精品解析：福建省福州第八中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

福州八中2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：江莹辉 审核：宋长芬 校对：林方婷 2025.11.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 2. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答. 【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点， 则在双曲线中，，即有，解得， 所以. 故选：C 3. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在四面体中，分别为的中点，且， 所以 . 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 6. 已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理可得，再利用向量求的长. 【详解】由椭圆方程可知：， 可得， 在中，由余弦定理可得 ， 即，解得， 因为为线段的中点，则， 可得 ， 所以的长为. 故选：A. 7. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 8. 如图，在棱长为 的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得点的轨迹是平面内以点为圆心，半径为的圆，可得，进而可得出题中所求角等于直线与直线的夹角，然后过点作平面 于点，过点作于点 ，连接，找出使得最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围. 【详解】连接交平面于点，延长线段至点，使得，连接、、，如下图所示： 已知在正方体中，底面，平面，， 又 四边形为正方形，所以，， ，平面，平面，， 同理，，平面， 三棱锥的体积为， ，， 可得， 所以，线段的长被平面与平面三等分，且与两平面分别垂直， 而正方体的棱长为 ，所以，，如下图所示： 其中，不妨设，由题意可， 所以，，可得， 所以，点在平面内以点为圆心，半径为的圆上. 因为，所以，直线与直线的夹角即为直线与直线所成角. 接下来要求出线段与的长，然后在中利用余弦定理求解. 如图，过点作平面 于点，过点作于点 ，连接， 根据题意可知，，且， 所以，，. 如图所示，，当点在处时，最大，当点在处时，最小. 这两种情况下直线与直线夹角的余弦值最大，为； 当点在点处时，为直角，此时余弦值最小为 . 综上所述，直线与直线所成角的余弦值的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 坐标原点关于平面的对称点是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义即可判断A；根据投影向量的定义即可判断B；根据夹角的坐标公式即可判断C；先求出原点到平面的距离，进而可判断D. 【详解】， 对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量是， 原点到平面的距离， 坐标原点关于平面的对称点是，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆的半径为定长,是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹可能是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 点的轨迹不可能是双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】定点可能在圆外，可能在圆上，可能在圆内（又可分为与圆心重合、不与圆心重合），结合中垂线的性质，分类讨论各种情况下点的轨迹. 【详解】对于A：若定点A在圆内且不与圆心重合，此时, ,点的轨迹满足椭圆定义. 故点的轨迹可能是椭圆，A正确. 对于B：若定点A在圆上，也在圆上，因此为圆的一条弦，根据垂径定理，弦的中垂线必过圆心,因此中垂线与直线交于点,此时点即点, 故的轨迹可能为一个点，B正确. 对于C：若定点A与圆心重合，此时与重合，的中垂线与的交点为线段的中点. 因此有,此时点的轨迹符合圆的定义. 故点的轨迹可能为圆，C错误. 对于D：若定点A在圆外，如下图，, . 或如下图，, . 因此有,故点的轨迹满足双曲线的定义. 故的轨迹可能是双曲线，D错误. 故选：AB. 11. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 点为该曲线的一个焦点 C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 D. 该曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项. 【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为. 平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由， 则有，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确； 再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为 轴正向，建立平面直角坐标系， 则，过作垂直于 轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误； 即椭圆离心率为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 13. 若斜率为的直线与 轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的斜率，进而求得边上的高所在直线的方程. （2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 因为B，C关于原点O对称，所以，， 所以边上高所在直线的斜率为， 因为，所以BC边上高所在直线的方程为， 所以BC边上高所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 因为过点的直线平分的面积， 所以直线l经过边AC的中点， 又，所以直线l的方程 15. 已知点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C方程； （2）若直线上存在点M满足，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式化简计算即可； （2）法一，利用点与圆，直线与圆的位置关系解不等式即可；法二，联立直线方程与圆C方程利用判别式计算即可. 【小问1详解】 设，则， ∵， ， ； 【小问2详解】 法一、（即M在圆C上及圆C的内部）， ， ， ， ； 法二、由题意可知直线与圆C有交点，联立方程， ，化简得， ， . 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求 的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由经过点，得，由离心率为得=，再根据联立解方程组即可； （2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式，设，弦长公式及点到直线的距离公式可表示出的面积，令其为，即可解出 值，验证是否满足． 【小问1详解】 解：因为椭圆经过点，其离心率， 所以，，解得，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由得： 由得： 设，， 则， 所以 又到的距离为， 所以， 整理得：，解得：，符合， 所以，. 17. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面 ； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面 ， 所以平面 . 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为 18. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2） （3） 由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为 ，且经过点， 可得椭圆的方程为， 由（2）知，， 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消 得， 则恒成立， 则， 线段得中点为，即， 又， 则线段的中垂线的方程为， 即， 同理线段的中垂线的方程为， 设的外接圆的圆心的坐标为， 则是方程的两根， 所以， 又， 所以，整理得， 则，即， 所以直线与的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可； （2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可； （3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论. 【小问1详解】 设， 由“倒影距离”的定义可知，， ， 由题意，即， 所以“倒影椭圆”C的方程为； 【小问2详解】 由， 得， 当时，， 当时，由对称性知，， 其图象如图所示， 故“倒影椭圆”C的面积； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州八中2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：江莹辉 审核：宋长芬 校对：林方婷 2025.11.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ） A. 14 B. 9 C. 4 D. 2 3. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 6. 已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为 的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三点，则（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 坐标原点关于平面的对称点是 10. 已知圆的半径为定长,是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 点的轨迹可能是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 点的轨迹不可能是双曲线 11. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点 长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ） A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B. 点为该曲线的一个焦点 C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为 D. 该曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 13. 若斜率为的直线与 轴交于点，与圆相切于点，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 15. 已知点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C方程； （2）若直线上存在点M满足，求实数m的最小值． 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆 的方程； （2）直线与椭圆 交于、两点，且的面积为，求 的值. 17. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面 ； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $