专题1.3 圆的基本性质全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）

专题1.3 圆的基本性质全章知识典例详解 【浙教版】 知识点1 圆有关的概念 1．圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 2．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 3．弧和弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．同心圆和等圆 ①圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 【典例1】（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【典例3】（2023•西区校级一模）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【典例4】（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【典例5】（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例6】（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．22 B．2 C．2 D．22 知识点2 确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： ①外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． ②外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【典例1】（2023秋•南乐县期末）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【典例2】（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【典例4】（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 【典例5】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　，半径为 　 ． 知识点3 图形的旋转 1．定义 把一个平面图形绕着平面内某一点О转动一个角度,叫做图形的旋转,点О叫做旋转中心,转动的角叫做旋转 角. 2．旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等. (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. (3)旋转前、后的图形全等. OA =OA'，OB =OB'，OC =OC'，∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角. 3．图形的旋转 把一个图案进行旋转,选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果. (1)旋转中心不变,改变旋转角 如下图所示的四边形ABCD的旋转图形，是以О点为中心，分别以40°,60°为旋转角顺时针旋转得到的. （2）旋转角不变,改变旋转中心 如下页图所示四边形ABCD的旋转图形，是分别以O1和O2为中心，以30°为旋转角顺时针旋转得到的. 4．图形的旋转的概念与性质的应用 由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变，所以在利用旋转来解决问题时要注意抓住以下几点： (1)找准旋转中“变”与“不变”； (2)找准旋转前后的“对应关系”； (3)充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. 5．旋转中心的确定方法 确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外.若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没有 改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.旋转的角度就是对应线段的夹角或对应顶点与对称中心连线的夹角. 【典例1】（2024春•涟水县校级月考）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A．65 B．75 C．85 D．130 【典例3】（2024春•焦作期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【典例4】（2023秋•海沧区期末）如图，△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（　　） A．∠COF＝∠BOE B．∠OAC＝∠ODF C．OC＝OF D．BC＝DF 【典例5】（2024•武清区三模）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AE B．∠BFD＝∠BAD C．∠BAF＝∠CAE D．EF+CF＝DE 【典例6】（2024•夏津县二模）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是（　　） A．100° B．80° C．75° D．90° 知识点4 垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 知识点5 圆心角 1．圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【典例1】（2024•甘谷县三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 【典例2】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【典例3】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 【典例4】（2023秋•泗阳县月考）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，，点M，N分别是OA，OB的中点，CM与CN相等吗？为什么？ 【典例5】（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 知识点6 圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 4．圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 5．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．50° C．70° D．80° 【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那么∠BOD的度数是（　　） A．58° B．96° C．106° D．116° 知识点7 正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【典例1】（2024•石狮市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为（　　） A．55° B．60° C．72° D．80° 【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 知识点8 弧长和扇形面积 ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 圆的基本性质全章知识典例详解 【浙教版】 知识点1 圆有关的概念 1．圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 2．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 3．弧和弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．同心圆和等圆 ①圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 【典例1】（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②半圆是弧，正确，符合题意； ③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意， 正确的有4个， 故选：D． 【典例2】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【解答】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【典例3】（2023•西区校级一模）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC． ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6， ∴OC＝OA10， ∴AB＝OA﹣OB＝4， 故选：C． 【典例4】（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6， ∴点P到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点P在⊙O外． 故选：C． 【典例5】（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴6＜r＜10， ∴r的值可能是8． 故选：B． 【典例6】（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．22 B．2 C．2 D．22 【分析】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，进而求得圆的半径，从而求得原点O到⊙M上一点的最短距离为：22． 【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0）， ∴OM＝2， ∵点A（0，4）， ∴AM2， 则原点O到⊙M上一点的最短距离为：22． 故选：A． 知识点2 确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： ①外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． ②外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【典例1】（2023秋•南乐县期末）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据等圆、等弧的概念、确定圆的条件判断即可． 【解答】解：①半径相等的圆是等圆，说法正确； ②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误； ③以2cm长为半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误； 故选：B． 【典例2】（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【典例3】（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【分析】由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断． 【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 【典例4】（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标． 【解答】解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（5，2）． 故选：D． 【典例5】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　，半径为 　 ． 【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标，根据勾股定理可求出半径． 【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3）， 连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图， ∴Q点的坐标是（2，1）， ∴A点的坐标是（0，2）， ∴圆弧的半径为． 故答案为：（2，1），． 知识点3 图形的旋转 1．定义 把一个平面图形绕着平面内某一点О转动一个角度,叫做图形的旋转,点О叫做旋转中心,转动的角叫做旋转 角. 2．旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等. (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. (3)旋转前、后的图形全等. OA =OA'，OB =OB'，OC =OC'，∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角. 3．图形的旋转 把一个图案进行旋转,选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案,会出现不同的效果. (1)旋转中心不变,改变旋转角 如下图所示的四边形ABCD的旋转图形，是以О点为中心，分别以40°,60°为旋转角顺时针旋转得到的. （2）旋转角不变,改变旋转中心 如下页图所示四边形ABCD的旋转图形，是分别以O1和O2为中心，以30°为旋转角顺时针旋转得到的. 4．图形的旋转的概念与性质的应用 由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变，所以在利用旋转来解决问题时要注意抓住以下几点： (1)找准旋转中“变”与“不变”； (2)找准旋转前后的“对应关系”； (3)充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. 5．旋转中心的确定方法 确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外.若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没有 改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.旋转的角度就是对应线段的夹角或对应顶点与对称中心连线的夹角. 【典例1】（2024春•涟水县校级月考）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【典例2】（2024春•南召县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A．65 B．75 C．85 D．130 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝95°，根据平行四边形的性质求出∠DAB即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣65°﹣20°＝95°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝95°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝85°， ∴旋转角n的度数是85°， 故选：C． 【典例3】（2024春•焦作期末）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】设每个小正方形的边长为1，分别计算出对应点到点A、点B、点C、点D的距离，再根据“对应点到旋转中心的距离相等”判断出A、B、C、D四点中哪个点是旋转中心． 【解答】解：∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ， ∴点E与点R是对应点，点F与点P是对应点，点G与点Q是对应点， 设每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理得点E到点A的距离是，而点E到点R的距离是1， ∴点E、点R到点A的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点A； ∵点E到点B的距离是，点R到点B的距离是2， ∴点E、点R到点B的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点B； ∵点E与点R到点C的距离都是4，点F与点P到点C的距离都是，点G与点Q到点C的距离都是， ∴旋转中心可能是点C； 观察图形可发现，点C不在线段FP的垂直平分线上， ∴点F与点P到点D的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点D， 故选：C． 【典例4】（2023秋•海沧区期末）如图，△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（　　） A．∠COF＝∠BOE B．∠OAC＝∠ODF C．OC＝OF D．BC＝DF 【分析】根据旋转的性质逐一判断即可． 【解答】解：∵△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的， ∴∠COF＝∠BOE，∠OAC＝∠ODF，OC＝OF，BC＝EF， 由已知条件无法得知BC＝DF， 故选：D． 【典例5】（2024•武清区三模）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AE B．∠BFD＝∠BAD C．∠BAF＝∠CAE D．EF+CF＝DE 【分析】根据图形旋转的性质，依次对所给选项进行判断即可． 【解答】解：由旋转可知， AB＝AD，AC＝AE， 显然AB与AC不一定相等． 故A选项不符合题意． 由旋转可知， ∠A＝∠B， 又因为∠AOD＝∠DOF， 所以∠BAD＝∠BFD． 故B选项符合题意． 由旋转可知， ∠BAD＝∠CAE， 显然∠BAF≠∠BAD． 故C选项不符合题意． 由旋转可知， DE＝BC， 因为BC＝BF+CF， 所以BF+FC＝DE， 显然BF与EF不一定相等． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【典例6】（2024•夏津县二模）如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'＝100°，则四边形ABOC旋转的角度是（　　） A．100° B．80° C．75° D．90° 【分析】根据旋转的性质得出∠C′AO′＝∠CAO，再求出∠OAO′的度数即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝50°，AO平分∠BAC， ∴∠CAO＝25°． 由旋转可知， ∠C′AO′＝∠CAO＝25°． 又∵∠OAC′＝100°， ∴∠OAO′＝100°﹣25°＝75°， ∴旋转的角度为75°． 故选：C． 知识点4 垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 【分析】首先连接OA，由半径OC⊥AB，AB＝6cm，根据垂径定理的即可求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得半径的长，继而求得DC的长． 【解答】解：连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AD＝BDAB6＝3（cm）， ∵OD＝4cm， ∴OA5（cm）， ∴OC＝OA＝5cm， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）． 故选：D． 【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则AP′AB＝8， 由勾股定理得：OP′6， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【典例3】（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到BHAB＝3，由勾股定理求出OH4，当C和H重合时，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，即可得到CD的取值范围． 【解答】解：过O作OH⊥AB于H， ∴BHAB6＝3， ∵⊙O的半径为5， ∴OB＝5， ∴OH4， ∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5＝9， 当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10， ∴CD的取值范围是9≤CD≤10． 故选：D． 【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 知识点5 圆心角 1．圆心角定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数. 2．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等. 【典例1】（2024•甘谷县三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算． 【解答】解：如图，连接OC、OD． ∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4， ∴， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4， ∴⊙O的周长＝2×4π＝8π． 故选：C． 【典例2】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【典例3】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦AC、BD相交于点P，、的度数分别为α、β，∠APB的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为　 　． 【分析】连接BC．求出∠ACB，∠DBC，再利用三角形的外角的性质求∠APB即可． 【解答】解：连接BC． ∵∠ACBα，∠DBCβ， 又∵∠APB＝∠ACB+∠DBC， ∴γ（α+β）， 故答案为γ（α+β）． 【典例4】（2023秋•泗阳县月考）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，，点M，N分别是OA，OB的中点，CM与CN相等吗？为什么？ 【分析】由OA，OB，OC是⊙O的半径，，根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由点M，N分别是OA，OB的中点，可得OM＝ON，继而可证得△OCM≌△OCN（SAS），则可得MC＝NC． 【解答】解：MC＝NC，理由如下： ∵OA，OB，OC是⊙O的半径，， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵点M，N分别是OA，OB的中点，OA＝OB， ∴OM＝ON， 在△OCM和△OCN中， ， ∴△OCM≌△OCN（SAS）， ∴MC＝NC． 【典例5】（2023秋•拱墅区校级月考）如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：AD＝BE． （2）若AD＝DO，r＝3，求CD长． 【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论； （2）求出OD，根据勾股定理即可求出CD． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵， ∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE； （2）解：∵AD＝DO，r＝3， ∴AD＝DO， ∵CD⊥OA， ∴CD． 知识点6 圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 4．圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 5．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∵∠BOC＝2∠AOB， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°． 故选：A． 【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数． 【解答】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠ADE＝∠ACE＝20°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 故选：C． 【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC∠COD＝65°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠DAC∠COD130°＝65°， ∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°． 故选：C． 【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可． 【解答】解：连接OB、OC、OP． ∵AD是半圆O的直径， ∴∠AOD＝180°， ∵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°， ∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB、△BOC均是等边三角形， ∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°， ∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°， ∵OC＝OP， ∴△COP是等腰三角形， ∵∠PCB＝130°， ∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°， ∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠PBC∠COP40°＝20°， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°． 故选：B． 【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBDCOD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠COD50°， ∴∠CBDCOD＝25°． 故选：B． 【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．50° C．70° D．80° 【分析】根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，根据三角形内角和定理求出∠DCE，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣40°＝50°， ∵∠AEB＝110°， ∴∠DEC＝∠AEB＝110°， ∵∠BDC＝40°， ∴∠DCE＝180°﹣110°﹣40°＝30°， 由圆周角定理得：∠ABD＝∠DCE＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+50°＝80°， 故选：D． 【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那么∠BOD的度数是（　　） A．58° B．96° C．106° D．116° 【分析】根据圆内接四边形对角互补和平角的定义证明∠C＝∠DAE＝58°，则由圆周角定理可得∠BOD＝2∠C＝116°． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠BAD＝180°， ∵∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠C＝∠DAE＝58°， ∴∠BOD＝2∠C＝116°， 故选：D． 知识点7 正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【典例1】（2024•石狮市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为（　　） A．55° B．60° C．72° D．80° 【分析】先根据正多边形内角和公式求出∠B＝∠C＝108°，根据切线的定义得出∠OMB＝∠ONC＝90°，进而可得∠MON，再根据圆周角定理可得． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∵⊙O切AB，CD于点M，N， ∴∠OMB＝∠ONC＝90°， 又∵五边形BMONC的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠MON＝540°﹣∠OMB﹣∠ONC﹣∠B﹣∠C＝144°， ∴， 故选：C． 【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数9． 故选：C． 【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接AO， ∵正三角形ABC， ∴， ∵OA＝OC， ∴， ∵正六边形ADBECF， ∴，DA＝DB， ∴， ∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°， ∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°， 故选：D． 知识点8 弧长和扇形面积 ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AB⊥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∴的长为：4π， 故选：C． 【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：连接OA、OD、OC， ∵∠B＝60°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝120°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°， ∴的长π． 故选：B． 【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）利用垂径定理和勾股定理求出OE和OB的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去三角形面积即可求得结果． 【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵，∠D＝30°，∠B＝∠D，AB⊥CD， ∴∠B＝30°，CECD＝2，∠CEB＝90°， ∴BC＝4，∠COE＝2∠B＝60°， ∴BE6，∠OCE＝30°， ∴OC＝2OE， ∴OEBE＝2，OB＝4， ∴阴影部分的面积为：2×22． 【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°； （2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OEOA； （3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝60° ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°． 故答案为：30°． （2）∵AB＝6， ∴OA＝OCAB＝3， ∵OF⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴OEOA＝1.5； （3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OF＝OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴OE＝EF，∠AOF＝60°， ∵∠CEO＝∠AEF＝90°， ∴△OEC≌△FEA（SAS）， ∴阴影的面积＝扇形OCF的面积， ∵∠B＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°， ∴扇形OCF的面积． ∴阴影的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$