专题05 等腰三角形、直角三角形相关重要题型专训10大题型（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题05 等腰三角形、直角三角形相关重要题型专训 10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的判定 1 题型二、等腰三角形的性质 2 题型三、等腰三角形的存在性问题 3 题型四、等腰三角形中的最值问题 5 题型五、等边三角形的判定与性质 6 题型六、等边三角形的模型问题 8 题型七、含30度角的直角三角形 8 题型八、直角三角形全等的判定 8 题型九、直角三角形的存在性问题 9 题型十、等腰三角形、直角三角形的新定义问题 11 题型一、等腰三角形的判定 1．如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 2．如图，在梯形中，，、的平分线正好相交于梯形的中位线上的点G． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求梯形的周长． 3．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 4．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 题型二、等腰三角形的性质 5．如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)求证：． 6．如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 7．如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 8．如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 题型三、等腰三角形的存在性问题 9．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 10．如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 11．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 12．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 题型四、等腰三角形中的最值问题 13．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 14．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 15．设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 16．如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 题型五、等边三角形的判定与性质 17．如图，已知是等边三角形，点、、分别在边、、上，且． (1)判断的形状并说明理由； (2)分别连结、并相交于点，求的大小． 18．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 19．如图，在中，，为上一点，在的右侧作，满足，，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)如图，若，，求的度数． 20．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 题型六、等边三角形的模型问题 21．如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 22．如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 23．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，若，求证： (1)是等边三角形； (2)垂直平分； (3)平分； (4)求的度数． 24．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 题型七、含30度角的直角三角形 25．如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 26．【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 27．如图，等边三角形中，D、E分别为边上的点，，与交于点F，于点G， (1)求的度数； (2)若，求的长度． 28．如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． (1)【思考研究】连接，交于点，求证：； (2)【解决问题】连接，何时是直角三角形？ (3)【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 题型八、直角三角形全等的判定 29．如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若、的角平分线交于点F，求的度数． 30．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接．求证：平分． 31．如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 32．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型九、直角三角形的存在性问题 33．已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． (1)如图1，当______时，是直角三角形； (2)如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； (3)如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 34．如图，在中，，若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，为直角三角形？ 35．如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 36．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 题型十、等腰三角形、直角三角形的新定义问题 37．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 38．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 39．综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 40．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形、直角三角形相关重要题型专训 10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的判定 1 题型二、等腰三角形的性质 2 题型三、等腰三角形的存在性问题 3 题型四、等腰三角形中的最值问题 5 题型五、等边三角形的判定与性质 6 题型六、等边三角形的模型问题 8 题型七、含30度角的直角三角形 8 题型八、直角三角形全等的判定 8 题型九、直角三角形的存在性问题 9 题型十、等腰三角形、直角三角形的新定义问题 11 题型一、等腰三角形的判定 1．如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据平行线的性质得到，证明，得到，进而证明是等边三角形，可知，根据平分及即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴． ∵，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在梯形中，，、的平分线正好相交于梯形的中位线上的点G． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求梯形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)梯形的周长为8． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，梯形的中位线定理，角平分线定义． （1）根据梯形的中位线定理求出，推出，根据角平分线求出，推出即可； （2）求出的值，推出，推出，根据梯形的周长为，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：由（1）知， 同（1）理可证：， ∴， 即， ∵， ∴， ∴梯形的周长是， 答：梯形的周长为8． 3．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 4．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型二、等腰三角形的性质 5．如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． （1）通过等腰三角形性质先得到，再通过三角形内角和定义求解即可； （2）先通过三角形外角性质得到，进而得到，再通过等量代换即可得证． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ， 又， ． 6．如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 7．如图，中，，，于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，利用三角形周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴的周长. 8．如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； 故答案为：，； （2）①， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形； ②， 理由：由①知，， ， ， ， ， ． 题型三、等腰三角形的存在性问题 9．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 10．如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为或． 11．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ①当时，得，解得：； ②当时，得，解得：； 即的值是或； （4）解：①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 12．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 题型四、等腰三角形中的最值问题 13．如图，在中，，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F．在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到的长度的最小值是解题的关键．由垂直平分，得到点关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 如图，当P为与的交点时，取最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：B． 14．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 【答案】(1)点 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）当点和点重合时取得最小值，即可求解； （2）①证明，根据全等三角形的性质，即可求解； ②设交于点，连接，在上取点使得，根据，得出，则，进而证明是等边三角形，证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：在中，时，点为所求费马点． ∵当点和点重合时取得最小值， ∴点为所求费马点． 故答案为：点． （2）解：①，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②如图，设交于点，连接，在上取点使得， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M． (1)若求的度数． (2)连接，若 ①求的周长； ②在直线上是否有在点P，使的值最小，若存在，标出点P的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当点P与点M重合时，的值最小，最小值是 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路径问题，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得，三角形内角和定理等，关键是运用线段垂直平分线的性质解题． （1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案． （2）①根据垂直平分线的性质可得与的关系，再根据三角形的周长可得答案． ②根据2点之间线段最短可得点与点的关系，可得与的关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ①垂直平分， ， ； ②∵点P当点在的垂直平分线上， ， ， ∴点P与点重合时，的值最小，最小值是． 题型五、等边三角形的判定与性质 17．如图，已知是等边三角形，点、、分别在边、、上，且． (1)判断的形状并说明理由； (2)分别连结、并相交于点，求的大小． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外出角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）证明可得，可判断的形状； （2）根据证明，得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在和， ， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19．如图，在中，，为上一点，在的右侧作，满足，，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)如图，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先由推得，再通过“边角边”证明后，即可通过全等三角形的性质得证； （2）由（1）得，，，结合全等三角形的性质、等边对等角及平行线性质求出，从而证明、是等边三角形，结合等边三角形的性质和外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得，，， ， ， ， ， ， 即， ， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、等边对等角、平行线性质、等边三角形的性质与判定、外角的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定． 20．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型六、等边三角形的模型问题 21．如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据点，，在同一条直线上以及可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可得，， ∴是等边三角形． 22．如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）①根据即可证明； ②利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ①如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ②如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 23．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，，若，求证： (1)是等边三角形； (2)垂直平分； (3)平分； (4)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先求出，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据，即可得证； （3）先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得，则可得，由此即可得证； （4）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：∵，， ∴垂直平分． （3）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴平分． （4）解：∵，， ∴，， ∴． 24．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 题型七、含30度角的直角三角形 25．如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 26．【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 【答案】（1）1，3；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查三角形内角和定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， （1）根据三角形内角和定理求出，再利用直角三角形30度角的性质求出即可； （2）在上截取，连接，得到，根据，推出，根据等边对等角得到，利用外角性质推出，根据三角形内角和求出的度数； （3）在上截取，连接，证明，得到，，由，，得到，推出，进而得到结论． 【详解】解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，等边三角形中，D、E分别为边上的点，，与交于点F，于点G， (1)求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是关键． （1）由等边三角形的性质得到，证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，则，再利用含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 28．如图（1），点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点，同时从顶点，出发向点、运动，且它们的速度都为． (1)【思考研究】连接，交于点，求证：； (2)【解决问题】连接，何时是直角三角形？ (3)【拓展延伸】如图（2），若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交点为，则的度数变化吗？若变化，请说明理由；若不变，直接写出它的度数． 【答案】(1)见解析 (2)第秒或第秒时，为直角三角形 (3)不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； （3）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：设时间为t秒，则），， ①当时， ∵， ∴，得， ∴； ②当时， ∵， ∴，得， ∴； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． （3）解：在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴． 题型八、直角三角形全等的判定 29．如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若、的角平分线交于点F，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据“”证明全等即可； （2）连接，由全等三角形的性质，得到，再结合角平分线的定义和三角形内角和定理得出，然后证明，从而推出，即可得解． 【详解】（1）证明：， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接．求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查角的和差，全等三角形的判定与性质，线段的和差，角平分线的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据，，推导出，则，即可解答； （2）先证明，得到，由，得到，则，得到，即可解答． （3）连接，先证明，得到，继而推导出，即，得到平分，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2），，， ， ， 又∵， ， ， ． （3）连接，如图 ，， ， ， ， 又∵， ， 即， 平分． 31．如图，中点D为中点，于点E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到结论； （2）利用证明，得出，再根据得到，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴ ， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴ . ∵， ∴， ∴． 32．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证出，根据证明可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由得到，利用解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴, ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九、直角三角形的存在性问题 33．已知，是边长为的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为． (1)如图1，当______时，是直角三角形； (2)如图2，如果另一动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动，若点与点重合时，两点都停止运动．当是直角三角形时，求的值； (3)如图3，若另一动点也以的速度同时从点出发，沿射线方向运动，连接交于点．连接，请你猜想：在两点的运动过程中，当时，和的面积有什么关系？并说明理由． 【答案】(1)5 (2)当是直角三角形时，的值为或； (3)和的面积相等，理由见解析． 【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，若是直角三角形，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合已知可得，从而可得，除以点的运动速度即可； （2）当是直角三角形时，或，分类讨论，由角所对的直角边与斜边的关系，列方程求解即可； （3）作，交于点，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，可得，，可得，由运动过程，等量代换，可得，可证明，可得，从而可得和面积的关系． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 若是直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为， ∴， ∴当时，是直角三角形． 故答案为：． （2）解：∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，运动时间为，动点同时从点出发，沿线段以的速度向点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，或， 若，则， ∴， ∴， 解得， 此时，点和点重合，点为的中点， 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴当是直角三角形时，的值为或． （3）解：和的面积相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， ∴， 由运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即和的面积相等． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，一元一次方程的实际应用，平行线的性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质． 34．如图，在中，，若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当时，当时，进而进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当点Q到达点C时，所需时间为秒，点P到达点B的时间为秒，到达终点A的时间为秒， 由题意可分： ①如图1，当时， ∴， ∴， ∴． ， ，解得：． ②如图2，当时， ， ， ， 若，则，解得：； 若时，则，解得：． 综上所述：当t为时，为直角三角形． 35．如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 (3)或 【分析】本题考查了几何动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，分类讨论即可求解； （3）分类讨论，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 36．是边长为的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为． (1)如图（1），当t为何值时，是直角三角形？ (2)如图（2），连接、交于点M，则点P、Q在运动的过程中，的度数会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数不变， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形和全等三角形的性质是解题关键． （1）由题意得，，分两种情况讨论：①当时，②当时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，分别列方程求解即可； （2）先证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意得，， ①当时， ∵， ∴，即， 解得， ②当时， ∵ ∴，即， 解得 ∵， ∴当或时，为直角三角形； （2）解：的度数不变，， ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴． 题型十、等腰三角形、直角三角形的新定义问题 37．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明，，都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴为的“双等腰线”； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴是的“双等腰线”； （2）证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． （3）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或． 38．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∴ 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，，则 ______； (2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______； (3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______． (4)在中，，，是边上的高． 求：①与的面积之比； ②若，求和的具体值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)①；②， 【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． （1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． （4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论； ②根据①中面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于E， 则，， ∴； （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴； （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （4）解：如图，设， ∵在中，，，是边上的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵与是等高三角形， ∴； ②∵，， ∴， ． 39．综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 【答案】[实践操作]见解析；[解决问题] 见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和与外角的性质； [实践操作]仿照例题，根据要求作出图形即可； [解决问题]根据要求作出图形即可． 【详解】[实践操作] 三分线如图所示： [解决问题] 图形如图所示： 40．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $