精品解析：湖南省隆回县第二中学2026届高三上学期期中数学试题

高三数学测试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数 的零点分别为a,b,c, 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若有零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 8. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、多选择题 9. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 将数列所有项排成如下数阵： … … 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则（ ） A. B. C. 位于第45行第89列 D. 2024在数阵中出现2次 三、填空题 12. 已知，，则__________. 13. 赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为__________． 14. 已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是__________． 四、解答题 15. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 在平面四边形ABCD中，，，，，且. （1）求线段CD的长度； （2）求四边形ABCD的面积. 17. 已知函数（且） （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）当时，证明：在上有唯一的极小值点. 18. 如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 19. 已知抛物线C：（）的焦点为F，准线上有一动点P，设A、B为抛物线C上的两点，当直线AB斜率为2时，A与B的中点的纵坐标为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过点P向抛物线引两条切线，若切点为A、B，且B在x轴下方， （ⅰ）求△APB面积最小时点P的坐标； （ⅱ）若，过点P作直线l交抛物线C于D，E两点，过D作PA的平行线，交AE于点G，交AB于点M，证明：M恰好是DG中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学测试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，确定集合，再结合集合的运算法则进行运算. 【详解】由集合，可得， 因此，， 故. 故选：C 2. 已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知，，，所以二次函数的图象开口向上， 且对称轴为,又时，，故C符合题意，ABD不符合题意. 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由函数的定义域为，得此式中，所以， 因此在函数中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：C 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案. 【详解】由题， ，且， ， 综上，，即. 故选：B. 5. 设函数 的零点分别为a,b,c, 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小. 【详解】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 6. 已知函数，若有零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，分，两种情况讨论可求得a的取值范围. 【详解】令，得， 当时，与显然有公共点，即有零点， 当时，临界条件为曲线与有一个公共点， 如图，设两曲线相切于点P，切点的横坐标为，，， 则利用导数的几何意义可知，即， 由，可解得，所以， 所以a的取值范围为. 故选：C. 7. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 8. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 二、多选择题 9. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求，判断A的真假；根据所给的角的取值范围，判断角的三角函数的符号，再结合同角三角函数的基本关系，可判断B的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求，判断C的真假；结合两角差的余弦公式，可求的值，判断D的真假. 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 11. 将数列所有项排成如下数阵： … … 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数，，，，…成等差数列，若，，则（ ） A. B. C. 位于第45行第89列 D. 2024在数阵中出现2次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解. 【详解】对于选项A，由第一列数，，，，…成等差数列，记为.设公差为，又由，，解得：，， 则第一列的通项公式为. 又从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右构成以2为公比的等比数列， 可得：，故A正确，B错误. 又因为每一行的最后一个数为，，，…，且， 可得在第45行的最后一列，因为这一行共有个数， 则在第45行第89列，所以C正确. 对于选项D，由题设可知第i行的第j个数的大小为， 令， 若，则，； 若，则，无整数解； 若，则，； 若，则，无整数解，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分数指数幂运算法则求出，求出答案. 【详解】由，得，由，得， 所以，所以，故. 故答案为：. 13. 赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将四人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法数，再求出小赵与小周分到一个场馆的分法数，最后利用古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】将4人平均分为两组，每组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共种分法， 小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种； 故小赵与小周分到同一个场馆的概率为． 故答案为：． 14. 已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可求得，利用函数图像经过，可求得，结合单调性可得，进而可求得的取值范围. 【详解】∵为函数的最大值，为函数的最小值，所以，， 又，所以必有，解得， 又函数图像经过，因此，结合，得出， 则，因为，当时，， 所以，得，，所以，解得． 当时，； 当时，令，因时，， 故从开始，各区间相互重叠，其并集为， 因此的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.692 （2）有关 【解析】 【分析】（1）由列联表数据及古典概型的概率求法求概率； （2）由卡方公式求卡方值，再根据独立性检验基本思想即可得结论. 【小问1详解】 由列联表可知，认真完成作业的260人中有180人成绩优秀，所以P的估计值为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩优秀与是否认真完成作业无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与是否认真完成作业有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 16. 在平面四边形ABCD中，，，，，且. （1）求线段CD的长度； （2）求四边形ABCD的面积. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理求得，进而由正弦定理求得，进而可求； （2）利用求值，进而可求四边形面积. 【小问1详解】 在△ABC中，由余弦定理得： ，即， 由，得， 在△ABC中，由正弦定理得， 得，所以， 在△ADC中，由正弦定理得：，计算得： ； 【小问2详解】 首先， 又， 因此， 所以. 17. 已知函数（且） （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）当时，证明：在上有唯一的极小值点. 【答案】（1）最大值为，最小值为1 （2）证明：当时，， 令，即 因为，所以，故， 由于在R上单调递增且值域为， 结合，， 所以存在唯一的使得，即. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是在上唯一的极小值点. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，令可得，分区间判断函数的单调性，结合单调性求函数的最值； （2）求函数的导函数，证明有且只有一个根，判断函数的单调性，由此证明在上有唯一的极小值点. 【小问1详解】 当时，，， 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是的极小值点，所以最小值为； 又，， 所以，所以在上的最大值为，最小值为1. 【小问2详解】 略 18. 如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 【答案】（1） ∵、分别是，的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. （3）利用空间向量，根据已知二面角的余弦的取值范围列式，可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，，所以. 设平面的法向量为， 则，代入可得，化简可得 令，解得，. 所以. 平面的法向量为， 所以， 由图可知，为锐角，所以二面角余弦值为. 【小问3详解】 设（），，，，， 设二面角的法向量为 ， 则，代入可得， 同理得. 平面的法向量为 ，整理得：， 即， 解得，所以. 即的取值范围为. 19. 已知抛物线C：（）的焦点为F，准线上有一动点P，设A、B为抛物线C上的两点，当直线AB斜率为2时，A与B的中点的纵坐标为1. （1）求抛物线C的方程； （2）过点P向抛物线引两条切线，若切点为A、B，且B在x轴下方， （ⅰ）求△APB面积最小时点P的坐标； （ⅱ）若，过点P作直线l交抛物线C于D，E两点，过D作PA的平行线，交AE于点G，交AB于点M，证明：M恰好是DG中点． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ），由（ⅰ）得，直线AB的方程为， 设直线l：，，，则， 直线DG：， 联立方程，解得， 作D关于M的对称点，可得，， 下证A，E，三点共线， 因为 ， 联立方程，消去x可得：， 由韦达定理得：， 整理可得， 则 ， 即，可知G与为同一点，A，E，G三点共线，即恒成立. 【解析】 【分析】（1）设，，利用点差法可求得，可求解析式； （2）设，切点，，，（ⅰ）设切线PA：，与抛物线方程联立，利用判别式可证，过P作平行于x轴的直线交AB于点R，直线AB：，与抛物线方程联立，进而可得可求面积的最小值；（ⅱ）设直线l：，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，可得G与G＇为同一点，可得结论. 【小问1详解】 设，， ，两式相减整理得，代入得，解得， 故抛物线方程：. 【小问2详解】 设，切点，，，显然切线PA，PB的斜率不为0 （ⅰ）设切线PA：， 联立方程，消去x可得， 则，整理可得， 可得，从而；故. 过P作平行于x轴的直线交AB于点R，直线AB：，得到， 联立直线AB与抛物线：，得， ， 当时，面积最小，此时. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $