精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级数学期中考试

福建师大附中2025-2026学年上半年期中考试 初二数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 友情提示：所有答案都必须填写在答题卡相应位置 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可． 【详解】解：A、a2、a4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 5. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，，则=（ ） A. 50° B. 100° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交边于， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 7. 如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，完全平方公式和平方差公式的应用，根据图甲和图乙中阴影部分的面积列出等式，再通过对等式的变形和计算，分别判断每个选项的正确性． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，即，故B选项正确； 图乙中阴影部分的面积为，即，故选项D正确； ∴，故选项C正确； ∴，故选A错误． 故选：A． 8. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（　　） A. △ADH是等边三角形 B. NE=BC C. ∠BAE=15° D. ∠MAH+∠NEH=90° 【答案】B 【解析】 【分析】依据折叠的性质以及正方形的性质，得到△ADH是等边三角形；依据AM=AD=AH，得到∠AHM=30°，进而得出∠BAE=15°；依据∠AHE=∠B=90°，∠AMH=∠ENH=90°，即可得到∠MAH+∠NEH=90°． 【详解】由折叠可得，MN垂直平分AD，AB=AH， ∴DH=AH=AB=AD， ∴△ADH是等边三角形，故A选项正确； ∵BE=HE＞NE， ∴BE＞BN， ∴NE=BC不成立，故B选项错误； 由折叠可得，AM=AD=AH， ∴∠AHM=30°，∠HAM=60°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠BAH=30°， 由折叠可得，∠BAE=∠BAH=15°，故C选项正确； 由折叠可得，∠AHE=∠B=90°， 又∵∠AMH=90°， ∴∠AHM+∠HAM=90°，∠AHM+∠EHN=90°， ∴∠HAM=∠EHN， 同理可得∠NEH+∠AHM， ∴∠MAH+∠NEH=90°，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得三角形ADH是一个等边三角形是解题的关键． 9. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 10. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂等于1解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题关键． 关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 根据关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数求解即可． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 13. 如果，则□内应填的代数式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法，直接利用单项式除以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意，． 故答案为：． 14. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 15. 已知，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识． 通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，． 【详解】解：连接，∵，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点， 此时，的值最小，， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则计算得出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标和的面积． 【答案】 解：如图，即为所求， 的坐标为；的面积为2 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，割补法求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．根据轴对称的性质作图，即可得的坐标，再利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：图略 的坐标为； 的面积为：． 19. （1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2），6 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将所求式子利用完全平方公式和平方差公式展开，再去括号合并同类项，最后将数值代入计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 20. （1）尺规作图：如图在中，，在上求作一点D，使得； （2）在（1）条件下，若，求的度数． 【答案】 （1）如图，点D为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，根据线段的垂直平分线的性质得，则点D即为所求； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，则，点D为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）利用（1）的结论进行解答即可． 【小问1详解】 解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 22. 如图，等边点F在上，点D在延长线上，，过点D作，与延长线交于点E．求证： （1）为等边三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2） 证明：∵等边， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质结合平行线的性质求得，即可判断为等边三角形； （2）证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在中，若D为边上的中点，对于实数k和三角形的边长定义如下的加法和乘法： ， ， ； 请回答以下问题： （1）如图1，在中．若点D为边上的中点，点E，F是上的两个三等分点，判断与的大小关系，并证明你的结论； （2）如图2，点P为顶角为的等腰内任意一点，其中，求点P在何处时使得取得最小值，并求出该最小值． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵点E，F是上的两个三等分点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2）当点P为边上的高线的中点时，取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，理解新定义是解题的关键． （1）根据三等分点的定义得，，再根据新定义分别表示出和，再作差比较大小即可得出结论； （2）取的中点，连接，取的中点，连接，根据新定义得，根据等腰三角形的定义得，，则，，则当点P与点E重合时，最小，取得最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴在中，， ∴， 要使最小，即最小，则要使最小， 当点P与点E重合时，最小，此时，， ∴当点P为边上的高线的中点时，取得最小值，最小值为． 24. 【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使得的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小明的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小明进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小明的思路求出点C的坐标． 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点A处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点B处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥（点M在上，点N在上）可以使A、B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 【答案】 方法分析：如图，点即为所求作； 点的坐标为； 问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，如图： 桥与铁路的距离为． 【解析】 【分析】方法分析：根据小明的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设，根据，求出的值即可． 【详解】解：方法分析：设，则， 点与点关于轴对称， ， , , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则， 由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25. 如图，在中，，点B关于的对称点为点D，连接、． （1）如图1，判断以下结论是否能成立，能成立，直接写出的值，若不成立不要说明理由；结论①：；结论②：； （2）如图2，作的平分线，交于点E，与交于点O． ①当是等腰三角形时，求的值； ②当时，试探究、与关系，并证明． 【答案】（1）结论①成立，；结论②成立，； （2）①或； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴． 如图，取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）结论①：假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，即，，根据平行线的性质得到，即，根据列方程计算即可； 结论②：画出图象，假设成立，根据三角形内角和即等边对等角得到，进而根据“点B关于的对称点为点D”推出，再根据列式计算即可； （2）①根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据三角形外角的性质得到，分三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和列方程求解即可； ②根据三角形内角和及等边对等角得到，根据轴对称的性质得到，，，，可知，取，连接，证明，得到，，进而可得，则，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：结论①：当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即． ∵， ∴， 即； 结论②：如图， 于点， ， ∵， ∴， 点B关于的对称点为点D， ， ， ， ， 解得． 【小问2详解】 ①解：∵， ∴， ∵点B关于的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，． 当时，，不成立； 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建师大附中2025-2026学年上半年期中考试 初二数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 友情提示：所有答案都必须填写在答题卡相应位置 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，，则=（ ） A. 50° B. 100° C. 120° D. 130° 6. 如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 7. 如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN上，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，连接DH，则下列选项错误的是（　　） A. △ADH是等边三角形 B. NE=BC C. ∠BAE=15° D. ∠MAH+∠NEH=90° 9. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 10. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_________． 13. 如果，则□内应填的代数式是________． 14. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 15. 已知，则________． 16. 如图，等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，____． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．画出关于x轴对称的图形，并直接写出的坐标和的面积． 19. （1）运用乘法公式简便计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. （1）尺规作图：如图在中，，在上求作一点D，使得； （2）在（1）条件下，若，求的度数． 21. 如图1，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，写出，之间的一个等量关系____； （2）利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值． 22. 如图，等边点F在上，点D在延长线上，，过点D作，与延长线交于点E．求证： （1）为等边三角形； （2）． 23. 在中，若D为边上的中点，对于实数k和三角形的边长定义如下的加法和乘法： ， ， ； 请回答以下问题： （1）如图1，在中．若点D为边上的中点，点E，F是上的两个三等分点，判断与的大小关系，并证明你的结论； （2）如图2，点P为顶角为的等腰内任意一点，其中，求点P在何处时使得取得最小值，并求出该最小值． 24. 【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使得的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小明的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小明进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小明的思路求出点C的坐标． 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点A处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点B处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥（点M在上，点N在上）可以使A、B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 25. 如图，在中，，点B关于的对称点为点D，连接、． （1）如图1，判断以下结论是否能成立，能成立，直接写出的值，若不成立不要说明理由；结论①：；结论②：； （2）如图2，作的平分线，交于点E，与交于点O． ①当是等腰三角形时，求的值； ②当时，试探究、与关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $