2025年九年级中考数学 复习专题12 二次函数 讲义

专题12 二次函数的核心知识点精讲 考点1、二次函数的概念:一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 考点2、二次函数的常见表达式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。 （2）顶点式：y=a(x–h)2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）。 （3）交点式：y=a(x–x1)(x–x2)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0。 考点3、二次函数的图像和性质 1.二次函数顶点式的图像和性质 a的符号 a>0 a<0 图 像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) 增减性 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大。 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小。 最值 当x=h时，y有最小值， 当x=h时，y有最大值， 2.二次函数一般式的图像和性质 a的符号 a>0 a<0 图 像 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 (,) 增减性 当x<时，y随x增大而减小； 当x>时，y随x增大而增大。 当x<时，y随x增大而增大； 当x>时，y随x增大而减小。 最值 当x=时，y有最小值， 当x=时，y有最大值， 考点4、二次函数图像的画法 1.描点法：（1）确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。 （2）在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线。 2.平移法 （1）运用配方法将二次函数的一般式化成的形式，确定其顶点坐标为(h,k)。 （2）平移的规律： 移动方向(m>0) 平移前的解析式 平移后的解析式 简记 向左平移m个单位 左加 向右平移m个单位 右减 向上平移m个单位 上加 向下平移m个单位 下减 考点5、二次函数图像与a，b，c的关系 字母或代数式 字母的符号 图像的特征 a a>0 开口向上 越大开口越小 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴或直线x=0 左同右异 ab>0（a、b同号） 对称轴在y轴左边 ab<0（a、b异号） 对称轴在y轴右边 c 与y轴的交点（0，c） c=0 经过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 函数与x轴有1个交点（顶点） 函数与x轴有两个交点 函数与x轴没有交点 考点6、二次函数与一元二次方程的关系 判别式的情况 △>0 △=0 △<0 二次函数的图像与x轴的公共点情况 a>0 a<0 一元二次方程=0的实数根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 考点7、二次函数与不等式的关系 a>0 二次函数 的图像与x轴的公共点情况 与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，且x1<x2。 与x轴的交点横坐标分别 为x1，x2，且x1=x2=。 与x轴没有交点 不等式的解集 x<x1或x>x2 全体实数 不等式的解集 x1<x<x2 无解 无解 a<0 二次函数 的图像与x轴的公共点情况 与x轴的交点横坐分 别为x1，x2且x1<x2。 与x轴的交点横坐标分 别为x1，x2且x1=x2=。 与x轴没有交点 不等式的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式的解集 x<x1或x>x2 全体实数 题型1：确定二次函数解析式 例1.已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图象的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 例2.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 跟踪训练： 1.一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　 　． 2.如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 题型2：二次函数的图像和性质 例1.关于x的二次函数的解析式是y＝﹣3x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项 分别是（　　） A．3，﹣4，﹣1 B．3，﹣4，1 C．﹣3，4，1 D．﹣3，4，﹣1 例2.已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 例3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象大致为 （　　） A． B． C． D． 例4.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③a﹣b+c＜0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 跟踪训练： 1.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1 2.二次函数y＝3x2﹣1的二次项系数为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 3.已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 4.已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5.已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　） A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 6.已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　） A．B．C．D． 7.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3：二次函数的图像平移 例1.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线 解析式为（　　） A． B． C． D． 例2.抛物线y＝（x+1）2﹣4图象向右平移2个单位再向上平移3个单位，所得图象的关系 式为y＝x2+bx+c，则b，c的值为（　　） A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝﹣2，c＝﹣1 D．b＝﹣2，c＝0 跟踪训练： 1.将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4 2.抛物线y＝x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（　　） A．y＝x2+x B．y＝x2﹣4 C．y＝x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1 3.将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5（x﹣1）2+1 B．y＝5（x﹣4）2+3 C．y＝5（x﹣4）2﹣1 D．y＝5（x﹣3）2+4 题型4：二次函数与方程、不等式 例1.如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关 于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 例2.如图所示二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝x﹣2的图象交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）求A，B两点坐标； （2）求△AOB的面积； （3）求不等式﹣x2﹣x+2≥0的取值范围（直接写出答案）． 跟踪训练： 1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方 程，结论正确的是（　　） A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4 2.二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点 （mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为　 　． 题型5：抛物线的实际应用 例1.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 跟踪训练： 1.次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 2.某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 题型6：二次函数的综合应用 例1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标． 跟踪训练： 1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标． 2.如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y轴的交点． （1）点B的坐标为　 　． （2）直线y2＝kx+b过点A、C两点，则当x满足条件　 　时，y1≥y2． （3）已知a＝1． ①设点Q抛物线的顶点，连接AQ、CQ，求四边形AQCB的面积； ②点P在抛物线上，且S△POC＝2S△BOC，求点P的坐标． 专题练习-基础过关 1.抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4） 2.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 3．将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2 4．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标是（﹣1，2） D．（﹣1，0）在此函数图象上 5.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x1＞x2＞1，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1≥y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2 6．关于二次函数y＝（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，1） C．当x＞3时，y随x的增大而减小 D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，10） 7.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球 飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水 平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成 绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 8.在抛物线y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　） A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣1 9.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第9题图 第10题图 10.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2 11.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C．D． 12.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 第12题图 第13题图 13.小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象中，观察得出了下面五条信息：①ab；②b2﹣4ac＝0；③ab＞0；④a+b+c＜0；⑤b+2c＞0．你认为正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为　 　． 第14题图 第16题图 15.将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式 为　 　． 16.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是　 　． 17.如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为　 　． 第17题图 第18题图 18.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的 关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　 　m． 19.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b2＞4ac； ②abc＞0； ③2a﹣b＝0； ④a+b+c＜0； ⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20.已知二次函数y＝﹣x2+4x+3． （1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围． 21.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对称轴是直线x＝2.5． （1）求该函数解析式； （2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标． 22.已知抛物线y＝ax2+bx+c，其中2a＝b＞0＞c，且a+b+c＝0． （1）求抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点坐标． （2）证明：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在第三象限． 23.一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C． （1）求m和a的值； （2）当k＝﹣1，b＝2时，求△AOB的面积． （3）在（2）的条件下若直线AB下方的抛物线上有一动点M，请直接写出当△ABM的面积取最大值时点M的坐标． 24.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0）， 且对称轴为直线x＝1． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标． 25.某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 26.如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0， 3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 学科网（北京）股份有限公司 $