精品解析：吉林省吉林市永吉县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期阶段性教学质量检测 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形和对称中心图像的概念是解题关键． 2. 若关于x的方程（m﹣1）x2＋mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m＝1 C. m＞1 D. m≠0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，可知：m-1≠0，继而可求出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：m-1≠0， ∴m≠1． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据一元二次方程根的判别式判断即可求解，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：． 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 6. 如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵线段是的直径，于点E，， ∴， ∴在中，可有， ∴半径是10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 8. 一元二次方程配方得_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．先把常数项移项，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，即可得出结果． 【详解】解：的顶点坐标为； 故答案为：． 10. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 【答案】100（1+x）2=121 【解析】 【分析】根据题意给出的等量关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：100（1+x）2=121 故答案为100（1+x）2=121 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型． 11. 如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形外角的定义与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．由旋转可知，，根据等边对等角可得，，然后由三角形外角的性质可得，结合，可求得的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把移到右边，再利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 13. 如图，已知点在上，，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由得到，由得到即可得到结论． 【详解】证明： ， ， 即 ． 【点睛】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，熟练掌握同圆或等圆中弧、弦之间的关系的关系是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点和代入二次函数，求出，，即可； （2）根据二次函数的性质，可以求出时，函数值的取值范围． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 如下图： 由（1）得，二次函数的解析式为：， ∴对称轴为：， 当时，二次函数有最大值，； ∴当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围为：． 15. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； （2）把向上平移4个单位长度得到，画出； （3）已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析，， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，； 【小问2详解】 解：如图，为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 16. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为1． 【解析】 【分析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：设小路的宽应为x米， 根据题意得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 答：小路的宽应为1米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 17. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 【答案】． 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 18. 投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． 第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 … （1）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； （3）已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）小明第一次投篮练习成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求得函数解析式是解题的关键． （1）根据表格的数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）根据图象经过点，，可知该抛物线的对称轴为直线，结合开口方向和图象经过，即可得到答案； （3）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法得到解析式，然后把代入解析式，求得函数值，结合篮筐中心距离地面的竖直高度是，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， 【小问2详解】 解：∵图象经过点，， ∴抛物线关于直线对称， 由（1）可知，图象开口向下，且经过点， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； 【小问3详解】 解：小明第一次投篮练习成功．理由如下： 由（2）可知，该抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得． ∴， 将代入得，， ∵篮筐中心距离地面的竖直高度是， ∴小明第一次投篮练习成功． 19. 如图，A、B为上的两个定点，P是上的动点（P不与A、B重合），我们称为上关于A、B的滑动角．已知是上关于点A、B的滑动角． （1）若为的直径，则　　； （2）若半径为1，，求的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得； （2）连接，由勾股定理的逆定理，即可证得，然后由圆周角定理，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵半径为1，， ∴， ∴， 若点P在优弧上，则， 若点P在劣弧上，则． ∴的度数为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 20. 一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为50元，从销售中记录发现，当每件售价为90元时，每天可售出20件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价1元，则每天就可多售出2件． （1）若活动期间每件秋装的售价为80元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，每天销售这款秋装的盈利最多？最多多少元？ 【答案】（1）40件 （2）20元 （3）每件降价15元时每天销售这款秋装的盈利最多，最多1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，得到各数量之间的关系是解题的关键． （1）根据“每件降价1元，则每天就可多售出2件”，列出式子计算即可； （2）设每件应降价元，则售价为元，每天售出件，根据利润（售价进价）件数，列出方程解答，结合能尽量减少库存，即可解答； （3）设每天盈利为元，每件应降价元，根据利润（售价进价）件数，列出函数解析式，然后根据二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：（件）， 答：每天销售40件； 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：每件应降价20元； 【小问3详解】 解：设每天盈利为元，每件应降价元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为1250， 答：每件降价15元时，每天销售这款秋装盈利最多，最多是1250元． 21. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1）成立，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式是，顶点坐标为 （2） （3） （4）m的值为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式，然后问题可求解； （2）根据两点距离公式可进行求解； （3）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可分情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可令，则有， ∴， ∵点P是该抛物线的顶点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问4详解】 解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线； ①当时，最高点为，最低点是； ， （舍； 当最高点为时，最低点是， ， 解得（舍）或； ②当时， 为最高点，为最低点时，， 解得（舍）或； 为最高点，为最低点时，，方程无解； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性教学质量检测 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程（m﹣1）x2＋mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m＝1 C. m＞1 D. m≠0 3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 一元二次方程配方得_____． 9. 抛物线的顶点坐标是__________． 10. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________． 11. 如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则度数是____． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 解一元二次方程：． 13. 如图，已知点在上，，连接，．求证：． 14. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围． 15. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． （1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； （2）把向上平移4个单位长度得到，画出； （3）已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标． 16. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（）16，宽（）9的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112，则小路的宽应为多少？ 17. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 18. 投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． 第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 … （1）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； （3）已知此时小明距篮筐中心水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由． 19. 如图，A、B为上的两个定点，P是上的动点（P不与A、B重合），我们称为上关于A、B的滑动角．已知是上关于点A、B的滑动角． （1）若为的直径，则　　； （2）若半径为1，，求的度数． 20. 一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为50元，从销售中记录发现，当每件售价为90元时，每天可售出20件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价1元，则每天就可多售出2件． （1）若活动期间每件秋装的售价为80元，这款秋装每天销售多少件？ （2）要想每天销售这款秋装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，每天销售这款秋装的盈利最多？最多多少元？ 21. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在延长线上，连接．若，，求线段的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若点P是该抛物线的顶点时，求的长； （3）当的面积是3时，求点P的坐标： （4）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $