九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（沪科版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 2．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记性质和定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据勾股定理求得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（2024·江西·模拟预测）已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数轴上两点之间的距离公式等知识点，掌握这些是解题的关键． 由已知可知：抛物线的开口向上，对称轴是直线，从而可知：点 A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧，计算这两点到对称轴的距离并比较大小，根据“开口向上的抛物线上的两点，到对称轴的距离大的点的纵坐标也大”可得结论． 【详解】解：抛物线的开口向上， 对称轴是直线 ，，， 点A，B分别在抛物线对称轴的左、右两侧， ， 且， ， 点A，B 都在抛物线上， 则根据抛物线的对称性可知：与的大小关系为 ． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 5．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（为常数，）图象上任一点，向轴和轴作垂线，以点及点的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点及点的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．先根据反比例函数求出的面积，再求出的面积，然后根据的几何意义即可求出的值 【详解】解:如图，设交轴于点， ∵轴，，， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴，则． 故选：D． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，B两点，且点B在直线的下方，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据点B在直线的下方推断出抛物线的对称轴在y轴的左侧，另外，应注意a的值不确定时，一定要分类讨论，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由题可得，直线与x轴交点为， ∵点B在直线的下方， ∴点B的横坐标小于2， ∴抛物线的对称轴直线，即对称轴直线在y轴左侧， ∴抛物线的顶点不可能在第一、四象限， ∴A正确，D错误； ∵a的正负不确定， ∴抛物线的开口方向无法确定， ∴B错误； 当时，抛物线与直线一定有两个交点，但当时，抛物线与直线可能有两个交点，可能有一个交点，也可能没有交点，三种情况均可能存在， ∴C错误． 故选：A 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 8．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有抛物线，则该抛物线的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由，则，异号，，同号， 、根据图象可知，，，， ∴， ∴满足，异号，，同号，符合题意； 、根据图象可知，，，， ∴， ∴不满足，异号，，同号，不符合题意； 、根据图象可知，，，， ∴， ∴不满足，同号，不符合题意； 、根据图象可知，，，， ∴， ∴不满足，同号，不符合题意； 故选：． 9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上截取连接，延长至H，使连接，可得出，进而推出 得出设则用勾股定理求出由可列方程解出x，即的长，由正切函数，求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：如图所示：在上截取连接，延长至H，使连接， 为正方形外角的平分线， 在和中， 在和中， ∴ 在和中， 设则 在中， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·青海玉树·模拟预测）在中，，，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意得到相应变之比即可得到答案； 【详解】解：中，，，， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B， 令，即， ∴ 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，m的值为4或． 故答案为：4或 13．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数，掌握相关知识是解决问题的关键．因为点坐标为，点为中点，根据矩形的性质，可得点坐标，则反比例函数解析式可求，进而求出点坐标，由勾股定理可求的长度． 【详解】解：四边形为矩形，且点坐标为，为中点， ，点的纵坐标是4， 将点坐标代入，得， 反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ，， ， 故答案为：． 14．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 16．（8分）（2023·浙江宁波·模拟预测）二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点． (1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点． 【答案】(1)；当时， (2)新抛物线与坐标轴的交点为，， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识． （1）设抛物线的顶点式为，再由抛物线过，可求出，即可得函数解析式，根据抛物线轴对称性的特点可求出抛物线与x轴的另一交点，借助二次函数的图象求出时，x的取值范围即可； （2）由题意点C平移到A，抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的顶点坐标，进而可得解析式，然后求出平移后图象与坐标轴的交点． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为， 抛物线过， ， 解得． ，即． 关于直线的对称点为， 当时，； （2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位， 则新图象顶点为， 由顶点式，可得， 当时，； 当时，， 新抛物线与坐标轴的交点为，，． 17．（8分）（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，则，，平分，所以，，，从而可证，所以，证明四边形 是平行四边形，又，故有四边形是矩形； （）由（）知四边形是矩形，则，由，设，则，证明， 所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）知四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， ∵平分交于点，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 18．（8分）（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 19．（10分）（2024·广东清远·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． （1）把点C坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，进而求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点B坐标，再根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 设反比例函数解析式为， ∵一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； ∵，且的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 20．（10分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 21．（12分）（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)关于的函数表达式为： (2)该生在此项考试中未得满分，理由见解析 (3)的值为或 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）①如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）结合题意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC； （2）根据（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC； （3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根据△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到. 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC 又∠APB=135°， ∴∠PAB+∠PBA=45°， ∴∠PBC=∠PAB， 又∵∠APB=∠BPC=135°， ∴△PAB∽△PBC； （2）∵△PAB∽△PBC， ∴， 在Rt△ABC中，AC=BC， ∴, ∴ ∴PA=2PC； （3） 过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°， ∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°, 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90° ∴∠EAP=∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即，∴ ∵△PAB∽△PBC， ∴ 即. 【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，其中第（3）问有一定难度，通过作辅助线构造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解题关键. 23．（14分）（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【沪科版】 时间：120分钟 满分：150分 测试范围：第21章 二次函数与反比例函数~第23章 解直角三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）已知点A，B都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴交于，B两点，且点B在直线的下方，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 7．（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为    （    ） A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．2 8．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有抛物线，则该抛物线的图像可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，连接交边于点N，则的长为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2025·青海玉树·模拟预测）在中，，，若，那么 ． 12．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 13．如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数是常数，的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ． 14．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 16．（8分）（2023·浙江宁波·模拟预测）二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点． (1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点． 17．（8分）（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．（8分）（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 19．（10分）（2024·广东清远·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是x轴上的一个动点，当的面积为2时，求点P的坐标． 20．（10分）（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 21．（12分）（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135° （1）求证：△PAB∽△PBC （2）求证：PA=2PC （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3 23．（14分）（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $