精品解析：广西百色市平果市铝城中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

2025级高一期中数学测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第一章到第三章） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可． 【详解】由题意，因此它的子集个数为4． 故选：D． 2. 下面四个不等式中解集为空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，解不等式得，A不满足条件； 对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件； 对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件； 对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件. 故选：D. 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：当时，集合，则，故充分； 当时，且，即，或， 故不必要， 故选：A 4. 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 5. 已知实数x满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值. 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 6. 若，不等式恒成立，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图像，得到函数最小值得到答案. 【详解】作出函数的图象，并截取在内的部分如图所示（实线部分），由图象知，当时，取得最小值，所以 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的恒成立问题，转化为求最小值是解题的关键. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且， 已知当时，， 作出函数图象如图所示， 从图象知：， 则不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想. 8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 【答案】A 【解析】 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两函数的定义域和对应关系完全相同是同一个函数逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，，， 所以与不是同一函数； 对于B，，，， 所以与不是同一函数； 对于C，，，，， 所以与是同一函数； 对于D，，， ，， 所以与不是同一函数. 故选：ABD. 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， 由A可知，，，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A. f（0）＝0 B. f(x)是R上的奇函数 C. f(x)在[－3，3]上的最大值是6 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项； 【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有， 令，可得，A正确； 对于B，令，可得，所以， 所以是奇函数；B正确； 对于C，令，则， 因为当x＞0时，f(x)＜0， 所以，即， 所以在均递减， 因为，所以在上递减； ，可得； 令， 可得 ， ； ， 在，上的最大值是6，C正确； 对于D，由不等式的可得， 即， ， ， 则， ， 解得：或； D不对； 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 13. 已知函数是一次函数，满足，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得. 【详解】设，则 ， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简得，，再将看成整体，利用基本不等式求解最小值即可 【详解】由有，则，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， 又因为，则. 【小问2详解】 解：因为，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 因为，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）. （1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【解析】 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【小问1详解】 设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． 【小问2详解】 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 17. 已知幂函数的图像关于原点对称，且在上函数值随的增大而增大. （1）求的解析式； （2）求满足的的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数图像关于原点对称和在上递增，求得的值. （2）利用幂函数的奇偶性和单调性列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】（1）由题可知，函数在上单调递增，∴，解得.又，∴. 又函数图像关于原点对称，∴为奇数，故.∴. （2）∵，∴. ∵为奇函数，∴. 又函数在上单调递增，∴.∴. ∴的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 18. 已知是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上为增函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知， 任取， 则＝＝， 因为，所以， 故，又因为， 所以，而，故， 即，所以函数在上为增函数． （3）. 【解析】 【分析】（1）由和可得 ； （2）根据定义可证明在上为增函数； （3）根据（2）可求，从而可得实数的取值范围. 【详解】解：（1）因为奇函数的定义域为，所. 故有，解得. 所以. 由即， 解得. 此时，满足，为奇函数， 故. （2）略 （3）由（2）知在上为增函数， 所以函数在上为增函数，故最大值为 . 由题意可得，解得 故的取值范围为. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数单调性的证明及应用，求奇函数解析式中的参数的值时，可根据定义或利用赋值法来求其大小，求函数的最值，优先考虑单调性，而单调性的证明可根据定义来进行. 19. 形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增． （1）当时，请举例说明在上不是增函数； （2）已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 令，得，令，得， ，但值相等， ∴ 在上不是增函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调递增的定义说明即可； （2）根据的值域是值域的子集求a的取值范围． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， 令，则， ∴ 由题意知在上递增， ，，即． 对，单调递减，． 由题意知， ，解得，故实数a的取值范围为． 【点睛】本题解题的关键是求出的值域，可以通过换元构造题干中的“两撇函数”求得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一期中数学测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第一章到第三章） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个不等式中解集为空集的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知实数x满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 6. 若，不等式恒成立，则有（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A. B. C. D. 8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A. f（0）＝0 B. f(x)是R上的奇函数 C. f(x)在[－3，3]上的最大值是6 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知集合，，且，则集合________． 13. 已知函数是一次函数，满足，则___________. 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）. （1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 17. 已知幂函数的图像关于原点对称，且在上函数值随的增大而增大. （1）求的解析式； （2）求满足的的取值范围. 18. 已知是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上为增函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 19. 形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增． （1）当时，请举例说明在上不是增函数； （2）已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $