第二章 二次函数（单元测试·提升卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章二次函数能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 4 5 6 7 8 9 答案 B B B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2025 12.-1≤y≤3 13.2 14.y=-2(x+32+5 15.(-2,4) 16.(2,4)或(V2,2或(-V2,2） 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：抛物线的顶点为1，-4， 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4, 把点(0，-3)代入y=a(x-1)2-4得：a(0-1)2-4=-3, 即a=1, 抛物线解析式为y=(x-)2-4;3分 (2)解：当y=0时，即(x-1)2-4=0, 解得：x=3,x2=-1, ∴.抛物线与x轴的交点坐标为3,0)，（-1,0).6分 18. 【详解】①)解：三次函数解新式为y=++4=x-2P+5, .该二次函数的对称轴为直线x=2,顶点坐标为2,5).…3分 1/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：新抛物线不经过M(2,-,理由如下： 把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为 x-2+2+5-2=+3 在y=+3申，当=2时，y=×2+3=2 .新抛物线不经过M(2,-1).6分 19, 【详解】(1)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, .x2-2x-3=x+1(x-3=0, 解得：x=-1,x2=3, ”点A在点B左侧， A-1,0,B3,0), 令x=0,则y=-02+2×0+3=3, C(0,3, 点A,B,C的坐标分别为-1,0)，(3,0)，(0,3)；2分 (2)解：设点P的坐标为m,-m2+2m+3, :A-1,0,B3,0),C(0,3, .AB=3-(-1）=3+1=4, 0C=3-0=3, …Sc=。·AB.OC=×4×3=6, 2 2 S。ABP=2SBC, 4BP=2, 即：x4m2+2m+2x6, 整理，得：-m2+2m+3=6, ①当-1m2+2m+3=6时， 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 整理，得：m2-2m+3=0, △=b2-4ac=(-22-4×1×3=4-12=-8<0, :该方程无实数根： ②当-1m2+2m+3=-6时， 整理，得：m2-2m-9=0, :m=2±4+36=1±0， 2 解得：m1=1+10,m2=1-√10， 此时点P的坐标为1+√0，-6)或1-0，-6)： 综上，点P的坐标为1+10，-6)或1-0，-6.6分 20. 【详解】(1)解：把A(0,0)代入y=ax2+bx+c,得0=a×02+b×0+c,即c=0. 把B(1,6),c=0代入y=ax2+bx+c,得6=ax12+b×1+0,即a+b=6. 把C(-1,-2),c=0代入y=ax2+bx+c,得-2=a×(-1)2+b×-1+0,即a-b=-2. a+b=6 a-b=-2' 解得a=2,b=4, .抛物线的解析式为y=2x2+4x.2分 (2)解：取x=-2,则y=2×(-2)2+4×-2)=8-8=0; 取x=-1,则y=2×(-1)2+4×-1)=2-4=-2: 取x=0,则y=0: 取x=1,则y=6; 取x=2,则y=2×22+4×2=8+8=16. 补全表格： -2 -1 0 0 -2 0 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 画出二次函数的图象如下： 。…4分 (3)解：对于y=2x2+4x,将其化为顶点式： y=2x2+4x =2(x2+2x =2(x2+2x+1-1 =2[x+2- =2(x+1)2-2, a=2>0, .图象开口向上，顶点为-1，-2)，故①错误.对称轴为x=-1,且开口向上， .当x≤-1时，y随x的增大而减小，故②正确.当x=-2时，y=2×-2+4×(-2)=0;当x=3时， y2=2×32+4×3=30, 乃<y2,故③正确. .正确的有②③， 故答案为：②③.…6分 21. 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y=x+b, 「65=55k+b 则 60=60k+b1 k=-1 解这个方程得： b=120' 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=-+120,3分 (2)由题意可得：W=x-60)y, 即W=(x-60)-x+120, W=-x2+180x-7200=-(x-90)+900, :成本为每个60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于20%，即售价不低于：60×(1+20%)=72（元）， 且获利不得高于45%，即售价不高于60(1+45%)=87（元）， 72≤x≤87， :W=-(x-90)+900,且二次项系数-1<0， :当x<90时，W随x的增大而增大， :x=87时，W有最大值，其最大值=-(87-90)2+900=891， 所以当销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元.8分 22. 【详解】(1)证明：：四边形EGHF为矩形， .BC∥EF, 4AEF~△ABC;2分 (2)解：设正方形零件的边长为xcm, 由(1)知△AEF∽△ABC, EF AE BC AB 同理，由△AEK≌△ABD得4E-伙 ABAD EF AK BC AD 即x=60-x 8060, 解得x=240 ， 这个正方形零件的边长为20cm:…5分 (3)解：设长方形的长为EF=GH=xcm,宽为EG=FH=ycm, 当长方形的长在BC时， 5/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 同2得C=A0，即=60-少 3 8060 ,y=60- ， 形面积S=y=x60二元x=-4x+60x 60 当 40 时，长方形的面积最大为1200. 故答案为：40,1200.8分 23. 【详解】(1)解：根据题意，抛物线的顶点为(6,3)， 设y与x的函数关系式为y=a(x-h)2+k(0≤x≤6)， .抛物线的函数关系式为y=a(x-6)2+3. :点A的坐标为(0,2)， ∴.2=a(0-6)2+3, 解将a=6 所以抛物线的函数关系式为y=3行C-6}+30≤x≤6)；3分 (2)解：根据题意，设点P(x,2.36),得 36x-62+3=2.36, 解得x1=1.2,x2=10.8, 1.2+5>6, 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方；5分 (3)解：设直线AB的关系式为y=kx+b(k≠O), 将点A(0,2)、B6,3)代入关系式，得 [6k+b=3 b=2 k= 解得： 6, b=2 :直线AB的关系式为y=石x+2, :点D是AB的中点， 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点D的横坐标为3， .点D的纵坐标为y= 5 当x=3时，y=36 -62+3=11 1 所以CD=-乏-（米.…8分 424 24 【详解】(1)解：：y=-x2+2x+3, .当y=0时，则x2-2x-3=0, x1=3,x2=-1. A3,0,B-1,0 当x=0时，y=3, C(0,3). :y=x2+bx+c过点A,点C, 0=9+3b+c 3=c 「b=-4 c=33分 (2)①：A3,0,C(0,3, .设直线AC的解析式为y=x+3,把A(3,0),代入，得k=-1, :直线AC的解析式为y=-x+3. .Mm,-m2+2m+3,G(m,-m+3,N(m,m2-4m+3. .MG=-m2+2m+3-（-m+3, =-m2+3m. NG=-m+3-m2-4m+3）, =-m2+3m .MG=NG.6分 7113 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②：CM∥AN, ∠MCG=∠NAG, ∠CMG=∠ANG. MG=NG, ∴.aCMG≌△ANG. :.CG=AG 设直线x:m交x轴于点P, PG∥0C. .OP CG PA AG 1· :0P=10A=3 2 2 3 ∴.m= 2 :MN =MG NG =2-m2+3m, 9 M NG 9分 B (3)y2=x2-4x+3=(x-2)-1, :当x=2时，的最小值是-1. :当2<1≤3时， 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 213y最大=0， B O八yx y最水=12-41+3. 0--+= 3(舍. 5=4(舍)，6= 当1≤t≤2时， C t23 y最大=0， y最水=-1， 0-=3 t=4 3 当0<t<1时， 23y最大=2-41+3， B oi y最小=-1， 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -41+3-(-1)=3-3 t. 2 5=2(舍)，6=2 1 :当y=-1时，-1=-x2+2x+3, t=1+V5(舍)，t,=1-V5. .当1-√5≤t≤0时， 个 1-5/ 23最大=3， y最小=-1， ∴3-(-1=3-3. 2 当1<1-5时， C 1-v5/ 23 最大=3， BO八x y最小=-12+21+3， 3-（2+21+3到=3-3 t 2 6=2(舍)，6=2 3 综上所运，能为行子号一2分 25. 10/13 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 2．二次函数的对称轴是，则（    ） A． B．3 C． D．6 3．二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表，下列关于这个二次函数的说法正确的是（    ） … … … … A．二次函数的图象开口向下 B．当时， C．二次函数图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 7．已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 8．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B．C．D． 9．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点在抛物线上，则的值为 12．二次函数，当时，的取值范围是 ． 13．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是 ． 14．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 15．对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ． 16．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且． 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 18．已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 19．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)连接、，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 20．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)补全表格，并画出二次函数的图象； ．．． ．．． ．．． ．．． (3)关于该二次函数，下列说法正确的有________．（填序号） ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，随的增大而减小； ③图象上有两点，则． 21．某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)试确定y与x之间的函数关系式； (2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 22．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 23．综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求，的值． (2)直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 25．定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． (1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） (2)如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 2．二次函数的对称轴是，则（    ） A． B．3 C． D．6 3．二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表，下列关于这个二次函数的说法正确的是（    ） … … … … A．二次函数的图象开口向下 B．当时， C．二次函数图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 7．已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 8．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B．C．D． 9．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点在抛物线上，则的值为 12．二次函数，当时，的取值范围是 ． 13．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是 ． 14．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 15．对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ． 16．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且． 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 18．已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 19．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)连接、，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 20．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)补全表格，并画出二次函数的图象； ．．． ．．． ．．． ．．． (3)关于该二次函数，下列说法正确的有________．（填序号） ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，随的增大而减小； ③图象上有两点，则． 21．某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)试确定y与x之间的函数关系式； (2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 22．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 23．综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求，的值． (2)直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 25．定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． (1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） (2)如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．二次函数的对称轴是，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的对称轴． 根据二次函数的对称轴为，将代入求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， 即，解得． 故选：C ． 3．二次函数的图象与x轴交点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点个数的判断，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式判断交点个数． 求二次函数图象与x轴的交点个数，可转化为求对应的一元二次方程的实数根个数，通过计算根的判别式的值来判断． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交点的个数，等价于方程的实数根的个数， 。 因为，所以方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有2个交点， 故选：B． 4．已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 要解决本题，首先求出二次函数（）的对称轴为．因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大．然后分别计算点、、到对称轴的距离，距离越远，函数值越大．点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．距离大小为，所以 【详解】解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 且 ，开口向上， ∴ 点离对称轴越远，函数值越大． 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． ∵ ， ∴ ． 故选B． 5．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、二次函数的最值，解题关键是正确表示出四边形的面积． 结合垂美四边形的性质可知四边形的面积，设，则四边形的面积，结合二次函数的性质即可得面积最大值． 【详解】解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 6．二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表，下列关于这个二次函数的说法正确的是（    ） … … … … A．二次函数的图象开口向下 B．当时， C．二次函数图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，正确应用二次函数性质是解题的关键． 根据表格数据，确定二次函数的解析式，并分析其开口方向、对称轴、增减性及特定点的函数值，逐一验证选项． 【详解】解：将点、、代入到中， 得； A、二次函数开口朝上，故选项不符合题意； B、将代入函数解析式，，故选项不符合题意； C、由顶点式可知对称轴是直线，故选项符合题意； D、时在对称轴左侧，而在对称轴左侧，随的增大而减小，故选项不符合题意． 故选：C． 7．已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 8．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 9．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴正半轴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵图象过点， ， ， ， ∴，故②错误， 当时，函数有最大值， ， ∴（为常数），故③正确， ， ∴，故④正确， 正确的个数有3个， 故选：C． 10．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若点在抛物线上，则的值为 【答案】2025 【分析】本题考查点在二次函数的图象上，代数式求值．根据点在二次函数图象上的性质，将点坐标代入函数解析式，得到m与n的关系式，再代入求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12．二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得，计算端点值后比较得到范围． 【详解】二次函数的顶点坐标为 ，且，故抛物线开口向下． 当时，顶点在区间内，因此最大值． 当时，； 当时，； 比较得最小值， 故的取值范围是 ． 故答案为：． 13．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数对称轴公式得出与的关系，再利用根与系数的关系求解另一个根． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 已知的一个解是，设另一个根为， ， ， 故答案为：2 14．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律作答即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 15．对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解“二倍点”的定义，并根据定义列方程求解． 根据“二倍点”的定义，点在函数上，代入函数可求出k的值．再令函数值等于，解方程得到另一个x值，进而求出y值，得到点B的坐标． 【详解】解：把点代入中得， 解得：， ， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且． 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 根据条件求出点P和的坐标，再根据判断点R的位置在x轴正半轴或y轴负半轴上，分两种情况讨论点Q的坐标. 【详解】∵轴且，点P在第二象限，点在第一象限抛物线上， ∴，直线的方程为， ∵，O为原点， ∴点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①当R在x轴正半轴上时， 设，则Q关于直线的对称点， 由于，即平行于x轴，且R在x轴上，故也在x轴上，因此，解得， ∴， ②当R在y轴负半轴上时， ∵抛物线N的顶点为， ∴抛物线N的对称轴为直线， 又抛物线N过点和点R，且，即平行于x轴，故和R的纵坐标相同，且关于直线对称， 由R在y轴负半轴上，设，，则R到直线的距离为1，故到直线的距离也为1，且在R的右侧，所以的横坐标为2， 则， 综上所述，点Q的坐标为或或， 故答案为：或或. 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】(1) (2)、 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 18．已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)不经过，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，求二次函数的顶点坐标和对称轴，求二次函数的函数值等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：新抛物线不经过，理由如下： 把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴新抛物线不经过． 19．如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)连接、，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)点，，的坐标分别为，， (2)或 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程. （1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标；令，求函数值，即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）设点的坐标为，则根据可得，于是分两种情况讨论：当时；当时；分别解一元二次方程，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得：，， 点在点左侧， ，， 令，则， ， 点，，的坐标分别为，，； （2）解：设点的坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 整理，得：， 当时， 整理，得：， ， 该方程无实数根； 当时， 整理，得：， ∴， 解得：，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或． 20．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)补全表格，并画出二次函数的图象； ．．． ．．． ．．． ．．． (3)关于该二次函数，下列说法正确的有________．（填序号） ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，随的增大而减小； ③图象上有两点，则． 【答案】(1)； (2)补全表格及作图见解析； (3)②③ 【分析】（1）已知二次函数图象过三个点，将三点坐标代入二次函数一般式，得到三元一次方程组，解方程组即可求出、、的值，从而得到抛物线解析式． （2）先根据求出的解析式，选取合适的值，计算出对应的值补全表格，再根据表格中的点画出二次函数图象． （3）根据二次函数的解析式，分析其开口方向、顶点坐标、增减性以及函数值的大小比较，从而判断三个说法的正确性． 【详解】（1）解：把代入，得，即． 把，代入，得，即． 把，代入，得，即． ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：取，则； 取，则； 取，则； 取，则； 取，则． 补全表格： 画出二次函数的图象如下： ． （3）解：对于，将其化为顶点式： ， ∵， ∴图象开口向上，顶点为，故①错误．对称轴为，且开口向上， ∴当时，随的增大而减小，故②正确．当时，；当时，， ∴，故③正确． ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、图象绘制以及性质分析，熟练掌握二次函数的一般式、顶点式转化以及二次函数的开口方向、对称轴、增减性等性质是解题的关键． 21．某体育用品商店试销一款成本为60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)试确定y与x之间的函数关系式； (2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润W元，试写出利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润=（售价－成本）×销售量列出函数关系式，并配方成顶点式即可得解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解这个方程得：， ， （2）由题意可得：， 即， ， 成本为每个60元的排球，规定试销期间每个排球获利不低于，即售价不低于：（元），且获利不得高于，即售价不高于（元）， ， ，且二次项系数， 当时，W随x的增大而增大， 时，W有最大值，其最大值， 所以当销售单价定为87元时，商店可获得最大利润，最大利润是891元． 22．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)40，1200 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质、二次函数求最值： （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ； （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， 当时，长方形的面积最大为1200． 故答案为：40，1200． 23．综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 【答案】(1) (2)不可以 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数的综合问题， 对于（1），设抛物线的顶点式，再将点代入可得答案； 对于（2），设点，再代入关系式求出x，比较可得答案； 对于（3），先求出直线的关系式，再求出点C，D的纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线的顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为； （2）解：根据题意，设点，得 ， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方； （3）解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求，的值． (2)直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②4.5 (3)的值为 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，求出的坐标，进而求出，即可得出结果；②证明，设直线交轴于点，根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的值，进而求出线段的长即可； （3）分，，，和五种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则， ． ． 当时，， ． 过点，点， ． （2）①， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 直线的解析式为． ，，． ， ． ． ②， ， ． ， ． ． 设直线交轴于点， ． ． ． ， ． （3）， 当时，的最小值是． 当时， ， （舍），（舍）． 当时， 当时， ． （舍），． 当时，， （舍），． 当时， ， ． 当时， ， ． （舍），． 综上所述，的值为． 25．定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． (1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） (2)如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)①；②，的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“双幸运曲线”的定义及一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）①由题意易得，则有，的周长，要使的周长最小，即为的值最小，然后根据轴对称的性质可进行求解； ②过点P作轴，交直线于点H，由题意可设，则有，然后根据铅垂法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ①联立得：，则有， 由于，方程无解， 所以一次函数与二次函数没有交点； ②联立得：，则有， 由于，方程有两个不相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有两个交点，满足“双幸运曲线”的定义； ③联立得：，则有， 由于，方程有两个相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有一个交点，不满足“双幸运曲线”的定义； 故答案为：②； （2）解：①由题意可联立， 解得：或， ∴， ∴， ∴的周长， 如图，过点B作关于x轴的对称点C，则，连接，与x轴交于点E，根据轴对称的性质可知， 所以的周长最小值即为的最小值，则当点A、E、C三点共线时，的值最小，即为的长，图中点E满足题意， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴； 故答案为； ②过点P作轴，交直线于点H，如图所示： ∴， 由题意可设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $