精品解析：K12重庆市2025-20262025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

K12重庆市2025-2026学年度上期期中质量检测八年级数学试题 总分：150分时间：120分钟 一．选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列给出的四组条件，能画出形状和大小都确定的的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知在△ABC中，∠A=∠B —∠C，则△ABC为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 6. 如图，点A，B分别是的两边，上的点，连接，已知OG平分，平分，与交于点P，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二．填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为_________． 12. 已知中，，，长为奇数，那么三角形的周长是__________． 13. 如图，点A在上，，，，则的度数为________． 14. 如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为______． 15. 如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为__． 16. 一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为，3762是“小明数”．最大的“小明数”是_____；去掉十位数字c得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是_____ 三．解答题（本题9个小题，其中17-18题各8分，19-25题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 一个等腰三角形的周长是． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为，求各边的长． 18. 在平面直角坐标系中，已知点 （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值并写出P点坐标． 19. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究：从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算），过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线吗？现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④ ． 20. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出、的坐标； （2）计算的面积； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 21. 如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由． 22. 如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若、的角平分线交于点F，求的度数． 23. 如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N． （1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，则∠EMA＝　 　（度）； （2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，则∠ENC＝　 　（度）； （3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 24. 在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，如果，则________度． （2）设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 25. 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ K12重庆市2025-2026学年度上期期中质量检测八年级数学试题 总分：150分时间：120分钟 一．选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列给出的四组条件，能画出形状和大小都确定的的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：、，，，不符合构成三角形的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 、因为不是和的夹角，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 、，，，符合全等三角形的判定定理，所以能画出形状、大小确定的三角形，故符合题意； 、，，，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，根据点的平移规则：左减右加，关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴点向左平移4个单位长度得到点，即：； ∴点关于轴对称的点的坐标为：； 故选A． 4. 下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 5. 已知在△ABC中，∠A=∠B —∠C，则△ABC为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠C+∠B=180°，∴∠B﹣∠C +∠C+∠B=180°，∠B=90°．则该三角形是直角三角形．故选C． 考点：三角形内角和定理． 6. 如图，点A，B分别是的两边，上的点，连接，已知OG平分，平分，与交于点P，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线定义，得到，，利用三角形的外角性质，即可得到结果． 【详解】解：平分，， ， 平分，， ， 是△的外角， ， 即， 故选：B． 7. 如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形两个底角相等，可得：，，根据传递性，可得：，再根据三角形外角等于其不相邻的两个内角的和，可得：，再根据，得到：，最后根据三角形内角和为，可得：，解出即可得到的大小． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵ ∴ ∴（三角形内角和为） ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与定理． 8. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 10. 有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式串的操作规律，通过分析每次操作后整式个数的变化规律和整式和的变化规律，判断各结论的正误，整式个数遵循 的规律，整式和每次操作增加2. 【详解】解：∵初始整式串：，和为 第一次操作后整式串：，个数为 ，和为 第二次操作后整式串：，个数为 ，和为 第三次操作后整式串个数应为 ，故①错误 第 次操作后整式个数为 ，故②正确 第 次操作后整式和为 ， ∴ 第2025次操作后和为 ，故③错误 ∵，故④正确 综上，正确结论有②和④，共2个， 故选：B. 二．填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，外角和定理．根据题意设正多边形每个外角度数为x，则每个内角为，再利用多边形内角与外角互补列出方程求得每个外角度数，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：设正多边形每个外角度数为x， ∵一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多， ∴每个内角为， ∴，解得：， ∴这个多边形的边数为：， 故答案为：． 12. 已知中，，，长为奇数，那么三角形的周长是__________． 【答案】18或20 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据BC为奇数和取值范围确定三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜BC＜8+3， 即：5＜BC＜11， ∵BC为奇数， ∴BC的长为7或9， ∴三角形的周长为18或20. 故答案为：18或20. 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理即三角形任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边． 13. 如图，点A在上，，，，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明，则，再结合对顶角和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：设、相交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．先证明，求得，再由三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又E为的中点， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为__． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长． 【详解】解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC角平分线交点， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线 16. 一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为，3762是“小明数”．最大的“小明数”是_____；去掉十位数字c得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是_____ 【答案】 ①. 8712 ②. 1287 【解析】 【分析】本题考查了新定义，列代数式，整式的加减，理解“小明数”的定义是解题的关键．根据题意可知最大的“小明数”千位为8，进而得出根据a、b、c、d互不相同且均不为0，得出；根据题意， ，代入，结合其结果为正整数，进而得出能被10整除，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵a、b、c、d互不相同且均不为0， ∴时，最大， ∴， ∴， ∴最大的“小明数”是； ②M为四位数，则， ∵去掉十位数字c得到新三位数， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入， 则， ∵为正整数，， ∴能被10整除， 设 当时，，无正整数解， 当时，，无正整数解， 当时，，当时，满足条件，此时最小， ∴， 则满足为正整数的最小“小明数”是1287． 故答案为：1287． 三．解答题（本题9个小题，其中17-18题各8分，19-25题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 一个等腰三角形的周长是． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为，求各边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长是，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【小问1详解】 设底边长为，则腰长是， ， 解得：， 所以， 故该等腰三角形的各边长为：； 【小问2详解】 ①若底边长为 7 cm ，设腰长为， 则：， 得：，所以三边长分别为：， ②若腰长为 7 cm ，设底边长为，则：，得， 又因为， 故舍去，综上所述，该等腰三角形的三边长分别为： 18. 在平面直角坐标系中，已知点 （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值并写出P点坐标． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）点P的坐标为 （3）或，点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （3）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当点在轴上时，得， 解得：， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点到x轴，y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得：或； 当时， ， 则点P的坐标为． 当m=时， ， 则点P坐标为， 综上所述，或，点P的坐标为或． 19. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究：从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算），过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线吗？现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④ ． 【答案】 第一步：作图如下： 第二步：①；②；③；④过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出，即可解答． 【详解】解：第一步：略 第二步：证明：， ． 在和中， ， ． ， 平分． 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 20. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出、的坐标； （2）计算的面积； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，即为所求；, , （2）3 （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形，直接写出对应点坐标即可； （2）利用网格即可求出的面积； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：要使与全等，则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 21. 如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】 解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．先证明，得出，，再由三角形内角和定理即可判断出； 【详解】略 22. 如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若、的角平分线交于点F，求的度数． 【答案】（1） 证明：， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据“”证明全等即可； （2）连接，由全等三角形的性质，得到，再结合角平分线的定义和三角形内角和定理得出，然后证明，从而推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N． （1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，则∠EMA＝　 　（度）； （2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，则∠ENC＝　 　（度）； （3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）85；（2）80；（3）∠F＝（∠B+∠D）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求得∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF，利用角平分线的性质可证得∠B+∠D＝2∠F，从而求得答案. 【详解】（1）∵EF为∠BED的平分线，∠BED＝30°， ∴∠DEM＝∠FEN＝∠BED＝15°． 又∵∠EMA＝∠D+∠DEM，∠D＝70°， ∴∠EMA＝85°． 故答案为：85°． （2）∵CF为∠BCD的平分线，∠BCD＝40°， ∴∠BCN＝∠FCM＝∠BCD＝20°． 又∵∠ENC＝∠B+∠BCN，∠B＝60°， ∴∠ENC＝80°． 故答案为：80°． （3）∠F＝（∠B+∠D）． 证明：∵∠EMA＝∠D+∠DEF＝∠F+∠DCF， ∠ENC＝∠B+∠BCF＝∠F+∠BEF， ∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF． 又∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线， ∴∠DEF＝∠BEF，∠DCF＝∠BCF． ∴∠B+∠D＝2∠F． 即：∠F＝（∠B+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，主要考查学生的计算能力和推理能力． 24. 在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，如果，则________度． （2）设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】（1）90 （2） ①，理由如下： 由题（1）知， ， ， ， ； ②，理由如下： 类比题（1），可得， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，得，即可证明； （2）②与（1）同理，得，则根据即可证明；②与（1）同理，得，再根据即可证明． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：90； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 25. 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 【答案】 （1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）AD﹣AB＝2BE （3）3． 【解析】 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $