第13章 分式（复习讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第13章 分式（复习讲义） 1.准确掌握分式的定义，能区分分式与整式，明确分式有意义、无意义、值为 0 的条件，并能熟练求解相关字母的取值范围。​理解分式的基本性质，包括分子分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变，能结合性质解释分式变形的依据。掌握最简分式、最简公分母的概念，能熟练进行分式的通分与约分运算，约分结果化为最简分式，通分过程规范且准确运用最简公分母。​ 2.掌握分式的加、减、乘、除及乘方运算法则，能灵活进行混合运算，运算过程中注意符号处理，结果化简到位。理解整数指数幂的运算性质，能运用性质进行幂的混合运算，并将结果化为正整数指数幂的形式。 3.掌握分式方程的定义与解法，能根据实际问题中的数量关系列出分式方程，解决工程问题、行程问题、浓度问题等典型应用场景，培养建模能力和实际应用能力。 知识点01：分式及其性质 1.分式的意义 2.分式的基本性质 知识点02：分式的运算 知识点03：分式方程 分式方程 题型一 分式的意义 【例1-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 【例1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 【例1-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴时，分式的值为0． 故答案为：2． 【例1-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵，   ∴， ∴． 故选：A． 【例1-5】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）当x 时，分式有意义． 【答案】且 【详解】解：由题意得：， 解得：且； 故答案为：且． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式的值为零． 【答案】2 【详解】由题意知，，， 解得，， 故答案为：2． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式无意义． 【答案】 【详解】解；∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 题型二 分式的基本性质 【例2-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； B、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； C、分式的分子、分母同时除以，分式的值不变，故此选项符合题意； D、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 【例2-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， 只有不能约分，它是最简分式； 故选：A． 【例2-4】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如果分式中的字母都扩大为原来的2倍，那么分式的值等于（   ） A．原来的4倍 B．原来的2倍 C．原来的 D．原来的 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 题型三 分式的化简和计算 【例3-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例3-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为；． 【例3-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【例3-4】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【例3-5】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】（其中且） 【详解】解：根据题意且，即且， 原式 （其中且）． 【例3-6】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ， 原式． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-5】（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． 题型四 分式运算综合应用 【例4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 【例4-3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1． （2）解：①由题意得：， ∵ ， ∴， ∴， ∴． ②由（2）①可知，， ∵为整数，且的值也为整数， ∴或或或， ∴或或或， 综上，所有符合条件的的值为0，2，4，6． 【例4-4】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 【答案】 1 3 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读下面的材料，并解答后面的问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以，解之，得． 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． (1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； (2)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【详解】（1）解：由分母为，可设， 因为， 所以， ， ， ； （2）由分母为，可设， 因为 ， 所以， ， ， ． 题型五 负整数指数幂及其应用 分式运算的技巧 【例5-1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：，而，两者不一定相等，故A错误； B：，故B正确； C：，而，两者不一定相等，故C错误； D：，不等于，故D错误； 故选B． 【例5-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，结果不含负整数指数幂： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【例5-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【例5-4】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ； 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】4 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：4． 【变式5-2】（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则 ． 【答案】 【详解】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海·期中）若，则的值是 ． 【答案】0或 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型六 分式方程及其解法 【例6-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值是． 故答案为：． 【例6-3】（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， ， 解这个整式方程得：， 检验：当 时，分母，原方程无意义 ∴ 是增根，原方程无解 （2）解： ， ， 解得，， 检验：当时，，，原方程有意义 ∴是原方程的根 【例6-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 题型七 分式方程的实际应用 【例7-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 【例7-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 【例7-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 【详解】解：设乙车的速度为，则甲车的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴，． 答：乙车的速度为，甲车的速度为． 【例7-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 实际每天绿化的面积为， 答：实际每天绿化的面积为0.5万平方米． 【例7-5】（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【详解】（1）解：设第一次所购苹果的进货价是每千克x元， 第二次所购苹果的进货价是每千克元， 根据题意，列方程得： 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际． 答：第一次所购苹果的进货价是每千克5元． （2）解：第一次数量：千克；第二次数量：300千克 总获利：元 答：该水果店售完这些苹果共可获利1050元． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：小明平均每分钟打字为个， 则可列方程是， 故答案为：． 【变式7-2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【详解】解：设调整前每度电的价格是元，则调整后每度电的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：调整后每度电的价格是元． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． 【变式7-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 【变式7-5】（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【详解】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得 解得 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知， 月销量为（本） 月销量为（本） 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的进价为：元， 月份书店销售该图书获利为： （元） 答：月份销售该图书获利元． 【变式7-6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 【详解】（1）解：设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元； （2）解：由（1）可知，购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量：(罐)， ∴商家总共盈利： (元) 答：商家总共盈利元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：．，不符合题意； B．是最简分式，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意. 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查幂的运算性质，包括负整数指数幂、同底数幂的除法、幂的乘方以及零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的运算性质，逐项分析即可判断． 【分析】解：选项A：，故此选项运算错误，不符合题意； 选项B：，故此选项运算错误，不符合题意； 选项C：，故此选项运算正确，符合题意； 选项D：，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的除法法则． 利用分式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义，解题的关键是明确分式有意义的条件是分母不等于0． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 7．（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分， 先确定公因式，再约分即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方； 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】直接约分化简即可． 【详解】． 故答案为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式． 11．（2021·上海·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母加减法，约分，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母减法，再进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 12．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键．根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键；根据分式的加减法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质化简，乘法公式的运用，掌握分式的性质是关键． 运用乘法公式因式分解，再根据分式的性质化简，由此即可求解． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是去分母，注意分式方程的解一定要检验．去分母，将分式方程转化为整式方程解出的值并检验． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得： 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 能力提升进阶练 一、填空题 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海松江·月考）已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 6．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【详解】原式 = 故答案为： 7．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用．由，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 二、解答题 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】无解 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 检验：把代入， 是增根，原方程无解． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）（1）解分式方程：       （2）解分式方程： 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题主要考查解分式方程； （1）两边同时乘，再进行检验即可； （2）两边同时乘，再进行检验即可 【详解】解：（1） 检验，当，，即是增根， ∴分式方程无解． （2） 两边同时乘 检验，当时， ∴ 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 12．（24-25七年级上·上海长宁·期末）先化简，再在，，，，中选取一个合适的的值代入，求出代数式的值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，先将除法转化为乘法，然后约分，再算减法，最后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵当，0，2或时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 13．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式（复习讲义） 1.准确掌握分式的定义，能区分分式与整式，明确分式有意义、无意义、值为 0 的条件，并能熟练求解相关字母的取值范围。​理解分式的基本性质，包括分子分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变，能结合性质解释分式变形的依据。掌握最简分式、最简公分母的概念，能熟练进行分式的通分与约分运算，约分结果化为最简分式，通分过程规范且准确运用最简公分母。​ 2.掌握分式的加、减、乘、除及乘方运算法则，能灵活进行混合运算，运算过程中注意符号处理，结果化简到位。理解整数指数幂的运算性质，能运用性质进行幂的混合运算，并将结果化为正整数指数幂的形式。 3.掌握分式方程的定义与解法，能根据实际问题中的数量关系列出分式方程，解决工程问题、行程问题、浓度问题等典型应用场景，培养建模能力和实际应用能力。 知识点01：分式及其性质 1.分式的意义 2.分式的基本性质 知识点02：分式的运算 知识点03：分式方程 分式方程 题型一 分式的意义 【例1-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例1-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【例1-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【例1-5】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）当x 时，分式有意义． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式的值为零． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式无意义． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【变式1-5】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 题型二 分式的基本性质 【例2-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【例2-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【例2-4】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如果分式中的字母都扩大为原来的2倍，那么分式的值等于（   ） A．原来的4倍 B．原来的2倍 C．原来的 D．原来的 【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型三 分式的化简和计算 【例3-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【例3-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【例3-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【例3-4】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【例3-5】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【例3-6】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【变式3-3】（25-26七年级上·上海·期中）若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【变式3-5】（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 题型四 分式运算综合应用 【例4-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，其中为常数，则 ． 【例4-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【例4-3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 【例4-4】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，其中A、B为常数，求的值． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读下面的材料，并解答后面的问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以，解之，得． 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． (1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； (2)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 题型五 负整数指数幂及其应用 分式运算的技巧 【例5-1】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，结果不含负整数指数幂： ． 【例5-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【例5-4】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式5-2】（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海·期中）若，则的值是 ． 题型六 分式方程及其解法 【例6-1】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若方程有增根，则的值为 ． 【例6-3】（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 【例6-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 题型七 分式方程的实际应用 【例7-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【例7-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【例7-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 【例7-4】（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 【例7-5】（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【变式7-1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【变式7-2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）2021年3月5日，十三届全国人大四次会议制定了2030年前碳排放达峰行动方案.为发展低碳经济、减少碳排放，于今年10月1日起上调了企业用电价格，调整后电价是调整前的倍．已知该企业今年10月份比今年6月份少用电2000度，6月份的电费是4000元，10月份的电费是2400元．求调整后每度电的价格． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【变式7-4】（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【变式7-5】（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【变式7-6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列分式中是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）当 时，分式有意义． 6．（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 7．（24-25七年级上·上海闵行·期末）化简： ． 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 9．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 10．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 11．（2021·上海·一模）计算： ． 三、解答题 12．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算： 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 14．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 能力提升进阶练 一、填空题 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 2．（24-25七年级上·上海松江·月考）已知关于x的方程有增根，那么 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 4．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： ．（结果不含负整数指数幂） 7．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，则 ． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 二、解答题 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程： 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习） （1）解分式方程：      （2）解分式方程： 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 12．（24-25七年级上·上海长宁·期末）先化简，再在，，，，中选取一个合适的的值代入，求出代数式的值． 13．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $