第3章 圆的基本性质 培优测试卷2025-2026学年浙教版数学九年级上册

2025-2026学年浙教版数学九年级上册单元检测卷第3章 《圆的基本性质》培优测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° 2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3． 点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A=70°，⊙O的半径为3，则的长是(　　) A． B． C． D．7π 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB垂直，垂足为E，连结CO并延长，交⊙O于点F，∠CDB=30°，CD=2 则图中阴影部分的面积为(　　) A． B． C． D． 5． 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° 6．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8 8．如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若，则的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 10． 如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB 的中点，CD⊥OB 交 于点D，以OC 为半径的CE交OA 于点E，则图中阴影部分的面积是(　　). A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为　 　. 12．如图，六边形 ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABC-DEF的面积为S1，△ACE 的面积为 S2，则 　 　. 13． 如图，为的直径，，，则的度数为　 　． 14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　． 15．如图，已知是的圆周角，，则　 　° 16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 M 在⊙O 上，MD恰好经过圆心O，连结MB. （1）若CD=8，BE=2，求⊙O的半径； （2）若AB=10，∠M=∠D，求的长. 18．如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 19． 如图，已知⊙O的半径为 四边形 ABCD 内接于⊙O，连结 AC，BD，DB=DC，∠BDC=45° （1）求的长； （2）求证：AD 平分△ABC的外角∠EAC. 20． 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分． （1）求证：； （2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长． 21．如图，点，，在上，于点，交于点，连接，于点，与相文于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22．如图，点 C 为△ABD 外接圆上的一动点(点 C 不在 上，且不与点B，D重合)，∠ACB=∠ABD=45°. （1）求证：BD 是该外接圆的直径. （2）连接CD，求证： （3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的数量关系，并证明你的结论. 23．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】 （1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】 （2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】 （3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 24．回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】6 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】50 16．【答案】 17．【答案】（1）解：设⊙O的半径为r， 在 中， D 解得 ∴⊙O的半径为5； （2）解：如图， 连接OC， ∵OM=OB， ∴∠B=∠M， ∴∠DOB=∠B+∠M =2∠B， ∵∠DOE+∠D=90°， ∴2∠B+∠D=90°， ∵∠B=∠D， ∴2∠D+∠D=90°， ∴∠D=30°， ∴∠DOE=60°， ∴∠COD =120°， 的长为 18．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点E，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 19．【答案】（1）解：如图，连接OB， OC， ∵∠BDC =45°， ∴∠BOC =2∠BDC = 90°， 的长为 ​​​​​ （2）证明：∵DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB. ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠CAD=∠DCB. ∵∠DCB+∠DAB=180°，∠EAD+∠DAB=180°， ∴∠EAD=∠DCB， ∴ ∠EAD = ∠CAD， ∴ AD 平分△ABC的外角∠EAC. 20．【答案】（1）证明：连接CD ∵BD为直径 ∴∠BCD=90° ∴∠CBE+∠BDC=90°， ∵AC平分∠BAF ∴∠ABC=∠CAF 又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BDC=∠CAF ∵AF⊥BD ∴∠AEF+∠CAF=90° ∴∠AEF=∠CBD ∵∠AEF=∠BEC ∴∠CBE=∠BEC ∴BC=CE （2）解：连接AD 如图，GE=OG+OE=1+1=2， 由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6 OD=3，DE=OD-OE=3-1=2 ∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE ∴∠AEF=∠CAD AD=DE=2 在△ABD中，由勾股定理得AB= 即 21．【答案】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：连接， ∵直径， ， ， ， 设圆的半径是， ， ， ， ， ∴的半径长是。 22．【答案】（1）证明： ∴BD是 的外接圆的直径 （2）证明： 作 ，交CD的延长线于E， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， （3）解： 理由如下：延长MB交⊙O于F， 连接AF， DF， ∵BD为直径， 在 中，有 23．【答案】（1） （2）∵是的弦，且的半径为8， ∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ， ∴的最大值是16； （3）∵，， ∴是的直径，且圆心在上， ∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ，， ， ∵， ∴， ∴、、三点在同一条直线上， ∵， ∴ ， ∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴周长的最大值是 24．【答案】解：（1）8，； （2）如图，延长至点，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， ∵， ， 是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又是的直径， ， ∴， ， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ； （3）延长至点，使，连接， 由（2）同理可证，， ，， 又∵， ， ， ∵， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$