精品解析：上海市市北中学2025-2026学年高一上学期11月期中测试数学试题

2025学年第一学期期中测试（2025.11） 高一年级 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本大题共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分） 1. 已知全集为R，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】因为全集为R，集合， 所以， 故答案为： 2. 已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果. 【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则， 所以. 故答案为：. 3. 方程的解集为___________﹒ 【答案】##{x|x=1} 【解析】 【分析】对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则将对数符号去掉，解二次不等式求出方程的解﹒ 【详解】由题得，得﹒ 又，解得(舍)或﹒ 原方程的解集为{1}﹒ 故答案为：{1}﹒ 4. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（，且）的图象过定点A， 令，则，， 所以点A的坐标为. 故答案为：. 5. 若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论、和三种情况，求得的最小值，分析即可得答案. 【详解】因不等式恒成立， 则当时，因 ； 当时，，所以； 当时， 综上，函数的最小值为2，故，即a的取值范围是. 故答案为： 6. 设，，则__________．（结果用和表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 7. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室．则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】0.6 【解析】 【详解】当t＝0.1时，可得1＝()0.1－a， ∴0.1－a＝0，a＝0.1，由题意可得y≤0.25＝， 即()t－0.1≤，即t－0.1≥， 解得t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 8. 函数的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】函数转化为关于的二次函数，结合二次函数性质可得最小值． 【详解】函数定义域是，， ， 所以时，． 故答案为：． 9. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 10. 已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分，，，四种情况讨论求解不等式即可. 【详解】当时，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，所以， 等价于，解得，所以. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为:. 二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分） 11. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 12. 在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般幂函数的性质判断各项是否符合题设. 【详解】对于幂函数，在时函数在上是严格增函数，D不符； 又的定义域不关于原点对称，是奇函数，A、B不符； 由的定义域为R，且为偶函数，C符合. 故选：C 13. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得 【详解】因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18=77分） 14. （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集求得，代入目标不等式求解集即可； （2）由题设恒成立，只需即可求参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，故解集为. （2）由题设恒成立，故， 所以，则. 15. （1）已知正数a满足，，求的值； （2）已知a、b、c均为正数，且，求的值. 【答案】（1）（2）0 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案. （2）根据指对数互换的法则，可得a、b、c的值，代入所求，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）设，则， 所以 16. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】（1）， （2）当的长为m时，总造价最低，为59000元 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 17. 已知函数，． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）若的解集是，求的解集； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，，然后利用二次不等式的解法解不等式即可； （3）所求不等式可变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，可得， 即， 因为不等式的解集为，则， 此时，不等式即为，解得，合乎题意， 由，即，解得， 所以，不等式的解集为. 【小问3详解】 由可得，即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的根为，. （i）当时，即当时，解原不等式可得或， （ii）当时，即当时，原不等式即为，解得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得； （iv）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. （1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，可得，代入所求，即可得答案. （2）设有三个不相等的实数根，将可分解因式为，展开整理，待定系数，即可求得答案. （3）由（2）可知，，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中测试（2025.11） 高一年级 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本大题共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分） 1. 已知全集为R，集合，则__________. 2. 已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______． 3. 方程的解集为___________﹒ 4. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 5. 若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 6. 设，，则__________．（结果用和表示） 7. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室．则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 8. 函数的最小值为___________. 9. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 10. 已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为_________. 二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分） 11. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 12. 在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18=77分） 14. （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）若，恒成立，求实数的取值范围. 15. （1）已知正数a满足，，求的值； （2）已知a、b、c均为正数，且，求的值. 16. 2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： （1）设长为，用表示，并求出的取值范围； （2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 17. 已知函数，． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）若的解集是，求的解集； （3）解关于的不等式． 18. （1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $