专题08 利用勾股定理解决折叠及最短路径问题5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

null 专题08 利用勾股定理解决折叠及最短路径问题 目录 典例详解 类型一、折叠问题 类型二、长方体与最短路径问题 类型三、圆柱与最短路径问题 类型四、阶梯与最短路径问题 类型五、最短路径的选址问题 压轴专练 类型一、折叠问题 【例1】如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【例2】如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【变式1-1】如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 【变式1-2】如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【变式1-3】如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 类型二、长方体与最短路径问题 已知:在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 结论：长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为 【例3】如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是 ． 【例4】如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【变式2-1】如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C．15 D．21 【变式2-3】如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 类型三、圆柱与最短路径问题 已知:在底面半径为r,高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱表面螺旋爬行到点Q的最短路径 最短路径为 最短路径为 【例5】一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点爬到点的最短距离为（   ）． A．8 B． C． D．10 【例6】如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱表面爬行，从点C爬到点A，然后再沿另一面爬回点C，则小虫爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【变式3-3】某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 类型四、阶梯与最短路径问题 【例7】如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 【变式4-1】如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）    A． B．3 C． D．5 【变式4-2】如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 【变式4-3】如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ； 类型五、最短路径的选址问题 已知：如图，定点和定点在定直线的同侧 要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小） 解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线 【例9】如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为，，，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使得到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点，连接，则的最小值为 ． 【变式5-1】如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【变式5-3】在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 1．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 4．如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 5．代数式的最小值是 6．长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ． 7．如图，直角梯形纸片，，，，点、分别在线段、上，将沿翻折，点的落点记为．当落在直角梯形内部时，的最小值等于 ． 8．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 9．在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 10．如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是 ． 11．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 12．如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 13．如图，在中，，，是边上一点，，，是上一动点，求的最小值． 14．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 15．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $