专题17.3 因式分解（章节复习）（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练

专题17.3 因式分解（章节复习） （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：因式分解的意义 2 知识点梳理02：公因式． 2 知识点梳理03：因式分解-提公因式法 2 知识点梳理04：因式分解-运用公式法 3 知识点梳理05：提公因式法与公式法的综合运用 3 优选题型 考点讲练 3 课题1 用提公因式法分解因式 3 考点1：判断是否是因式分解 3 考点2：已知因式分解的结果求参数 3 考点3：公因式 4 考点4：提公因式法分解因式 4 课题2 用公式法分解因式 4 考点5：判断能否用公式法分解因式 4 考点6：平方差公式分解因式 4 考点7：完全平方公式分解因式 5 考点8：综合运用公式法分解因式 5 考点9：综合提公因式和公式法分解因式 6 考点10：因式分解在有理数简算中的应用 6 考点11：十字相乘法 6 考点12：分组分解法 6 考点13：因式分解的应用 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 9 知识点梳理01：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点梳理02：公因式． 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点梳理03：因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点梳理04：因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点梳理05：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 课题1 用提公因式法分解因式 考点1：判断是否是因式分解 【典例精讲】（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【变式训练】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 考点3：公因式 【典例精讲】（25-26八年级上·广西·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·山东·阶段练习）多项式各项的公因式是 ． 考点4：提公因式法分解因式 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： （1） ． （2） ． 课题2 用公式法分解因式 考点5：判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【变式训练】（22-23八年级上·广东云浮·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 考点6：平方差公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）因式分解： (1)； (2)． 考点7：完全平方公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）分解因式： ． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）因式分解： (1) (2) 考点8：综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（2024八年级下·福建南平·竞赛）因式分解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）分解因式． (1) (2) 考点9：综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期中）分解因式： (1) (2) 考点10：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）(    ) A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级·浙江·自主招生）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 考点11：十字相乘法 【典例精讲】（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）分解因式： ． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·开学考试） ． 考点12：分组分解法 【典例精讲】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： (1)分解因式： (2)若都是正整数且满足，求的值； 考点13：因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【变式训练】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）已知是多项式的因式，则 ， ． 2．（2024·广东广州·中考真题）已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 4．（2024·全国·中考真题）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 5．（2024·河南开封·中考真题）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 基础夯实 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）分解因式： ． 4．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若可分解为，则 ． 5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 培优拔高 6．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 8．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若的三边长分别为、、，且、满足，第三边上的中线长为，则的取值范围是 ． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果x，y满足，那么的立方根是 ． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.3 因式分解（章节复习） （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：因式分解的意义 2 知识点梳理02：公因式． 2 知识点梳理03：因式分解-提公因式法 2 知识点梳理04：因式分解-运用公式法 3 知识点梳理05：提公因式法与公式法的综合运用 3 优选题型 考点讲练 3 课题1 用提公因式法分解因式 3 考点1：判断是否是因式分解 3 考点2：已知因式分解的结果求参数 4 考点3：公因式 5 考点4：提公因式法分解因式 6 课题2 用公式法分解因式 6 考点5：判断能否用公式法分解因式 6 考点6：平方差公式分解因式 7 考点7：完全平方公式分解因式 8 考点8：综合运用公式法分解因式 9 考点9：综合提公因式和公式法分解因式 10 考点10：因式分解在有理数简算中的应用 11 考点11：十字相乘法 12 考点12：分组分解法 13 考点13：因式分解的应用 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 20 知识点梳理01：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点梳理02：公因式． 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点梳理03：因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点梳理04：因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点梳理05：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 课题1 用提公因式法分解因式 考点1：判断是否是因式分解 【典例精讲】（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式． 逐一分析各选项是否符合因式分解的定义即可． 【规范解答】解：A． 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，故此选项错误； B． 为分式，非整式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C． 左边为多项式，右边分解为与的乘积，均为整式，符合因式分解定义，故此选项正确； D． 仍包含加法运算，未完全转化为积的形式，故此选项错误； 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【规范解答】解：A、是因式分解，符合题意； B、等式右边含分式，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； 故选A． 考点2：已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【规范解答】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【规范解答】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 考点3：公因式 【典例精讲】（25-26八年级上·广西·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．最大公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项共有的，字母指数取最小的，据此判断即可． 【规范解答】解：把多项式分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·山东·阶段练习）多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数，然后确定公因式即可． 【规范解答】解：∵， ∴多项式各项的公因式是x． 故答案为：x． 考点4：提公因式法分解因式 【典例精讲】（23-24八年级下·重庆·期中）将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【规范解答】 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式： （1） ． （2） ． 【答案】 【思路点拨】提公因式法，确定公因式，对于底数互为相反数的幂，通过符号变形统一底数，即可解答． 【规范解答】解：（1）原式 故答案为：． （2）原式 故答案为：． 课题2 用公式法分解因式 考点5：判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【规范解答】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【变式训练】（22-23八年级上·广东云浮·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【规范解答】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意； B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 考点6：平方差公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式； （2）先用完全平方公式，再利用平方差公式． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点7：完全平方公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的两种方法，即平方差公式和完全平方公式以及提取公因式法．熟练掌握平方差公式、完全平方公式和提取公因式法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可． （2）对于，先提取公因式，再看剩余部分是否还能继续分解，剩余部分符合完全平方公式的形式，这里，，从而即可因式分解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点8：综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（2024八年级下·福建南平·竞赛）因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【规范解答】解：． 故答案为： 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式分解因式即可； （2）先用完全平方公式分解因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点9：综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握各种分解方法是解题的关键． （1）可先利用整式乘法公式化简，最后利用平方差公式分解即可； （2）可先对整式进行整理可先提公因式，然后用平方差公式分解再整理即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式训练】（25-26八年级上·云南昆明·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了因式分解，先考虑提公因式法，再考虑公式法或其它方法进行因式分解； （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先变形，后提公因式，再利用平方差公式分解即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点10：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【规范解答】解：原式； 故选C． 【变式训练】（24-25九年级·浙江·自主招生）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【规范解答】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 考点11：十字相乘法 【典例精讲】（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 设，原式化为，然后整理得到，然后利用十字相乘法化简即可． 【规范解答】解：设 ∴ ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·北京·开学考试） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握正体换元法是解题的关键；可先提取公因式，然后再根据换元法进行因式分解即可 【规范解答】解：原式， 令，故， 原式 ； 故答案为． 考点12：分组分解法 【典例精讲】（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： (1)分解因式： (2)若都是正整数且满足，求的值； 【答案】(1) (2)8 【思路点拨】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解． （1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可； （2）先求得，结合，求得，根据a，b都是正整数，得到或，据此计算即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵ ， 又， ∴，即， ∵a，b都是正整数， ∴，都是整数， ∴或， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 考点13：因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】通过因式分解求解即可． 本题考查代数式的值，因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键。 【规范解答】解：，由，， 故 ， 故答案为：． 【变式训练】（22-23八年级下·陕西汉中·期末）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 【答案】(1) (2)正方形的边长为7.2 【思路点拨】本题考查了因式分解法，数形结合思想，用不同方式表示矩形面积是解题关键． （1）图2面积可以用表示，即可得到，问题得解； （2）正方形的面积为，即可得到正方形的边长为，把代入即可求解． 【规范解答】（1）解：图2面积可以用表示， ∴． 故答案为：； （2）解：根据题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 当时，， ∴正方形的边长为7.2． 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）已知是多项式的因式，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查多项式的因式，根据是多项式的因式，可得当时，的值也为0，令，，原多项式为，则，解得；当，时，原多项式为，则，解得． 【规范解答】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 2．（2024·广东广州·中考真题）已知，为实数，且满足 ，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键． 根据多项式结构特点整理，判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【规范解答】解：，它的一个因式 分解时是利用平方差公式， ． 故选：C． 4．（2024·全国·中考真题）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，则可得，比较等式两边各项的系数即可得． 【规范解答】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·河南开封·中考真题）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了算术平方根规律探究、分解因式，理解题意是解题的关键． （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为，理由如下： 等式左边 等式右边， ∴． 基础夯实 1．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了因式分解的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式． 【规范解答】解：A、，右边是，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，不符合题意； B、，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于乘法运算而非因式分解，不符合题意； C、，右边是，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解． 【规范解答】解：原式==， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若可分解为，则 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查因式分解求参数，将展开，根据对应项相同，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：7． 5．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查因式分解，熟练掌握用提取因式法进行因式分解是解题的关键． （1）提取公因式进行因式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）提取公因式，再利用完全平方式进行因式分解即可； （4）提取公因式进行化因式分解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 培优拔高 6．（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【规范解答】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 【答案】B 【思路点拨】本题既考查了对因式分解的应用，先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【规范解答】解：根据题意得：，， 则 ． 故选：B． 8．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）若的三边长分别为、、，且、满足，第三边上的中线长为，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根和平方的非负性，完全平方公式因式分解，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，根据非负数的性质可得 ，设，，，延长到，证明三角形全等，进而根据三角形的三边关系，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，即 ∵， ∴ 解得： 如图，设，， 延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 在中，有， 即， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果x，y满足，那么的立方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查完全平方公式，求一个数的立方根，将等式的左边化为两个完全平方的和的形式，利用非负性求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)6 【思路点拨】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法变形为，由此即可得； （3）将原式变形为，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据 配方可得，从而可得，由此即可得． 【规范解答】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $