5.3 一元一次方程的解法 基础讲义 2025-2026学年青岛版 数学七年级上册

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第5章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的解法 第1课时 合并同类项 前面我们学习了方程及其解的概念。本节我们将根据等式的基本性质，研究一次方程的一般解法。 导入新课 我们已经认识了方程和方程的解。从今天起,我们要学习如何解一元一次方程.这节课,我们就来学习如何利用‘合并同类项’解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。 我们先来回忆一下几个关键的基础知识: (1)等式有哪些基本性质？ (2)什么样的项叫做‘同类项’？请举例说明. (3)什么叫作合并同类项？它的法则是什么？ (1)等式的基本性质1: 等式两边都加上(或减去)同一个代数式,结果仍是等式.即如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c。 等式的基本性质2: 等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍是等式.即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 = 。 (2)像3与,-5y与y这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.常数项都是同类项。 (3)把多项式中的同类项合并成一项,叫作合并同类项。合并同类项法则:合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的和作为系数,字母与字母的指数不变。 。 合并下列各式中的同类项: (1)x+2x+3x; (2)5y-2y-y; (3)4a-1.5a+2.5a。 (1) 6x; (2) 2y; (3) 5a。 。 总结:等式可以归纳成a=b的形式。 复习与思考 在上节课中我们是如何解决下列问题的? 如果-x=1,那么x= 。 根据等式的基本性质2,等式两边都乘-3,得-3×(-x) =-3×1,即x=-3。 。 我们最后得到的x=-3与方程-x=1有什么关系? x=-3是方程-x=1的解。 。 观察等号左侧x的系数有什么样的变化? 又是如何变化的? 利用等式的基本性质2,把x的系数变为了1。 只要将方程化为x=c的形式,就能得到方程的解。 思考与交流 如何解方程6x=-24? 运用等式的基本性质2,方程6x=-24的两边都除以未知数的系数6,得  = −,即x=-4。 。 我们可以把这个步骤叫作系数化为1,所以上述过程可书写为: 解:系数化为1,得x=−,即x=-4。 如何确定x=-4是方程的解呢? 把x=-4代入方程左边,得6×(-4)=-24。方程的左右两边的值相等,所以x=-4是方程6x=-24的解。 例题讲解 例1 解方程:-x=6。 解:系数化为1,得x=6×(-) ,即x=-10。 检验:把x=-10代入方程左边,得(−) ×(-10)=6。方程的左右两边的值相等,所以x=-10是方程-x=6的解。 如何解方程 x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381呢? (1)这个方程变形为怎样的形式,就能求出它的解? (2)变形的依据是什么? (1) 把方程变形为x=c的形式,就能求出它的解。 (2)变形的依据是:合并同类项和等式的基本性质2。 。 解:合并同类项,得(1+2+4+8+16+32+64)x=381,即127x=381。 系数化为1,得x=3。 例题讲解 例2 解方程8x-3x=-5+7.5。 解:合并同类项,得5x=2.5。 系数化为1,得x=。 概括与表达 求方程的解的过程,叫作解方程。 解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的基本步骤有哪些? (1)合并同类项; (2)系数化为1。 总结：解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c（c为常数）的形式。 方程的解与解方程的区别与联系 类别 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数 求方程的解的过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 课堂巩固 1. 解方程： （1）6x-3x=9； （2）0.5a-3a=10； （3）7y-4.5y=2.5×3-5； （4） + = 8。 解:(1)合并同类项，得 3x=9。 系数化为1，得 x=3。 （2）合并同类项，得 -2.5a=10。 系数化为1，得 a=-4。 （3）合并同类项，得 2.5y=2.5。 系数化为1，得 y=1。 （4）合并同类项，得 2x=8。 系数化为1，得 x=4。 2. 已知4x与6x的和是12与-8得差的一半，求x的值。 解：由题意，得 4x+6x=〔12-（-8）〕， 合并同类项，得10x=10。 系数化为1，得x=1。 练习（p109） 1. 解下列方程： (1)3x=-27； (2)y-1.3y=2.1； (3)21x-4x=-34； (4)-x + x-6x =-15。 解：（1）系数化为1，得 x=-27×， x=-9。 （2）合并同类项，得 -0.3y=2.1。 系数化为1，得 y=2.1÷（-0.3）， 即 y=-7。 （3）合并同类项，得 17x=-34。 系数化为1，得 x=-34÷17， 即 x=-2。 （4）合并同类项，得 -7x=-15。 系数化为1，得 x=-15÷（-7）， 即 x=。 2. 三个连续奇数的和是51，求这三个数。 解：设最小的奇数为x，则三个连续奇数可表示为x，x+2, x+4， 则可列方程x+（x+2）+（x+4）=51， 则3x+6=51，3x=45， x=15。 所以这三个连续奇数是15，17，19。 重点内容总结 定义 求方程的解的过程 依据 等式的基本性质 一元一次方程 的解法 2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第5章 一元一次方程 1 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 移项 导入新课 这节课,我们将继续学习如何用移项法求解‘ax+b=cx+d’类型的一元一次方程。 我们先来复习一下几个相关的基础知识: (1)等式有哪些基本性质？ (2)求解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的基本步骤有哪些? (3)解方程10x-8x=20。 (1)等式的基本性质1: 等式两边都加上(或减去)同一个代数式,结果仍是等式.即如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c。 等式的基本性质2: 等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍是等式.即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么 = 。 (2)合并同类项;系数化为1。 (3)解:合并同类项,得 2x=20。 系数化为1,得 x=10。 观察与发现 如何解方程10x=8x+20? 这个方程有什么样的特点? 这个方程的两边都有含x的项。 那如何解这个方程呢? 为了使方程右边不含x,根据等式的基本性质1,方程两边都减去8x,得 10x-8x=8x+20-8x,即10x-8x=20。 合并同类项、系数化为1,得 2x=20，x=10。 。 思考与交流 将10x=8x+20变形为10x-8x=20,这种变形有什么规律? 变形的依据是什么？ 这个变形相当于把原方程的项8x改变符号后,从方程的一边移到了另一边,其依据是等式的基本性质1。 那么用同样的方法,把方程3x-12=-3里的-12移到等号的右侧,看看有什么样的变化? -12改变了符号。 你能总结一下我们刚才发现的规律吗？ 概括与表达 把方程中的某一项,从方程的一边移到另一边,需要改变符号。 把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫作移项。 二变 一变 注:（1）通常我们把含有未知数的项移到等号左侧,常数项移到等号右侧,原有项写在前面。 （2）不要把移项与加法交换律相混淆，解方程的移项与在方程一边交换两项的位置有着本质的区别：如果是等号一边的项发生位置变化，这些项不需要变号，这是由加法交换律决定的，但如果是某项从等号的一边移到另一边，这项就必须变号。 例题讲解 例1 解下列方程: （1）3-4x=2x+15； （2）2y-3=y+7。 解:（1）移项，得（移项要做到“两变”：①改变项的位置；②改变项的符号。） -4x-2x=15-3。 合并同类项，得 -6x=12。 系数化为1，得 x=-2。 （2）移项，得 2y-y=7+3。 合并同类项，得 y=10。 系数化为1，得 y=6。 解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程的基本步骤有哪些? 第一步，移项，把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 第二步，合并同类项，把含未知数的项和常数项分别合并； 第三步，未知数的系数化为1，方程的两边都除以未知数的系数。 例2 解方程： （1）3x+20=4x-25； （2）0.06t=5+0.04t。 解:（1）移项，得易错警示： 移项时忽视了改变符号致错 移项解一元一次方程时，通常把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项时注意改变符号，如本题（1）易出现“移项，得3x-4x=-25+20”这样移项忘记变号的错误。 3x-4x=-25-20。（一移） 合并同类项，得（二合） -x=-45。 系数化为1，得 x=45。（三化） （2）（方法一）移项，得 0.06t-0.04t=5。 合并同类项，得 0.02t=5。 系数化为1，得 t=250。 （方法二）方程两边同时乘100，得 6t=500+4t。 移项，得 6t-4t=500。 合并同类项，得 2t=500。 系数化为1，得 t=250。（将方程化为x=c（c为常数）的形式时，不能颠倒除数与被除数的位置。） 课堂巩固 3. 若多项式5+4x与2x-3的值相等，则x的值为（ ） A.4 B. -4 C. 2 D. -2 解析：由题意，得 5+4x=2x-3， 移项，得 4x-2x=-3-5。 合并同类项，得 2x=-8。 系数化为1，得 x=-4。 答案： B。 4. 将方程2x+3=4-3x移项，结果正确的是（ ） A.2x-3x=4-3 B. 2x-3x=4+3 C. 2x+3x=4-3 D.2x+3x=4+3 答案：C。 3.解方程： (1)x-4=-3x; (2)5x-1=9; (3)-4x-8=4; (4)0.5x-0.5=6.5-1.5x。 解：（1）移项，得 x+3x=4。 合并同类项，得 4x=4。 系数化为1，得 x=1。 （2）移项，得 5x=9+1。 合并同类项，得 5x=10。 系数化为1，得 x=2。 （3）移项，得 -4x=4+8。 合并同类项，得 -4x=12。 系数化为1，得 x=-3。 （4）移项，得 0.5x+1.5x=6.5+0.5。 合并同类项，得 2x=7。 系数化为1，得 x=3.5。 练习（p111） 3. 下列变形正确吗？如果不正确，应怎样改正？ (1) 由方程x+1=3,移项得x=3-1; (2) 由方程3y=4y-9，移项得3y-4y=-9; (3) 由方程2x-0.8=3x+1.6,移项得2x-3x=1.6-0.8; (4) 由方程10-3x=2-5x,移项得5x-3x=2-10。 答：（1）正确。（2）正确。（3）不正确。 移项，得2x-3x=1.6+0.8。（4）正确。 4. 解下列方程： （1）2x-3=-8； （2）6-21y=15; （3）7-4y=6-2y; （4）x+2.1=0.7-x。 解：（1）移项，得 2x=-8+3。 合并同类项，得 2x=-5。 系数化为1，得 x=-2.5。 （2）移项，得 -21y=15-6。 合并同类项，得 -21y=9。 系数化为1，得 y=-。 （3）移项，得 -4y+2y=6-7。 合并同类项，得 -2y=-1。 系数化为1，得 y=-。 （4）移项，得 x+x=0.7-2.1。 合并同类项，得 x=-1.4，即 x=-。 系数化为1，得 x=-2。 重点内容总结 步骤 第一步，移项，把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。 第二步，合并同类项，把含未知数的项和常数项分别合并； 第三步，未知数的系数化为1，方程的两边都除以未知数的系数。 。 定义 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边 一元一次方程的 解法：移项 1 学科网（北京）股份有限公司 $