】设“第天去餐厅就餐”，“第天去餐厅就餐”， 则对立且， 所以． 故答案为：0.3. 11．甲乙两人掷骰子，约定掷出质数甲得一分，掷出合数乙得一分，并约定先达到两分者获胜，此时游戏结束.问：若最多进行三局，则甲胜的概率是 ；恰好进行三局游戏结束的概率是 【答案】 【详解】因为1，2，3，4，5，6中质数有2，3，5，合数有4，6， 所以掷出质数的概率为，掷出合数的概率为， 所以甲胜的概率为，乙胜的概率为， 若最多进行三局，则甲胜的情况有三种情况： 第一种是甲连胜两局，概率为； 第二种是第一局乙胜，第二局和第三局甲胜，概率为； 第三种是第一局甲胜，第二局乙胜，第三局甲胜 ，概率为. 所以若最多进行三局，则甲胜的概率为. 恰好进行三局游戏结束的情况有4种： 第一种是第一局乙胜，第二局和第三局甲胜，概率为； 第二种是第一局甲胜，第二局乙胜，第三局甲胜 ，概率为； 第三种是第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜 ，概率为； 第二种是第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜 ，概率为. 所以恰好进行三局游戏结束的概率为. 故答案为：；. 四、解答题 12．甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． (1)求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为. （2）由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为. 13．将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）投掷骰子2次得到的所有结果为： 共16种， 事件A包含的结果有：共10种， 则. （2）事件AB包含的结果有：共2种，则， . 14．小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路． 由全概率公式，得 ． 所以小张从家到公司不迟到的概率是． （2）． 所以他选择第一条路的概率约是． 15．某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】(1)①② (2) 【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$