精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试模拟数学试题

方城一高2025年秋期高二年级期中考试模拟（三） 数学试题 考试范围：北师大选修一前两章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题． 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与斜率关系直接求解即可. 【详解】直线的方向向量为，，解得：. 故选：B. 2. 已知直线经过，，直线经过，.如果，则（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 2或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直时的斜率关系求解即可，注意讨论斜率是否存在. 【详解】当，即时，则直线的斜率不存在，此时直线的斜率， 所以直线与直线垂直，满足条件， 当时，直线的斜率存在，且斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以， 解得； 综上，的值为5或2， 故答案为：D. 3. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 4. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出双曲线的草图，结合图形和双曲线的定义可得到，再根据双曲线的离心率公式和性质即可求解. 【详解】由题意可知：双曲线的焦点在轴上，点在双曲线的右支上. 结合题意，由双曲线的定义可得：， 因为，所以， 又因为， 所以，解得：， 又因为双曲线的离心率，所以. 故选：C. 7. 若直线y=ax+1与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出. 【详解】由直线y=ax+1可得直线的斜率为，且过定点，又， 则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或， 又， 或. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得. 【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线， 则，， 因为， 所以，所以，所以， 所以，， 所以. 因为， 所以， 解得，所以，点F到AM的距离为， 所以. 法二：因为， 所以，所以，即. 连接FM，又， 所以为等边三角形. 易得，所以. 故选：A. 二、多选题． 9. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【解析】 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 当轴时，取最小值 C. 若，则的最小值为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：标准方程是y2＝2px的抛物线的准线方程是x＝－； B：设P点坐标，用两点间距离公式表示|PF|，结合P点坐标的范围，即可求|PF|的最小值； C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值； D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确； B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误； C：作图分析： A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得， ，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选:ACD 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则 （ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用焦半径公式可得，即可知A正确；根据焦点三角形性质可知周长为，即B错误； 利用余弦定理可知的最大值为，可得C错误；D正确． 【详解】对A，根据椭圆性质可知，故，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对B，易知的周长为，故B错误； 对C，易知 ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大， 所以的最大值为，故C错误； 对D，由余弦定理 ， 即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知、是直线上的两点，若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】由两点间的距离公式可求解． 【详解】因为、在直线上，所以，． 根据两点间的距离公式，得 ，解得． 故答案为：. 13. 已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ___. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得点关于的对称点，从而得到，再由点斜式即可得到结果. 【详解】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 14. 已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 四、解答题． 15. 已知直线，． （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；点A的坐标为； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【小问1详解】 直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得，所以直线过定点，其坐标为. 【小问2详解】 当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 16. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点点距离求解半径，即可得圆的方程， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式，即可求解， （3）根据点关于直线的对称，可得圆心坐标，即可求解圆的方程. 【小问1详解】 设圆的圆的半径为， 因为圆经过点，故 所以圆的方程为． 【小问2详解】 依题意，圆的圆心到直线的距离为 当直线无斜率时，方程为，圆心到直线的距离为2，不符合题意， 设直线方程为，即， 则，解得，， ∴直线的方程为或 【小问3详解】 由题意得圆和圆的圆心和圆心关于直线对称，且半径相同 ， 直线的斜率为 设圆心，则,的中点坐标为，， 则,解得 所以圆的标准方程为， 17. 已知抛物线的准线与轴的交点为． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； （3）若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【小问1详解】 由题设知， 则； 【小问2详解】 由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. 【小问3详解】 由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 18. 已知双曲线. （1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； （2）若直线与双曲线相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点C.试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1），，，； （2）直线过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设直线，与双曲线联立，将交点个数问题转换成方程解的个数问题； （2）将直线与双曲线联立，韦达定理写出根与系数的关系，又以为直径的圆过双曲线的左顶点，所以，代入求解，得到与的关系即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得直线的斜率必存在，设， 联立，得 若，即时，满足题意， 若，即时， 令，解之得， 综上，的斜率为，，，； 【小问2详解】 设，，由，得， 则， ，， ∴， ∵以为直径的圆过双曲线的左顶点，∴， 因为， ∴，∴， ∴，解得或. 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，直线过定点，经检验符合题意. 直线过定点，定点坐标为. 19. 已知椭圆过点，焦距为2 . （1）求的方程; （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）(i)当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 设， 联立直线与椭圆的方程，得， 消去整理得，易知， 根据韦达定理可知，， 即， 同理，所以， 所以， 令，得，此时直线恒过， 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时， 易知也经过，所以直线过定点； (ii). 【解析】 【分析】（1）由椭圆所过的点及焦距求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）讨论直线斜率的存在性，设，联立椭圆方程并应用韦达定理，结合中点坐标求坐标，进而写出直线，即可证；（ii）根据（i）并应用弦长公式求相交弦长，由，最后应用基本不等式求范围即可. 【小问1详解】 由题意知椭圆过点 ，则， 因为，所以， 联立方程组 ，解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 (i) 略 (ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设， 由(i)得：，同理， 则 因为 ， 根据基本不等式 ，当且仅当时等号成立， 所以 ， 综上所述，四边形面积的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025年秋期高二年级期中考试模拟（三） 数学试题 考试范围：北师大选修一前两章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题． 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过，，直线经过，.如果，则（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 2或5 3. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线y=ax+1与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、多选题． 9. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 当轴时，取最小值 C. 若，则的最小值为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则 （ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 的最大值为 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知、是直线上的两点，若，则____ 13. 已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 ___. 14. 已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为_________． 四、解答题． 15. 已知直线，． （1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； （3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 16. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 17. 已知抛物线的准线与轴的交点为． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； （3）若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 18. 已知双曲线. （1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； （2）若直线与双曲线相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点C.试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 19. 已知椭圆过点，焦距为2 . （1）求的方程; （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于四点，设线段的中点分别为. (i)证明：直线过定点； (ii) 求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $