专题07 勾股定理中的最短路径问题9大题型（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题07 勾股定理中的最短路径问题9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆柱中的最短路径模型 1 题型二、长方体中的最短路径模型 2 题型三、将军饮马型最短路径问题 3 题型四、勾股定理中的翻折模型（三角形） 5 题型五、勾股定理中的翻折模型（长方形） 6 题型六、勾股定理中的线段的平方和模型 8 题型七、勾股定理中的最值问题 8 题型八、勾股定理中的旋转模型 8 题型九、勾股定理中的模型综合 9 题型一 圆柱中的最短路径模型 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 1．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 3．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知长方形的边、恰好是上、下底面的直径，则蚂蚁要吃到食物，至少要爬行 ． 4．我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 5．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型二 长方体中的最短路径模型 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 6．如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 8．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 9．如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 10．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 题型三 将军饮马型最短路径问题 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 13．（1）的最小值为________； （2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段； ②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使； ③在线段上任取一点O，设； ④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________． （3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________． 14．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 15．如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 16．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 17．如图，在等腰中，，，边上有一点，连接，将沿翻折得到，连接，若平分，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 18．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 20．如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 21．如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 22．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是 ． 24．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 25．如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点Q落在上时，的长为_____； (2)如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； (3)如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 26．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 28．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 29．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 30．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 题型七 勾股定理中的最值问题 31．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 32．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 33．古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 34．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 35．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 题型八 勾股定理中的旋转模型 36．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，则的长为______． 37．如图3，都是等边三角形，点D、E分别是边上的点，将绕点A旋转，与所在的直线交于点F． (1)将绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于，如图1，的度数为______； (2)如图2，若，的延长线交于点P，交于点G，探究：n为何值时，点P恰好是中点？证明你的结论； (3)若，当绕点A旋转时，且为直角三角形，线段的长为______（在图3中探究）． 38．如图1，绕点旋转，，，连接，选取的中点，连接． (1)如图2，当时，Rt在旋转过程中，点恰好落在的中点位置时，问线段与是否存在一定的数量关系？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)如图3，Rt在旋转过程中，点落在边上任意一点（不是中点），问线段与的数量关系是否发生改变，请说明理由； (3)如图1，当时，点落在内部，，求的面积． 39．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 40．如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 题型九 勾股定理中的模型综合 41．已知中，，点为外一点，，与交于点． (1)如图1，若，垂足为，过点A作于点，求证：； (2)如图2，过作于点，若，，求的长； (3)如图3，点为中点，，过点作于点，若，，请直接写出的面积_____． 42．【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 43．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 44．如图，四边形中，，过点A作于点E，点E恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的长． 45．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 勾股定理中的最短路径问题9大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆柱中的最短路径模型 1 题型二、长方体中的最短路径模型 2 题型三、将军饮马型最短路径问题 3 题型四、勾股定理中的翻折模型（三角形） 5 题型五、勾股定理中的翻折模型（长方形） 6 题型六、勾股定理中的线段的平方和模型 8 题型七、勾股定理中的最值问题 8 题型八、勾股定理中的旋转模型 8 题型九、勾股定理中的模型综合 9 题型一 圆柱中的最短路径模型 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 1．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁经过的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意可得，，， ∴， ∴蚂蚁经过的最短路程为， 故选：． 2．农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 3．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知长方形的边、恰好是上、下底面的直径，则蚂蚁要吃到食物，至少要爬行 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理——最短路径问题，将圆柱体转化为矩形，在平面中求解是解题的关键．将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形，则的长度为所求的最短距离，由题意根据勾股定理求出的长即为所求． 【详解】解：如图，将圆柱体沿着直线剪开，得到矩形， 则的长度为所求的最短距离， 圆柱的高为，底面周长为， ，， 根据勾股定理得：， 蚂蚁要吃到食物，至少要爬行， 故答案为：． 4．我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】(1)15 (2)；；， (3)①见解析，②5厘米 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． （1）根据勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理，易得； （3）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接； ②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程． 【详解】（1）解：， ∴斜边为：厘米； 故答案为：15； （2）解：， ， ； 故答案为：；；，； （3）解：①如图，B点长方形上面长的中点，连接， ②圆柱高厘米，底面半径厘米， （厘米）， 故（厘米）， 答：蚂蚁爬行的最短路程是5厘米． 5．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 题型二 长方体中的最短路径模型 知识点2、长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 6．如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通过勾股定理求最短路径，首先将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接，在中，利用勾股定理求得的长，即可求得需要爬行的最短路程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴，即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：． 7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵点N是的中点， ∴， 如图1中，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图2中，，， ∴， ∴一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为， 故答案为：． 8．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为，若一只蚂蚁想从盒底的点 处沿盒子的表面爬行一周到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，先画出长方体的侧面展开图，再根据勾股定理解答即可求解，正确画出长方体的侧面展图是解题的关键． 【详解】解：把长方体的侧面展开如图所示： 由图可得，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为， 故答案为：． 9．如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 10．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 题型三 将军饮马型最短路径问题 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 12．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（1）的最小值为________； （2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段； ②过C在线段上方作线段的垂线AC，便；过D在线段下方作线段的垂线，使； ③在线段上任取一点O，设； ④根据勾股定理计算可得，________，________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________． （3）请结合第（2）问，直接写出的最小值________． 【答案】（1）9；（2）④，；（3）10． 【分析】（1）利用的算术平方根的非负性即可求解； （2）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值，延长于，使得，再利用勾股定理求解； （3）直接仿照（2）中得解题思路画图，利用数形结合的思想求解． 【详解】解：（1）解：当时，取的最小值为9， 故答案为：9； （2）解：④，， 故答案为：，； ⑤连接，交于,根据两点间距离最短，此时取得最小值， 延长于，使得，如下图：    ， 为最小值， 故答案为：； （3）解：结合第（2）的解题方法， 如下图：    设点表示，，则表示为的值，由（2）中得方法知的最小值为：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是读懂第（2）问中得解题方法，再利用方法求解． 14．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远． 【答案】13公里 【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则， 则最短，故将军应将马赶到河边的地点． 作，且， ，，， 四边形是矩形， ， 在中， ， 答：将军最短需要走13公里． 15．如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 16．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 17．如图，在等腰中，，，边上有一点，连接，将沿翻折得到，连接，若平分，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点F，由折叠的性质得出，，设，则，求出，则，再由勾股定理解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点C作于点F， ∵平分， ∴， 又∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 故选：C． 19．如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 20．如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 21．如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理．由折叠前后对应边相等可得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故选：B 22．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】在矩形中，结合翻折可证，从而可设，在中，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出点坐标． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折问题等，设，运用勾股定理求出线段的长度是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将长方形纸片沿折痕翻折，使点恰好落在对角线上的点处，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质和勾股定理的应用，根据勾股定理列出正确的方程是解决本题的关键． 根据折叠的性质可得，，，设，在中，根据勾股定理求出，最后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴，，， ∴设， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ， ， ， 解得， ∴. 25．如图1，在长方形纸片中，，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点Q落在上时，的长为_____； (2)如图2，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长； (3)如图3，点M是的中点，连接，． ①的最小值为______； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)①；②或6或16 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． （1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）①通过，可得出Q点的运动轨迹，是以A点为圆心，6为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的Q点为最短的长度；②分，两种情况讨论，即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴Q点的运动轨迹，是以A为圆心，6为半径的圆弧， ∴的最小值在的连线上，如图，即为所求， ∵M是中点，， ∴，， 故答案为：； ②如图， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，若点Q在上， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在上方时，如图，过点M作于N， ∵， ∴，， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或6或16． 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 26．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 28．【问题提出】 （1）如图1，在中，于点，若，，，则______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，对角线相交于点，且，试说明：． 【问题解决】 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，，请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点D为的中点，进行等量代换求得，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴ ； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴根据实际意义，即骑行小道的长为． 29．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 30．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 题型七 勾股定理中的最值问题 31．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 32．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 33．古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析，②100000元 (3)17 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）①根据轴对称的最短路径问题，作图即可； ②把求最少费用转化为求最短长度，根据作对称的方法，结合勾股定理求解即可． (3)的几何意义分别是以x，3为直角边和以，5为直角边的直角三角形的斜边长，进而通过构造图形，再利用几何图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． 故答案为：； （2）①如图所示，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置； ②如解图①，过点B作交的延长线于点E，连接 ， 四边形是矩形， 千米，千米． 千米， （千米）． 在中，由勾股定理得 （千米）． 点A与点关于对称， ， ∴千米， ∴铺设水管的最省总费用是（元）； （3）如解图②，作出点C关于的对称点，连接交于点P，使作交延长线于点E， ∴ ∴， ∴代数式的最小值为17． 34．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 35．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 题型八 勾股定理中的旋转模型 36．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析； (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由旋转性质得：，，结合等腰直角三角形性质可利用“边角边”证明，最后由全等三角形性质即可得证； （2）先证明，，得到，在中，根据勾股定理，，即可解答； （3）先推导出，，继而求出，在中，根据勾股定理，得到，则， 求出或(不符合题意，舍去)，即可解答． 【详解】（1）证明：由旋转性质得：，， 是等腰直角三角形， ，， 即， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）由（1）知，且是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，． （3）解：依题意得：，，， 中，， 中，， ∴， 解得或(不符合题意，舍去)． 故答案为：5． 37．如图3，都是等边三角形，点D、E分别是边上的点，将绕点A旋转，与所在的直线交于点F． (1)将绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于，如图1，的度数为______； (2)如图2，若，的延长线交于点P，交于点G，探究：n为何值时，点P恰好是中点？证明你的结论； (3)若，当绕点A旋转时，且为直角三角形，线段的长为______（在图3中探究）． 【答案】(1) (2)当时，点为的中点，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握手拉手模型是解题的关键： （1）证明，得到，设交于点，得到，进而得到即可； （2）当时，点为的中点，作，交的延长线于点，证明，得到，即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于点，则， ∴； （2）当时，点为的中点，证明如下： 作，交的延长线于点， 由（1）知：， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为的中点； （3）如图，当时， 由（1）可知：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，则， 同（1）法可知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 38．如图1，绕点旋转，，，连接，选取的中点，连接． (1)如图2，当时，Rt在旋转过程中，点恰好落在的中点位置时，问线段与是否存在一定的数量关系？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)如图3，Rt在旋转过程中，点落在边上任意一点（不是中点），问线段与的数量关系是否发生改变，请说明理由； (3)如图1，当时，点落在内部，，求的面积． 【答案】(1)，理由如下 (2)，理由如下 (3) 【分析】（1）由得是等边三角形，，进而推出，利用角所对直角边是斜边的一半得到，再证是等边三角形，进而得到． （2）延长到，使，连接、，证明，得出，再利用中位线定理得到，即可得到． （3）延长到，使得，连接、，过点作，由得，从而得到，再证，，根据勾股定理求出，，可得出，再利用等边三角形面积计算方法求解即可． 【详解】（1），理由如下： ，， ， ， 是等腰三角形， 是中点， ，， ， ， ， 在中，是中点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． （2），理由如下： 如图，延长到，使，连接、， 是中点， 是的中位线， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． （3）如图，延长到，使得，连接、，过点作， 是中点， 是的中位线， ， 同中得方法可得， ， ， 中，，， 设，则， ， 解得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、所对直角边是斜边的一半、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 39．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 【答案】（1）；理由见详解 （2），理由见详解 （3） （4） 【分析】（1）证明 即可； （2）过C作，证明，则，，由已知得，，由勾股定理得，进而得到． （3）由直角三角形的性质可分别求得、，进而求得，由即可求得结果： （4）设，则由（1）可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，，则，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，再由即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过C作， 则， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． （3）∵，，， ∴， 由勾股定理得， 由勾股定理得， 由（2）知， ∵， ∴， 即， 故答案为：． （4）设，则， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 40．如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明得出，设与交于点，得出，再由勾股定理即可得证； （2）连接，证明得出，求出，再由勾股定理即可得证； （3）①过作于点，求出，得出，证明，求出，，再由计算即可得解；②过作于，同理，得出，求出得到，从而得出，由计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， 设与交于点， ， ， 在中，； （2）证明：如图1，连接， ， ∴，即， ，． ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ； （3）解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ． ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． ， ． ， ； ②过作于， 同理， ， ， ， ， ， ． 题型九 勾股定理中的模型综合 41．已知中，，点为外一点，，与交于点． (1)如图1，若，垂足为，过点A作于点，求证：； (2)如图2，过作于点，若，，求的长； (3)如图3，点为中点，，过点作于点，若，，请直接写出的面积_____． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)42 【分析】（1）根据，垂足为，结合对顶角相等性质，利用角角边 dingli证明即可； （2）设交于点M，过点A作，交的延长线于点H，利用三角形全等的判定和性质，代换解答即可； （3）过点A作，交的延长线于点G，作于点F， 证明，设，则，证明， 再证明，就可以得到，，在中，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解方程，对顶角性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2）解：设交于点M， 过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， 连接， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， 解得 故． （3）解：过点A作，交的延长线于点G，作于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，得， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴的面积为：． 故答案为：42． 42．【问题探究】 小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题： 如图1，在中，，为的中点，点在边上(点不与点，重合)，连接，过点作交于点，连接．求证∶． 小冬的做法如图2：延长到点，使，连接，，证明，经过推理使问题得到解决 (1)小冬在证明 时，使用的判定依据是：_________． (2)如图，在中，，为的中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，连接． ①补全图形； ②试判断，，三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①作图见解析；②；证明见解析 【分析】（1）根据即可证明，进而可以解决问题； （2）①根据题意即可补全图形； ②延长到点，使，证明，得，，所以，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴在证明时，使用的判定依据是， 故答案为：； （2）①解：如图，即为补全的图形； ②． 证明：如图，延长到点，使， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 43．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 44．如图，四边形中，，过点A作于点E，点E恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由含30度角直角三角形的性质及勾股定理即可求出答案； （2）过点D作，交的延长线于点F，连接，求出，证明，求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 故答案为：3． （2）过点D作，交的延长线于点F，连接； ∵，E为的中点； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴． 45．如图1，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，连接，并延长交于F．    (1)求证：． (2)若点N与C关于直线对称，连接，连接． ①如图2，作的角平分线交于点M，连接．判断与的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）依据判定，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得出； （2）①依据判定，即可得到，再根据（1）可得，，根据点与关于直线对称，可得，进而得出，即可得到； ②连接，过作，交于，根据，即可得出，再根据，即可得到，最后在中，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， 又中， ∴， 又∵中，， ∴， ∴，即；    （2）①． 证明：∵平分， 在和中， 由（1）可得，， 点N和点C关于直线对称， 垂直平分 即；    ②如图，连接，过作，交于，    由（1）可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴中，． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，折叠的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质的综合运用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行计算． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $