专题3.9 圆的基本性质（章节复习）知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.9 圆的基本性质（章节复习） （知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的基本概念 2 知识点梳理02：点与圆的位置关系 2 知识点梳理03：圆的对称性 3 知识点梳理04：垂径定理及其推论 3 知识点梳理05：圆心角、弧、弦的关系 3 知识点梳理06：圆周角定理 4 知识点梳理07：弧长与扇形面积 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：圆的周长和面积问题 4 考点2：求特殊三角形外接圆的半径 5 考点3：已知外心的位置判断三角形的形状 6 考点4：确定圆心(尺规作图) 7 考点5：旋转中的规律性问题 9 考点6：根据旋转的性质说明线段或角相等 11 考点7：旋转的性质及辨析 15 考点8：坐标与旋转规律问题 16 考点9：线段问题(旋转综合题) 18 考点10：面积问题(旋转综合题) 20 考点11：角度问题(旋转综合题) 23 考点12：坐标系中的旋转 25 考点13：利用垂径定理求平行弦问题 29 考点14：利用垂径定理求同心圆问题 31 考点15：垂径定理的实际应用 32 考点16：利用弧、弦、圆心角的关系求解 35 考点17：利用弧、弦、圆心角的关系求证 36 考点18：圆周角定理 38 考点19：同弧或等弧所对的圆周角相等 39 考点20：半圆(直径)所对的圆周角是直角 41 考点21：90度的圆周角所对的弦是直径 42 考点22：已知圆内接四边形求角度 44 考点23：求四边形外接圆的直径 48 考点24：求正多边形的中心角 49 考点25：已知正多边形的中心角求边数 51 考点26：正多边形和圆的综合 51 考点27：尺规作图——正多边形 53 考点28：求某点的弧形运动路径长度 55 考点29：求弓形面积 58 考点30：求其他不规则图形的面积 60 考点31：求图形旋转后扫过的面积 62 中考真题 实战演练 65 难度分层 拔尖冲刺 69 基础夯实 69 培优拔高 73 知识点梳理01：圆的基本概念 1.圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2.与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 知识点梳理02：点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点梳理03：圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴（无数条对称轴）。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 性质：绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合（旋转不变性）。 知识点梳理04：垂径定理及其推论 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点梳理05：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4） 在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点梳理06：圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点梳理07：弧长与扇形面积 （1）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） （2）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 考点1：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【规范解答】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【规范解答】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 考点2：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【规范解答】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形外接圆，掌握相关知识是解决问题的关键．的两直角边的长分别为和，由勾股定理可求斜边长，由圆周角定理知，的圆周角所对的弦是直径，所以半径即为此直角三角形斜边的一半． 【规范解答】解：∵的两直角边的长分别为和， 则斜边长为， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴此直角三角形外接圆的直径为， 则外接圆的半径为． 故答案为：． 考点3：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【规范解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 【变式训练】（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【规范解答】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 考点4：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【思路点拨】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； （2）如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； （3）∵，， ， ∴点在内． 【变式训练】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查基本作图、菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【规范解答】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为， ， ． 故选：C． 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【规范解答】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【规范解答】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 考点6：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形． (1)如图①，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图②，当点在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)当旋转到时，请画出图形，求点到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)画图见解析，或 【思路点拨】（1）根据旋转的性质和矩形的性质可得，再根据勾股定理即可得解； （2）连接，根据矩形的性质和旋转的性质可证，再证明，可得，即可得证； （3）设交于R，延长交于K，过G 作交延长线于H，直线交直线于T，连接AT， 分两种情况讨论，当在上方时，根据等面积求出，再根据勾股定理可得，再证明，即可得解；当在下方时，同理求解即可． 【规范解答】（1）解： 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ． （2）证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ． 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）解： 设交于R，延长交于K，过G 作交延长线于H，直线交直线于T，连接， 当在上方时，如图： 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ，,, ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， 根据旋转可得， ， ， ， ， ， ， G到直线的距离为， 当在下方时，如图： 同理可得，四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， G到直线的距离为， 综上所述，时，点G到直线的距离为或． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，正方形的边长为3，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ 【答案】①③④⑤ 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，正确找出全等三角形是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，，，进而得到共线，通过证明得到，，可判断①；利用线段的和差可判断③；利用角度的等量代换可判断④；利用三角形的周长公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断②，即可得出结论． 【规范解答】解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴，，，，， ∴， ∴共线， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故④正确；，故③正确； ∴ ， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故②错误； ∴综上所述，结论正确的是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 考点7：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【思路点拨】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【规范解答】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 考点8：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为 ．    【答案】12152 【思路点拨】本题考查坐标与图形的变换．然后通过旋转发现，每两个偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，再求得点的横坐标． 【规范解答】解：∵点、， ∴， ∴ ， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为12152． 故答案为：12152． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图在平面直角坐标系中，正方形的边AB在x轴上，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转．当第2026次旋转结束时，点C的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．根据正方形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【规范解答】解：将正方形绕点A逆时针旋转，如图 可知：，，，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是． 故答案为：． 考点9：线段问题(旋转综合题) 【典例精讲】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【规范解答】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形中，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，作交的延长线于，连接并延长，可证，得到，，进而可得是等腰直角三角形， 即得，即可得到点在的角平分线上移动， 作点关于的对称点， 连接，可得点在的延长线上， ，即得到，可知当三点共线时，取最小值，最小值为的长 ，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作交的延长线于，连接并延长， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上移动， 作点关于的对称点， 连接， ∵点在的角平分线上移动， ∴点在的延长线上， ∵， ∴， 当三点共线时，取最小值，最小值为的长 ， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值， 故答案为：． 考点10：面积问题(旋转综合题) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【规范解答】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 【变式训练】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由见解析． 【思路点拨】如图，连接，由点F是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【规范解答】解：重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵点F是的中点，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为即是重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化． 考点11：角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，将正方形的边绕点C逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点A顺时针旋转得到，连接，．若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】连接，根据旋转的性质，等边对等角可以证明 即可求解． 【规范解答】解：如图，连接． 将绕点A顺时针旋转得到， ． 又 ． 边绕点C逆时针旋转得到， ， ． 又， ， ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在和中，，点D在上．将绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转．在旋转过程中，当时，旋转的时间为 ． 【答案】或 【思路点拨】作出图形，分①当和在点O同侧时，设与相交于点E．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，再根据每秒旋转列式计算即可得解；②当和在点O异侧时，延长与相交于点F．根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解． 【规范解答】解：，， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当和在点O同侧时，设与相交于点E． ， ， 旋转角． 每秒旋转， 此时旋转的时间为； ②如图②，当和在点O异侧时，延长与相交于点F． ， ， ∴旋转角为， ∴旋转的时间为． 综上所述，当时，旋转的时间为或． 考点12：坐标系中的旋转 【典例精讲】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． (1)如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； (2)如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； (3)在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2) (3)点，的距离为，点的坐标为． 【思路点拨】本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大． （1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解； （2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标； （3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴点的坐标为； 当时，则绕点逆时针旋转得到， ∴可得点的坐标为，点的坐标为； ∴点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：记与x轴的交点为点E，连接，如图， ∵，则绕点逆时针旋转得到， ∴，且， ∴， ∵，， ∴在中，， 又∵点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即， 当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值， ∵点的坐标， ∴， ∴点，的距离， 过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图， 由点的坐标可知，， 当点，，三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， 即， ∴， 又∵， 在中，， 即， 即， 整理可得，， 可得， ∴解得， ∴， 即， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【规范解答】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 考点13：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【答案】14或2 【思路点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．作于E，延长交于F，连接、，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【规范解答】解：作于E，延长交于F，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：14或2． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【规范解答】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 考点14：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【规范解答】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 【变式训练】（2024·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【规范解答】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 考点15：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）一座拱形桥，桥下水面宽度是米，拱高是米． (1)如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升米至时，则的长是多少？ (2)如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是米，那么船的宽度为多少米，才能使船顺利通过拱桥？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥 【思路点拨】本题考查了抛物线的应用，垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，令，求出，得到，，即可求解； （2）设圆心为，半径为，连接，作于点，设米，在中，根据勾股定理求出米，得到米，米，在中，根据勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得，， 设抛物线的解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得， ，， ； （2）如图，设圆心为，半径为，连接，作于点， 设米， 米，米， 在中，，即， 米， 米，米， 米， 在中，， 米， 船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 考点16：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三个点确定一个圆 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键． 根据垂径定理判断选项A、B；根据圆心角、弧、弦的关系判断选项C；根据不在同一条直线上的三点确定一个圆判断选项D． 【规范解答】解：A、垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； D、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； 故选：A． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在上，且，． (1)求的度数． (2)连接并延长交于点，交于点，写出三条与直径有关的正确结论（不必证明）． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据弦与弧的关系可以得到，根据等弧所对的圆周角相等得到，再根据平行线的性质即可求出； （2）根据垂径定理可以得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①平分；②；③；④；⑤；⑥等（答案不唯一）． 考点17：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先设圆的半径为，根据已知条件和垂径定理求出，再根据勾股定理在和中，列出关于的二元一次方程，求出半径，从而求出直径即可； （2）在中，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出，，然后根据三角形中位线定理求出，最后根据四边形的面积进行计算即可． 【规范解答】（1）解：设圆的半径为， ．， ，为半径， ，， ， 在和中：， ， 解得：，（舍）， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， 为中点，为中点， 为中位线， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点、、、都在上，若，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 考点18：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【规范解答】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 考点19：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接，得出，，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据为优弧的中点，得出，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∴ ∵为优弧的中点， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 考点20：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，直径与弦交于点，，．求的长和的度数． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据，结合等弧所对的圆周角相等、勾股定理可得到，，最后根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，以及三角形外角性质即可得到结论． 【规范解答】解：是的直径， ． 又， ，． ， ． 又， ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质得到． 【规范解答】证明：如图，连接， 是圆的直径， ， ， ． 考点21：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 【答案】120 【思路点拨】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，由，易得点，，，共圆，然后由圆周角定理，求得点在量角器上对应的读数． 【规范解答】解：连接， ∵，为半圆的直径， ∴，，，四点共圆， ， ， 即第20秒点在量角器上对应的读数是， 故答案为：120． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）把正方形和正方形按如图方式拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作 ，分别交边、于点，，若，，则 的半径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，勾股定理；连接，得出是的直径，设，则，根据勾股定理可得，求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 设，∵，则， ∵，则， ∴， ∵四边形，是正方形， ∴， ∴ ∴是的直径， ∴ ∴ ∴ 解得：或（舍去） 设 的半径长为， ∴ 解得：（负值舍去） 故答案为：． 考点22：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内接四边形中，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：①；②是等边三角形；③的半径为2；④；⑤四边形最大面积是，其中正确的有 个． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了圆内接四边形的对角互补，圆周角定理，等边三角形的性质，全等的判定与性质等知识，根据角平分线的性质和圆周角定理可以得出；根据圆内接四边形对角互补，可得，则不是等边三角形，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可知， ，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证，根据等边三角形的性质可求出的面积为，当点为的中点时，的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解∶∵平分， ∴， ， ，故①符合题意； ∵四边形是的内接四边形， ， 又， ， ∴， 不是等边三角形，故②不符合题意； 如图，连接，过点作， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ∴的半径是，故③符合题意； 如图所示，在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故④符合题意； 如图，设为的中点，过点作， 是等边三角形， ，， ， ， 在中 ， ， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵的半径为， ∴点到线段的最大距离时，就是点为的中点时， 此时到的距离是， 的最大面积是 ∴四边形的最大面积是，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的逆定理，如图，，，通过勾股定理逆定理得，所以，然后通过圆内接四边形即可求出度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴长度等于的弦所对的圆周角是或， 故答案为：或． 考点23：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及矩形的外接圆： （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得，，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得，即可得到，解方程即可． 熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 所以 故； （2）解：由题可知： ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2， ∴，，， 则， ∴， 由（1）知 ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【规范解答】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 考点24：求正多边形的中心角 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 【答案】72 【思路点拨】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题的关键． 根据正多边形的内角和求出其边数，即可求出这个正多边形的中心角的度数． 【规范解答】解：设这个正多边形的边数为n， 则，解得， 所以正五边形的中心角是． 故答案为：72． 【变式训练】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 考点25：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【规范解答】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【规范解答】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 考点26：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【规范解答】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【思路点拨】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 考点27：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【规范解答】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【变式训练】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【思路点拨】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形． 【规范解答】解：如图，正方形ABCD为所作． 考点28：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O为旋转中心，把顺时针旋转 (1)画出旋转后的； (2)连接，直接写出外接圆的圆心坐标为______； (3)点B经过的路径的长度为______（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，弧长公式，三角形外接圆，正确画出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质即可解答； （2）利用直角所对的弦为直径即可解答； （3）根据弧长公式即可解答． 【规范解答】（1）解：旋转后的如图所示： （2）解：根据旋转的性质可得，， 外接圆的直径为， 外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：； （3）解：根据旋转的性质可得， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； (2)求点运动的路径长． 【答案】(1)答图见详解， ， (2) 【思路点拨】本题主要考查旋转变换的作图以及求弧长，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是做题的关键． （1）将点分别绕点顺时针旋转得到对应点，再与点顺次连接即可，根据图形得出坐标； （2）根据弧长公式即可求值． 【规范解答】（1）解：如图， 此时， ， ． （2）解：由题意得，圆心角，半径， ． 答：点运动的路径长． 考点29：求弓形面积 【典例精讲】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 考点30：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，是的直径，弦，垂足为， ． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了扇形的面积计算，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． （1）由的度数结合圆的性质可得的度数，即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长； （2）用半圆的面积减去的面积即可求得图中阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴为等边三角形 ∴， ∵弦， ∴，， ∴, ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 【变式训练】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． (1)的度数为_____； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是证明阴影的面积＝扇形 的面积． （1）由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，连接， 已知，由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 考点31：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴的长度为， （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又∵， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析，的坐标为 (2) 【思路点拨】本题考查旋转的性质和扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转确定点和点的坐标，连接旋转后新的三个顶点得到即可； 观察发现线段所扫过的面积为以原点为圆心，弧所形成的扇形，根据扇形面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：点旋转后得到，点的坐标为， 点旋转后得到，点的坐标为， 如图所示： （2）根据题意可知，从到，线段到，所扫过的图形为扇形，已知， 则， 因此线段所扫过的扇形面积为：． 答：线段所扫过的扇形面积为． 1．（2024·宁夏银川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，顶点、在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了点的坐标变化规律问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质等，过点作轴于点，连接，可得，由矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，可得每循环次与原图形重合，得到第次旋转结束时，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，即得第次旋转结束时，点落在第二象限，据此解答即可求解，找到旋转过程中点的坐标变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，， ∴每循环次与原图形重合， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同， 即第次旋转结束时，点落在第二象限， 如图，过点作轴于点，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可利用三角形内角和定理求出即可． 【规范解答】解： ， 将绕点旋转到的位置 ，， ， 故答案为： 3．（2024·新疆阿克苏·中考真题）如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为 ．    【答案】2 【思路点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转前后对应边相等证明是等边三角形，即可求解； 【规范解答】解：∵绕点A逆时针旋转 ，得到， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：2. 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 5．（2024·辽宁大连·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D落在线段的延长线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键． 根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【规范解答】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【规范解答】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【规范解答】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 【答案】/120度 【思路点拨】先由直角三角形两锐角互余得到，再由旋转性质得到，，结合等腰三角形的判断与性质、三角形内角和定理得到，数形结合表示出求值即可得到答案． 【规范解答】解：在中，，则， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 在等腰中，， 则， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了圆内接四边形．利用圆内接四边形的对角和为求解即可． 【规范解答】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． (1)请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； (2)请画出关于原点O成中心对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查坐标与图形变换——旋转与中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键 （1）根据旋转的定义作出点B、C绕点A顺时针旋转后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得； （2）根据中心对称的概念作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （3）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可得． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：的面积为． 培优拔高 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等腰，．若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理，线段的和差．先由勾股定理求出，再根据即可求解． 【规范解答】解：∵在等腰中，，， ∴， ∵ ∴线段的最大值为． 故选：C． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，由旋转的性质可知：，，再由正方形的性质得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出． 【规范解答】解：由旋转的性质可知：，， ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选C 8．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是 ． 【答案】5或或 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：①当时，过点作于点，如图： 由旋转可得：， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ②当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，，， ∴四边形是正方形， ∴； ③当时，此时三点共线，如图： 由旋转可知，， ∴， 在中， 综上，的长度是5或或， 故答案为：5或或． 9．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的直线垂直弦于点，，则的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．设的半径为r，则，根据垂径定理可求，再运用勾股定理可求半径r． 【规范解答】解：设的半径为r， 依题意，，，， 在中， ∴ 解得：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期中）请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作出关于点对称的； (2)如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查旋转中心，画中心对称图形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可． 【规范解答】（1）解：如图1，所作为所求； （2）解：如图2，所作点为所求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.9 圆的基本性质（章节复习） （知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的基本概念 2 知识点梳理02：点与圆的位置关系 3 知识点梳理03：圆的对称性 3 知识点梳理04：垂径定理及其推论 3 知识点梳理05：圆心角、弧、弦的关系 3 知识点梳理06：圆周角定理 4 知识点梳理07：弧长与扇形面积 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：圆的周长和面积问题 4 考点2：求特殊三角形外接圆的半径 5 考点3：已知外心的位置判断三角形的形状 5 考点4：确定圆心(尺规作图) 5 考点5：旋转中的规律性问题 6 考点6：根据旋转的性质说明线段或角相等 7 考点7：旋转的性质及辨析 8 考点8：坐标与旋转规律问题 9 考点9：线段问题(旋转综合题) 9 考点10：面积问题(旋转综合题) 10 考点11：角度问题(旋转综合题) 11 考点12：坐标系中的旋转 12 考点13：利用垂径定理求平行弦问题 13 考点14：利用垂径定理求同心圆问题 13 考点15：垂径定理的实际应用 13 考点16：利用弧、弦、圆心角的关系求解 14 考点17：利用弧、弦、圆心角的关系求证 15 考点18：圆周角定理 16 考点19：同弧或等弧所对的圆周角相等 16 考点20：半圆(直径)所对的圆周角是直角 17 考点21：90度的圆周角所对的弦是直径 18 考点22：已知圆内接四边形求角度 18 考点23：求四边形外接圆的直径 19 考点24：求正多边形的中心角 19 考点25：已知正多边形的中心角求边数 20 考点26：正多边形和圆的综合 20 考点27：尺规作图——正多边形 20 考点28：求某点的弧形运动路径长度 21 考点29：求弓形面积 22 考点30：求其他不规则图形的面积 23 考点31：求图形旋转后扫过的面积 24 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔高 29 知识点梳理01：圆的基本概念 1.圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2.与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 知识点梳理02：点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点梳理03：圆的对称性 1.轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴（无数条对称轴）。 2.中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 性质：绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合（旋转不变性）。 知识点梳理04：垂径定理及其推论 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点梳理05：圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4） 在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点梳理06：圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点梳理07：弧长与扇形面积 （1）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） （2）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 考点1：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 考点2：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ． 考点3：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 考点4：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【变式训练】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点6：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形． (1)如图①，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图②，当点在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)当旋转到时，请画出图形，求点到直线的距离． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，正方形的边长为3，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ 考点7：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 考点8：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为 ．    【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图在平面直角坐标系中，正方形的边AB在x轴上，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转．当第2026次旋转结束时，点C的坐标是 ． 考点9：线段问题(旋转综合题) 【典例精讲】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形中，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 考点10：面积问题(旋转综合题) 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【变式训练】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 考点11：角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，将正方形的边绕点C逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点A顺时针旋转得到，连接，．若，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在和中，，点D在上．将绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转．在旋转过程中，当时，旋转的时间为 ． 考点12：坐标系中的旋转 【典例精讲】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． (1)如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； (2)如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； (3)在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 考点13：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 考点14：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【变式训练】（2024·重庆·二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 考点15：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）一座拱形桥，桥下水面宽度是米，拱高是米． (1)如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升米至时，则的长是多少？ (2)如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是米，那么船的宽度为多少米，才能使船顺利通过拱桥？（结果保留根号） 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为 ． 考点16：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三个点确定一个圆 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在上，且，． (1)求的度数． (2)连接并延长交于点，交于点，写出三条与直径有关的正确结论（不必证明）． 考点17：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点、、、都在上，若，求证：． 考点18：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 考点19：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 考点20：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，直径与弦交于点，，．求的长和的度数． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 考点21：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏·期中）如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）把正方形和正方形按如图方式拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作 ，分别交边、于点，，若，，则 的半径长为 ． 考点22：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内接四边形中，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：①；②是等边三角形；③的半径为2；④；⑤四边形最大面积是，其中正确的有 个． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是 ． 考点23：求四边形外接圆的直径 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 考点24：求正多边形的中心角 【典例精讲】（24-25八年级下·上海·期末）如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度． 【变式训练】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 考点25：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点26：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 考点27：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【变式训练】（2024·陕西·模拟预测）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 考点28：求某点的弧形运动路径长度 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点O为旋转中心，把顺时针旋转 (1)画出旋转后的； (2)连接，直接写出外接圆的圆心坐标为______； (3)点B经过的路径的长度为______（结果保留）． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； (2)求点运动的路径长． 考点29：求弓形面积 【典例精讲】（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【变式训练】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 考点30：求其他不规则图形的面积 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，是的直径，弦，垂足为， ． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式训练】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． (1)的度数为_____； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 考点31：求图形旋转后扫过的面积 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【变式训练】（25-26九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出的坐标； (2)在（1）条件下，求线段所扫过的面积． 1．（2024·宁夏银川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，顶点、在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是 ． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则 ． 3．（2024·新疆阿克苏·中考真题）如图，P是等边内一点，连接AP，CP，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，若，则的长为 ．    4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁大连·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D落在线段的延长线上，，则（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是 ． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 5．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． (1)请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； (2)请画出关于原点O成中心对称的； (3)求的面积． 培优拔高 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等腰，．若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D． 7．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是 ． 9．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的直线垂直弦于点，，则的半径为 ． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期中）请仅用无刻度的直尺分别在图1、图2中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作出关于点对称的； (2)如图2，旋转得到，作出旋转中心点． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $