专题04 解直角三角形5大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期沪科版

专题04 解直角三角形（期末真题汇编，安徽专用） 5大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 解直角三角形的实际应用 考点04 求锐角三角函数的常见方法 考点05 锐角三角函数应用的常见模型 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在中，．若．则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽·期末）计算： ． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）的值为 ． 6．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）计算：． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）计算： 9．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在中，，是边上的高，，求和． 6．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 地 城 考点03 解直角三角形的实际应用 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能 ．（参考数据：，）    三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 地 城 考点04 求锐角三角函数的常见方法 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知，均为锐角，请利用网格图计算：若，，则（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，，，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如果是锐角，且，那么的值是 ． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若E为中点，则 ；若，则 ． 地 城 考点05 锐角三角函数应用的常见模型 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽池州·期末）如图，一个小球由坡底沿着坡比为的坡面前进了12米，此时小球在竖直方向上升了（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 二、解答题 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，） (1)求地面雷达站到发射处的水平距离； (2)这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1） 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据： ） 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形（期末真题汇编，安徽专用） 5大高频考点概览 考点01 锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 解直角三角形的实际应用 考点04 求锐角三角函数的常见方法 考点05 锐角三角函数应用的常见模型 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在中，．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作．根据正切函数的定义，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 二、填空题 4．（22-23九年级上·安徽·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】将的值代入计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了含有三角函数的混合运算，正确掌握sin30°的值是解题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为： 三、解答题 7．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键．先写出特殊角的三角函数值，然后再进行实数的运算即可． 【详解】解： ． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 9．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，根据等腰三角形性质求出，求出，解直角三角形求出、根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出，过点作于点，根据锐角三角函数值得到，，由即可求出，进而根据勾股定理可求出，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ， 过点作于点，如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， ∵ 设， ∵，, ∵， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，正确计算是解题的关键． 根据正切的定义即可求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为： 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在中，，是边上的高，，求和． 【答案】，； 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的正弦的定义，利用勾股定理求解 再求解 再利用勾股定理求解 由的正弦等于对边比斜边可得答案. 【详解】解：如图，，是边上的高，， ； 6．（23-24九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作，根据求出，再根据勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一的性质得到； （2）作，根据，得出，根据勾股定理得，即可得出； 【详解】（1）如图，过点作于点， ， ， 在中， ， ， ， 则． （2）如图，过点作于， ， ， ， 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，E为凸四边形内一点，，分别连接，已知：． (1)求证：； (2)连接，求证：． (3)如图2，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握手拉手相似模型，是解题的关键： （1）利用两角对应相等的两个三角形相似，即可得证明； （2）证明，得到，在中，，等量代换即可得出结论； （3）过点作，证明，得到，特殊角的三角函数值求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 解直角三角形的实际应用 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡的坡度，测得坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据坡度得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵背水坡的坡度，坝高， ∴，则， ∴， 即坡面 的长度为， 故选：C． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 在中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能 ．（参考数据：，）    【答案】 【分析】本题考查了斜坡的计算，运用正弦函数计算即可． 【详解】设斜坡爬行x米， ∵垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为， ∴， 解得(米)， ∵每爬1米耗能， ∴耗能为 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，由题意知，四边形是矩形，利用锐角三角函数解求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 即树高为． 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【答案】箱体的最高点C到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 【答案】(1) (2)海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角、三角形内角和定理等知识点，作垂线构造直角三角形、利用直角三角形的边角间关系求解是解决本题的关键． （1）由方位角结合平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可得的度数即可． （2）如图，过点A作，垂足为M，构造和，利用直角三角形的边角关系，可求出线段的长，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：海里，， ， ， ， ∴． ， ． ． （2）解：如图，过点A作，垂足为M． 在中， 海里，， ∴， 海里，海里． 在中，， （海里）， （海里）． 答：考察船在点B处与小岛C之间的距离为10.7海里． 地 城 考点04 求锐角三角函数的常见方法 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知，均为锐角，请利用网格图计算：若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意画出图形进行分析是解题的关键．在中，，在中，，利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，从而可得，，进而可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    在中，， 在中，， 由题意得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故选：D． 2．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，，，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交于点D，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如果是锐角，且，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在，，，由，可设，则，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，在，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若E为中点，则 ；若，则 ． 【答案】 2 / 【分析】连接，根据相似三角形计算即可求；把的角放到直角三角形中，所以过作所在直线，利用角平分线的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形求解即可得答案． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，且， ，， ， ， 为中点， ； 过点作，交的延长线于点，如图， 在中，， ，， ，， 即， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ∵， ， ∵，， ． 故答案为：2；． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线． 地 城 考点05 锐角三角函数应用的常见模型 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽池州·期末）如图，一个小球由坡底沿着坡比为的坡面前进了12米，此时小球在竖直方向上升了（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵， ∴设， 由勾股定理得， ，即， 解得：， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查了坡度坡角，勾股定理，正确掌握勾股定理以及坡角的定义是解题关键． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， ∵走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 二、解答题 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，易得，根据坡度以及特殊角的三角函数值，解直角三角形进行求解即可。 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则四边形是矩形， 则， ∵斜坡的坡比， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：斜坡、的长分别是，． 4．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，） (1)求地面雷达站到发射处的水平距离； (2)这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）在中，解直角三角形即可； （2）在中，求出的长，在中求出的长，进而求出的长，利用速度等于路程除以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 答：雷达站到发射处的水平距离为； （2）在中，， 在中，， ∴， ∴速度为， 答：这枚火箭从到的平均速度为． 5．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据： ） 【答案】70米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 作于，于，根据坡度的概念求出的度数，根据正弦的定义求出，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出算式，求出，得到的长，根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点于点， 则四边形为矩形， ． 坡的坡度， ， ， 米． 在中，， ， 在中，， ． ， ， 解得米， （米）， （米）． 的高度约为70米． 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 【答案】米． 【分析】通过作辅助线构建直角三角形，利用三角函数关系和已知条件建立方程，求出建筑物超出测角仪部分的高度，进而得到建筑物的总高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：延长交于点H，由题意可得，四边形，，均为矩形， 米，米， 设米 ， 米 米，米 在中， ∴ 解得 米 ∴建筑物的高度为米． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $