解答题01 三角函数、三角恒等变换与解三角形（专项训练，6大题型+高分必刷）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档. 题型一： 三角恒等变换与三角函数 （2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【思路分析】 （1）应用平方关系、商数关系分别求出和； （2）应用差角的余弦公式求值即可. 【规范答题】 （1）由，α是第三象限角，则， 所以； （2）. 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 2．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值． （2）（ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而可求的值，根据余弦定理可得的值；（ⅱ）由余弦定理求得，进而可得，再根据两角差余弦及二倍角公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，可得：， 由正弦定理可得：， 可得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为，且， 解得：，， 由余弦定理可得：，解得： ； （ⅱ）由余弦定理可得， 所以，，， 所以. 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 （2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 【思路分析】 （1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理可得答案； （3）由平方关系求出，再利用两角和的余弦展开式化简可得答案. 【规范答题】 （1）由余弦定理， 得， 又因为，所以； （2）因为，由正弦定理，得； （3）因为，所以，所以， 所以, . 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 2．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案； （2）由正弦定理可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理即可得出答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 题型三：利用正弦定理求三角形外接圆 （2025·天津·一模）在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． (1)求的长； (2)若，求的周长． 【思路分析】 （1）利用二倍角公式和正弦定理化简已知式，借助于外接圆面积即可求解； （2）利用向量数量积的定义化简已知式得，推得角为钝角，由余弦定理得，再由正弦定理求得，则得，进而，求得，即得的周长. 【规范答题】 （1）由可得，即得， 设外接圆半径为，依题意，即， 由正弦定理，，则得，解得. （2）由（*），可知角为钝角， 又由余弦定理，，可得. 由正弦定理，，可得，因角为钝角，故， 代入（*），可得，故，则， 故的周长为. 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·天津·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为，然后利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）由正弦定理可得，由余弦定理及得，利用及向量的线性运算得，结合数量积的运算律，利用向量模的运算公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； （2）由的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理得， 由余弦定理及得，， 化简得，解得（负根舍去），从而， 因为，所以， ，所以 ， 故的长是. 2．（2025·天津·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解， （2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． （2）因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 （2025·天津·调研）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求周长的范围. 【思路分析】 （1）借助正弦定理将边化角后计算即可得； （2）借助正弦定理可用角表示出周长，再利用三角恒等变换公式化简计算即可得. 【规范答题】 （1）由，则， 由，则，则，则， 由，则； （2），则、， 则周长为 ， 由，则，则，则， 则， 即周长的范围为. 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数: 步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1．（2025·天津·联考）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 2．（2025·天津·开学考试）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1)(2)4(3) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 题型五：解三角形中面积最值问题 （2025·天津·联考）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值； (3)为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【思路分析】 （1）根据正弦定理面积公式，和正弦定理由边化角，及余弦定理解三角形； （2）根据平面向量的加法运算，化简题目条件，再根据正弦定理面积公式和基本不等式，求出面积的最大值； （3）根据正余弦定理解三角形，根据三角函数值，通过换元法，和二次函数单调性，求出值域，得出参数的范围. 【规范答题】 （1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）由得：， 则， 从而， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以面积的最大值为； （3）由及正弦定理可得：， ，， 则 ， 为锐角三角形，，， ，， 令，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，实数的取值范围是. 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1．（2025·天津·调研）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. （2）由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. （3）由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 2．（2025·天津·联考）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开，利用正弦定理边化角，再结合三角形中即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求解，将已知条件代入三角形面积公式即可； （3）根据余弦定理得到边的关系，利用基本不等式求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. （2）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，， 解得， 根据三角形面积公式得. （3）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 （2025·天津·二模）已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 【思路分析】 （1）由条件可得点的坐标，代入直线的方程，即可得到结果； （2）分别表示出以及，然后在与中由正弦定理可得，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，再由可得，由斜率公式代入计算，即可得到结果. 【规范答题】 （1）由题知， 因为轴，在第一象限，所以，将代入双曲线方程可得， 所以直线方程为，整理可得， （2）因为， ， ， 又直线，所以，则，， 所以，，所以， 在中，①， 在中，②， 又，联立①②可得， 因为， 所以，所以直线为的角平分线. （3） 设点，则，设直线方程为， 联立直线与双曲线方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 则，则， 所以， 由已知， 即，解得（舍）或， 代入双曲线，则， 由可得， 所以. 1.利用高线的性质: 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 2.利用中线的性质: ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 3.利用角平分线的性质: ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌ 1．（2025·天津·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 2．（2025·天津·调研）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 1．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）根据正、余弦定理化简计算可得，即可求解； （2）（i）根据三角形的面积公式和余弦定理计算可得、，即可求出；（ii）根据正弦定理求出，结合同角的平方关系和二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，， 由，得， 由正弦定理，得， 则，又，所以， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）知，，得①． 由余弦定理，所以②． 由①②，得，解得， 由，解得，． （ⅱ）由正弦定理，所以， 为锐角，， ． 2．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）构造直角三角形，计算边长即可求解C的正切值； （3）由（2）可求出C的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理得 （2）过点作于点，在中， ， 在中，， （3）由（2）可知 因为，， 3．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理求出、的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积； （3）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】（1）由可得，可得， 因为，则，所以，解得. （2）由正弦定理，有，所以， 由（1）知，由余弦定理得， 解得，， 所以的面积为. （3）由余弦定理可得， 所以， 所以 . 4．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）方法一：结合题设，根据余弦定理及正弦定理求解即可； 方法二：结合题设，根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理先求出，再结合平方关系求解即可； （3）结合二倍角公式先求出，，结合正弦定理求出，再结合平方关系求出，进而根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. （2）由余弦定理可得， 又因为，可得. （3）由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 5．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； （2）由且，则， 由正弦定理，则； （3）由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 6．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)的值为6(2)(3) 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得，解方程即可得解的值． （2）由正弦定理即可得解的值． （3）由已知利用余弦定理可求的值，利用二倍角公式可求，，进而根据两角差的余弦公式即可求解的值． 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，可得， 可得，解得，或（舍去）， 即a的值为6． （2）由正弦定理，可得； （3）因为， 所以，， ． 7．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，得，再利用余弦定理进行计算即可求解； （2）由（1），结合，解得，再利用正弦定理计算即可求解； （3），进而利用倍角公式和和差公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． （2）由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． （3）因为，所以，故． 所以． 所以 ． 8．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理可得，解方程即可得出答案； （3）利用同角的正余弦公式可求得，再求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【详解】（1）因为所以 由正弦定理可得：所以. （2）由余弦定理可得：， 所以，解得：或， 因为所以. （3）因为，所以，所以， ， ， 所以. 9．（2025·天津河北·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求及的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）应用余弦边角关系及已知得，再由平方关系求，且，应用二倍角正切公式求； （2）由正弦定理求得，根据（1）及和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题设，即， 故，可得，，则， 由上，则； （2）由，则， 由（1）知，则， 所以. 10．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简求解即可.解法2：根据余弦定理化角为边，然后再利用余弦定理求解即可. （2）由得，然后根据正弦定理得，然后利用二倍角公式求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. （3）利用面积公式求得，再由余弦定理得，结合已知求得，即可求得周长. 【详解】（1）解法1：因为， 由正弦定理得 即， 因为，则，故； 解法2：因为， 由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ， ， . ， ， . （3）， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 1．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 5．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档. 题型一： 三角恒等变换与三角函数 （2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 2．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 （2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 2．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 题型三：利用正弦定理求三角形外接圆 （2025·天津·一模）在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． (1)求的长； (2)若，求的周长． 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·天津·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 2．（2025·天津·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 （2025·天津·调研）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求周长的范围. 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数: 步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1．（2025·天津·联考）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 2．（2025·天津·开学考试）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 题型五：解三角形中面积最值问题 （2025·天津·联考）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值； (3)为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1．（2025·天津·调研）在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 2．（2025·天津·联考）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 （2025·天津·二模）已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 1.利用高线的性质: 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 2.利用中线的性质: ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 3.利用角平分线的性质: ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌ 1．（2025·天津·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 2．（2025·天津·调研）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 1．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 2．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 3．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 4．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 7．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 9．（2025·天津河北·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求及的值； (2)若，求的面积． 10．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 1．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 5．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $