精品解析：江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级（上）数学 注意事项： 1．本试卷共5页．全卷满分100分．考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，算术平方根．初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．根据无理数的定义结合算术平方根和立方根逐一判断即可得． 【详解】解：，，均为有理数， ，开方开不尽为无理数， 故选：A． 2. 2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数和科学记数法，熟练掌握科学记数法的方法是解题的关键． 将2118900四舍五入到万位，需看千位数字8，由于，向万位进位，得到2120000，再用科学记数法表示为即可． 【详解】解：数2118900的千位是8，由于，向万位进位，万位1变为2，得到2120000， 用科学记数法表示为：． 故选：C． 3. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4为腰或者4为底边时． 【详解】解：分情况考虑：若4是腰时，则底边长是，此时4，4，12不能组成三角形，应舍去； 当4是底边时，腰长是，4，8，8能够组成三角形． 此时腰长是8． 故选：B． 4. 一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A. 12海里 B. 8海里 C. 10海里 D. 13海里 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及角平分线，对选项依次判断即可． 【详解】垂直平分， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项D正确； ， 平分， 故选项C正确； 由题目的条件无法判断出， 故选项B不成立． 故选：B． 6. 如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，非负数的性质．利用证明，可判断①；求得，根据勾股定理即可判断②；根据三角形的面积关系即可判断③；设，根据勾股定理就可以得出，得出的最小值为，进而可判断④． 【详解】解：∵，，是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴，， 和中， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴ ，故③正确． ④设，则， ∵， ∴， 当时，的最小值为，故④正确． 综上：①②③④都正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 8. 如图，在数轴上点表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系．根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 9. 如图，已知与全等，那么_______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，与全等， ∴边长为10的两个夹角分别是和， ∴， 故答案为：45． 10. 若一个正数的平方根是和，则这个正数为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求解的值，再代入平方根表达式，最后求出正数即可． 【详解】解：根据题意得，一个正数的平方根是和， 所以和互为相反数，即， 化简得：， 解得：， 代入平方根得：， 代入平方根得：， 则一个正数的平方根为和，故正数或． 故答案为：9． 11. 利用表格中的数据计算的近似值是________（结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键． 根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可． 【详解】解：由表格可知，当时， 所以 又因为， 所以 因此． 故答案为：19． 12. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 【答案】14 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据图象可得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：14． 13. 如图，在中，．为边上的高，为边上的中线．若的面积为，，则的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积．由直角三角形斜边中线的性质，求出，由三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：，为边上的中线， ， ， ， 的面积为， ， ． 故答案为：4． 14. 长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：， 设，则， 在，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 故答案为：． 15. 如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，若点、都在直线上，且，，则的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分四种情况：①当点、都在线段上时，②当点在线段上、点在延长线上时，③当点在线段上、点在延长线上时，④当点、都在延长线上时，分别画图求解． 【详解】解：①当点、都在线段上时，如图： ， ， ， ， ， ． ②当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ③当点在线段上、点在延长线上时，如图： ， ， ∴，， ， ， ∵， ， ∴ ． ④当点、都在延长线上时，如图： ， ， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. 求下列各方程中的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟知二者的定义是解题的关键； （1）先将原方程变形为，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：由可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由可得：， ∴． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先开方，再加减即可； （2）先算乘方和绝对值，再加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键． （1）由，结合为公共边，可得，根据已知条件，利用“”的判定定理即可得； （2）利用等角对等边即可证明． 【小问1详解】 证明：，， ，即， 在和中， ， ； 小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 20. 仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图． （1）如图1，点、在格点上，在直线上找一点，使得； （2）如图2，点、在格点上，在直线上找一点，使得． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、轴对称的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要在直线上找一点，使得，找到线段的垂直平分线与直线的交点即可； （2）利用轴对称的性质，找到点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：在网格中构造以为对角线的矩形，两条对角线的交点为点，即直线的中点为点，利用网格线垂直的性质，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求的点，如图： 证明：在和中， ； 【小问2详解】 解：作点关于直线的对称点，连接并延长与直线的交点于点，如下图： 证明：点与点关于直线对称, ． 21. 如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？ 【答案】1800元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用；连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连接， 在中，，， ， 在中，， ， 的面积为平方米， 的面积为平方米， 四边形面积平方米， 共需花费元元． 答：共需花费元． 22. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点，∴DA=DC． 又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 23. 在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】如图，为的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ， ． ． 【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同证明思路 小红：我想由面积的等量关系推理得到； 小明：我想可以取中点，连接，在中，由勾股定理推理得到． 请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，完全平方公式的应用． 小红：根据勾股定理结合等积法求得，整理得到，得到； 小明：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线的性质求得，，在中，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：小红：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，即， ∴； 小明：取中点，连接， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理得． 24. 如图，是等边三角形，点在的延长线上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到，从而得到； （2）分别过作、的垂线、，由（1）及勾股定理可以求得、的值，然后根据三角形面积计算方法及可以得到四边形的面积 ． 【小问1详解】 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 过点作于，过作，交延长线于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键． 25. 探究等腰三角形全等的条件． （1）下列命题中，是真命题的有___________（填序号）、 ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等两个等腰三角形全等． （2）如图，已知，展示的线段为； ①底角为，腰上的高为； ②底角为，底角的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法） （3）证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，与是的高，与是的高，且．求证：． 【知识补充】如图，若点和分别为的中点，则，． 【答案】（1）③④ （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可判断哪个选项是正确的； （2）①作，在上取点，作并在上截取，作交于点，作交于点，此时，作交于点C，即为所求； ②作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，即为所求； ③作，以为圆心，长为半径作弧交的两边为和，在上取点，作交于点，以为圆心，长为半径作弧与以为圆心，长为半径的弧交于点，连接分别交和于点和，再作并交于点，延长交于点C，即为所求； （3）取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点，先后证明，得到，，得到，再利用即可证明． 【小问1详解】 解：①两腰分别相等的两个等腰三角形，因为顶角不一定相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等，也就是说两个三角形三个角对应相等，不能判定两个三角形全等，不是真命题； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形，则利用能判定两个三角形全等，是真命题； ④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，则两个三角形中三个角对应相等，并且底边对应相等，那么可以利用SAS或者AAS来证明两个三角形全等，是真命题． 故答案为：③④； 【小问2详解】 解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． ； ③如图，即为所求． ； 【小问3详解】 证明：取的中点，连接，作于点，取的中点，连接，作于点， ∵与是等腰三角形，是的高，，，是的高， ∴，，，， ∴，，，， ∵是的高，是的高， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长线段构造全等三角形是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）数学 注意事项： 1．本试卷共5页．全卷满分100分．考试时间为100分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年江苏省城市足球联赛十分火爆，常规赛阶段累计现场观赛人数约为2118900人．“苏超”场均观赛人数2118900用四舍五入法精确到万位所得到的近似数为（　　） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 4. 一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A. 12海里 B. 8海里 C. 10海里 D. 13海里 5. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A B. C. 平分 D. 6. 如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 8. 如图，在数轴上点表示的实数是________． 9. 如图，已知与全等，那么_______． 10. 若一个正数平方根是和，则这个正数为_______． 11. 利用表格中数据计算的近似值是________（结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 12. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 13. 如图，在中，．为边上的高，为边上的中线．若的面积为，，则的长度为________． 14. 长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为________． 15. 如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是________． 16. 如图，在中，，，若点、都在直线上，且，，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. 求下列各方程中的值： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 19. 如图，，，，与相交于点．求证： （1）； （2）． 20. 仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图． （1）如图1，点、在格点上，在直线上找一点，使得； （2）如图2，点、在格点上，在直线上找一点，使得． 21. 如图所示，有一块四边形花圃，，，，，．若在这块花圃上种植花草，已知每种植需元，则共需多少元？ 22. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 23. 在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】如图，为的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ， ． ． 【解法探究】小红和小明两位同学提出了不同的证明思路 小红：我想由面积的等量关系推理得到； 小明：我想可以取中点，连接，在中，由勾股定理推理得到． 请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程． 24. 如图，是等边三角形，点在延长线上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 25. 探究等腰三角形全等的条件． （1）下列命题中，是真命题有___________（填序号）、 ①两腰分别相等的两个等腰三角形全等； ②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等； ③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等； ④顶角和底边分别相等两个等腰三角形全等． （2）如图，已知，展示的线段为； ①底角为，腰上的高为； ②底角为，底角的角平分线为； ③底角为，腰上的中线为． （要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明，不写作法） （3）证明：底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，与是的高，与是的高，且．求证：． 【知识补充】如图，若点和分别为的中点，则，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $