广东省广州市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

广州市第二中学2025学年第一学期期中考试 高二数学 命题：高二数学备课组 审校：高二数学备课组 2025年11月12日 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 若复数的共轭复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分.） 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 10. 已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 实数的取值范围是 B. 若椭圆的焦点在轴上，则 C. 若，则周长为 D. 若，则椭圆的离心率为 11. 如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 B. 点运动时，四棱锥的外接球半径为定值 C. 当时，异面直线与的夹角为 D. 半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为__________. 13. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 14. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_____________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，点到直线的距离为3，求的面积． 16. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值以及函数的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上的最小值. 17. 如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为棱的中点，证明：平面 ； （2）若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 18. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； （3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 广州市第二中学2025学年第一学期期中考试 高二数学 命题：高二数学备课组 审校：高二数学备课组 2025年11月12日 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AB 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1），； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【18题答案】 【答案】（1） （2）或. （3） 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【19题答案】 【答案】（1）与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $