江苏省江阴长泾中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025年秋学期期中检测 高二数学试卷 考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卷上 一､单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2.已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 3.已知双曲线的焦点在轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若两直线平行，则实数取值集合是（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. 8 D. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 若，则是锐角 D 若对空间中任意一点，有，则M，A，B，C四点共面 10. 平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 直线与点的轨迹相离 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是 11. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为5 B. 的最大值为5 C. 存在点使得 D. 的最小值为 三､填空题（本题包含3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________． 13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________． 14. 历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______. 四､解答题（本题包含5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点是. （1）求BC边上的高所在直线的方程; （2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 16.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且. 求：（1）的长； （2）直线与所成角的余弦值. 17.已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数. （1）求动点M的轨迹C； （2）过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程. 18.已知圆，直线：. （1）求证：直线与圆O有两个不同的交点； （2）记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 2025年秋学期期中检测 高二数学试卷（参考答案） 一、单选题 B A B D C A C D 二、多选题 AD AC ABD 三、填空题 9 11、【分析】设，首先由圆得到圆心的坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，再由，求出，得到，得到椭圆的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A；由极化恒等式得可判断B；由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断C；将转化成求其最小值可判断D. 【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径， 因为，所以，所以点在椭圆外部. ，当且仅当、、三点共线（在、之间）时等号成立， 设，则所以，解得， 所以，∴椭圆 对于A：∵， 设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以A正确； 对于B： 又，∴，当且仅当在左、右顶点时取最大值5，故B正确； 对于C：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故C不正确； 对于D：因为 ，当且仅当、、、四点共线（且、在、之间）时取等号，故D正确. 故选：ABD. 四､解答题（本题包含5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点是. （1）求BC边上的高所在直线的方程; （2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程； （2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可. 【小问1详解】 因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1---------2 所以BC边上高所在直线为，即.----------------------5 【小问2详解】 因为点A，B到直线的距离相等， 所以直线与AB平行或过AB的中点，----------------------------------7 ①当直线与AB平行， 所以， 所以，即.----------------------------------------------10 ②当直线过AB的中点， 所以， 所以，即. 综上，直线的方程为或.-------------------------------------13 16.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且. 求：（1）的长； （2）直线与所成角的余弦值. 、B/ 【分析】：基底法 （1）令，则=-------------------------2 所以=-------------------4, ,故-------------------------7 （2）=,-------------------------------------------9 |=, ,-------------------------------------------11, =--------------------------------------------------13 ----------------------------------------------------------------15- 17. 17. 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数. （1） 求动点M的轨迹C； （2） 过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程. 【解析】： （1）由题知=,故：----------------------------------------3 化简得：；------------------------------------------------------6 （2）---------------------------------------8 令直线方程为时， 由韦达定理得到：①------------------------------------10 又因为③ 由①②③地关于的方程为：---------------------------------12 解之得：，即 综上：直线的方程为--------------------------------------15 18.已知圆，直线：. （1）求证：直线与圆O有两个不同的交点； （2）记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【解析】（1）原方程可化为，令 解之得：定点P----------------------------------------------------------------------------------2 ,所以定点P在圆内，所以，直线与圆相交--------------------------------4 （2）①由弦长公式得：,即，解之得---------------6 ，解之得 带入直线方程得：-------------------------------------------------------------------9 ②由题意知，------------------------------------------------------------------------------------10 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时-----------------12 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则，---------------------------------14 又， 所以 综上，为定值.-----------------------------------------------------------------------------17 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面；-----4 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，，---------------------6 设平面的法向量为，则，即，- 不妨令，则，，.---------------------------------------------8 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为；----------------------------------------10 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以，--------------12 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以，------------------------14 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或，------------16 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.-----------------------------------------------------------------------------------17 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $