2025年九年级中考数学 复习专题11 反比例函数 讲义

专题11 反比例函数的核心知识点精讲 考点1、反比例函数的概念 1．一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成（k是常数，k≠0）或（k是常数，k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x≠0，函数值y≠0． 考点2、反比例函数的图象和性质 1．（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x 对称中心为原点． 3．（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 考点3、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法 确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数， 因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 考点4、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点， 则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 考点5、反比例函数与一次函数的综合 一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标，若,。 ①若=，则x=或x=； ②若，则x>或<x<； ③若，则x<或<x<。 题型1：反比例函数的图像和性质 例1.关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1 解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确； 反比例函数图象经过点（a，a+2），∴a（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3， 故D选项错误，故选：C． 跟踪训练： 1.反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2） 解：∵反比例函数，∴k＝﹣4， A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C． 2.在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），∴直线经过点（1，0），A、C不合题意； B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意； D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一致，符合题意；故选：D． 3.已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 解：∵k＜0，∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）， ∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内， ∴y1＞0，y2＞0，y3＜0， 又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选：C． 题型2：求反比例函数解析式 例1.在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为　y＝　． 解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，∴k＝±4，∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0，解得k＞1，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝． 跟踪训练： 1.反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为　y＝　． 解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），∴＝m．∴m＝8，∴解析式为：y＝． 2.已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为　y＝﹣　． 解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），∴点A'（2，m）， ∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，∴m＝＝1，∴A（﹣2，1）， ∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，∴反比例函数的表达式为y＝﹣. 题型3：反比例函数系数K的几何意义 例1.如图，点A在函数的图像上，点B在函数 的图像上，且AB∥轴，BC⊥轴于点C，则四边形ABCO的面积为 3 。 例1图 例2图 例2.双曲线与在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于轴的直线分别交双曲线于点A、B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积 为 1 。 跟踪训练： 1.如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作轴的垂线，垂足分别为点C,D，则四边形ACBD的面积为 8 。 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作AB⊥轴于点B，点P在轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。 3.已知反比例函数在第一象限的图像如图所示，点A在其图像上，点B在为轴正半轴上的一点，连接AO，AB，且AO=AB，则= 6 。 题型4：与反比例函数有关的综合题 例1.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n） 两点，与坐标轴分别交于M、N两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b0中x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 解：（1）∵点A 在反比例函数y上，∴4，解得m＝1，∴点A的坐标为（1，4）， 又∵点B也在反比例函数y上，∴n，解得n＝2，∴点B的坐标为（2，2）， 又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6． （2）x的取值范围为1＜x＜2； （3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0）， S△AOB＝S△AON﹣S△BON3×43×2＝3． 例2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于， 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，则△AOB的面积为　　 ； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 解：（1）由条件可得：， ∴， 把代入， 得：， ∴； （2）设一次函数与y轴的交点为点C， 当x＝0时，y1＝3，∴C（0，3），∴OC＝3， ∵B（n，﹣1）反比例函数的图象上， ∴n＝6， ∴B（6，﹣1）， ∴； 故答案为：； （3）由图象可知：的解集为：或x＞6． 跟踪训练： 1.如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣6），C（6，n），交y轴于点B，交x轴于点D． （1）分别求一次函数y1＝kx+b和反比例函数的函数关系式； （2）连接OA，OC，求△AOC的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 解：（1）∵把A（﹣3，﹣6）代入代入y2，得：m＝18，∴y2， ∵把C（6，n）代入得：n＝3，∴C（6，3）， ∵把A、C的坐标代入y1＝kx+b得：， 解得：k＝1，b＝﹣3， ∴y1＝x﹣3， ∴反比例函数的表达式是y2，一次函数的表达式是y1＝x﹣3； （2）∵把y＝0代入y1＝x﹣3得：x＝3， ∴D（3，0），OD＝3， ∴S△AOC＝S△DOC+S△AOD 3×33×|﹣6| ； 即△AOC的面积是； （3）根据图象和A、C的坐标得出，当x＜﹣3或0＜x＜6时，y1＝kx+b的值小于反比例函数y2的值 2.如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数（k为常数， k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝1×3＝﹣3×a，∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y， ∵一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，不等式的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2） ∴S△OBD1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P的坐标为（m，）， ∴4， 解得m，∴点P（，﹣4）． 专题练习-基础过关 1.若点（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（） B．（﹣4，﹣1） C．（） D．（﹣4，1） 解：将点（﹣1，4）代入反比例函数解析式，解得：k＝﹣4，故选：D． 2．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣＝2，即该函数过点（﹣1，2），故结论正确，选项A不符合题意；B．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项B符合题意；C．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴该函数图象为第二、四象限，故结论正确，选项C不符合题意；D．∵反比例函数y＝﹣，k＝﹣2＜0，∴该函数图象为第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵当x＝1时，y＝﹣＝﹣2，∴若x＞1，则﹣2＜y＜0，故结论正确，选项D不符合题意；故选：B． 3．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3 解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，∴a+3＜0，解得a＜﹣3．故选：D. 4.函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确.当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D． 5.已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数的图象上，则y1， y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 解：∵反比例函数，∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数的图象上， ∴y2＜y1＜y3，故选：B． 6.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 解：连接OC，如图，∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，∴S△AOB＝3S△BOC，∴S△BOC＝×12＝4，∴|k|＝4，而k＞0，∴k＝8．故选：C． 7.下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D． 解：A、∵y＝x2+2x﹣3开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，且函数图象过（0，﹣3）点， ∴该函数图象过一、二、三、四象限，故本选项不合题意； B、∵y＝2x的系数2＞0，∴该函数图象过一、三象限，故本选项不合题意； C、在y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0，b＝2＞0，∴该函数图象过一、二、四象限，故本选项符合题意； D、∵y＝中，3＞0，∴函数图象过一、三象限，故本选项不合题意；故选：C． 8.如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中 A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3 C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3， ∴点B的横坐标为﹣3．观察函数图象，发现： 当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．故选：B． 9.如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（　　） A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 解：∵A（﹣2，4）在反比例函数图象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣， 又∵B（m，﹣2）在y＝﹣图象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2）， ∵点A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上， ∴，解得，一次函数解析式为：y＝﹣x+2． 由图象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．故选：B． 10.如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12 解：∵AC⊥x轴于点C， 与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，而m＜0，n＜0， ∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n， ∵AC＝3BC，∴AB＝2BC， ∴S△ABO＝2S△OBC＝2，即﹣n＝1，解得n＝﹣2， ∵﹣m＝2+1，解得m＝﹣6，∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8． 故选：B． 11.若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是　k＞9　． 解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴k﹣9＞0，解得k＞9． 故答案为：k＞9． 12.反比例函数的图象经过点（2，﹣1），则k的值为　﹣1　． 解：∵反比例函数的图象经过点（2，﹣1），把点（2，﹣1）代入 ∴﹣1＝，解得：k＝﹣1；故答案为：﹣1． 13．反比例函数，在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x 轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB＝2，则k的值为　 8　． 解：∵AB∥x轴， ∴，， ∵S△OBC﹣S△OAC＝S△AOB，∴， 而k＞0，∴k＝8．故答案为：8． 14．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了　 150　度． 解：设函数的解析式为y＝（x＞0），∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米， ∴k＝400×0.25＝100，∴解析式为y＝，∴当y＝0.4时，x＝＝250， ∵小慧原来戴400度的近视眼镜，∴小慧所戴眼镜的度数降低了400﹣250＝150度， 故答案为：150． 15.已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当y＝﹣6时，求x的值． 解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝，将x＝2，y＝12代入，得12＝， 解得k＝24，∴y关于x的函数表达式为； （2）当y＝﹣6时，，解得x＝﹣4． 16.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为y＝， ∵点（12，14）在该函数的图象上，∴14＝，得k＝168， ∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝， 当y＝28时，28＝，得x＝6，当y＝4时，4＝，得x＝42， ∴停止加热过程中对应的函数解析式为y＝（6≤x≤42）， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝ax+b， ∵点（0，4）、（6，28）在该函数的图象上， ∴，得， ∴该材料加热过程中对应的函数解析式为y＝4x+4（0＜x＜6）； （2）将y＝12代入y＝4x+4中，12＝4x+4，得x＝2， 将y＝12代入y＝中，12＝，得x＝14， 14﹣2＝12（分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 17.已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象直接写出不等式kx+b>的解集． 解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8； （3）观察函数图象知， 不等式kx+b＞的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 18.如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点 A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝2S△OBD，求点P的坐标． 解：（1）由条件可知k＝1×3＝﹣3×a， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为， 一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ∴， 解得， 一次函数解析式为y＝x+2； （2）由图象可知，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜1； （3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2， ∴C（﹣2，0），D（0，2）， ∴， ∴S△OCP＝2S△OBD＝2， 设点P坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去），∴点． 19.如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 解：（1）∵反比例函数过点C（1，4），D（4，m）， ∴k＝1×4＝4m， 解得：k＝4，m＝1， 反比例函数解析式为：，点D（4，1）， ∵一次函数解析式y＝ax+b过点C，D， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+5； （2）设直线AB向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 由（1）知，一次函数解析式为y＝﹣x+5， ∴平移后的解析式为y＝﹣x+5﹣n， ∴， 整理得：x2﹣（5﹣n）x+4＝0， ∵Δ＝（5﹣n）2﹣4×1×4＝0，即（5﹣n）2＝16， ∴5﹣n＝±4， 解得n＝9或1， ∴直线AB向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 反比例函数的核心知识点精讲 考点1、反比例函数的概念 1．一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成（k是常数，k≠0）或（k是常数，k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x≠0，函数值y≠0． 考点2、反比例函数的图象和性质 1．（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x 对称中心为原点． 3．（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 考点3、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法 确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数， 因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 考点4、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点， 则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 考点5、反比例函数与一次函数的综合 一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标，若,。 ①若=，则x=或x=； ②若，则x>或<x<； ③若，则x<或<x<。 题型1：反比例函数的图像和性质 例1.关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1 跟踪训练： 1.反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2） 2.在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 3.已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 题型2：求反比例函数解析式 例1.在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为　 　． 跟踪训练： 1.反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为　 　． 2.已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正 比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为　 　． 题型3：反比例函数系数K的几何意义 例1.如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且AB∥轴，BC⊥轴于点C，则四边形ABCO的面积为　 　． 例1图 例2图 例2.双曲线与在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于轴的直线分别交双曲线于点A、B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为　 　． 跟踪训练： 1.如图，函数与函数的图像相交于A，B两点，过A，B两点分别作轴的垂线，垂足分别为点C,D，则四边形ACBD的面积为　 　． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作AB⊥轴于点B，点P在轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为　 　． 3.已知反比例函数在第一象限的图像如图所示，点A在其图像上，点B在为轴正半轴上的一点，连接AO，AB，且AO=AB，则=　 　． 题型4：与反比例函数有关的综合题 例1.如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于A（m，4），B（2，n） 两点，与坐标轴分别交于M、N两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b0中x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 例2.如图，一次函数与反比例函数的图象交于， 两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，则△AOB的面积为 　　 ； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 跟踪训练： 1.如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣6），C（6，n），交y轴于点B，交x轴于点D． （1）分别求一次函数y1＝kx+b和反比例函数的函数关系式； （2）连接OA，OC，求△AOC的面积； （3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围． 2.如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数（k为常数， k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 专题练习-基础过关 1.若点（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（） B．（﹣4，﹣1） C．（） D．（﹣4，1） 2．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 3．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3 4.函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5.已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数的图象上，则y1， y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 6.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 7.下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D． 8.如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中 A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3 C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 9.如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜的解集是（　　） A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 第9题图 第10题图 第13题图 10.如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12 11.若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是　 　． 12.反比例函数的图象经过点（2，﹣1），则k的值为　 　． 13．反比例函数，在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x 轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB＝2，则k的值为　 　． 14．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜 片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只 需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了　 　度． 15.已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当y＝﹣6时，求x的值． 16.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 17.已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）结合图象直接写出不等式kx+b>的解集． 18.如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点 A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝2S△OBD，求点P的坐标． 19.如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 学科网（北京）股份有限公司 $