阶段滚动检测(六)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

阶段滚动检测(六) 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|y=},集合B={x|y=lg(8-x)},则A∩B=(　　) A.{x|x≤2} B.{x|x<2} C.{x|x≤3} D.{x|x<3} 【解析】选C.由题得A={x|x≤3},B={x|x<8},所以A∩B={x|x≤3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.设a∈R,z=,其中i为虚数单位,则“a>1”是“|z|>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.因为z==a-3i,所以|z|=.令|z|>,解得a>1或a<-1,故“a>1”是“|z|>”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.若a=ln ,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c 【解析】选D.c=ln =>=ln =a, 而a2===>=b2, 且a>0,b>0,所以a>b,故b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为(　　) A.b B.-b C.-b D.b 【解析】选B.因为|b|=2|a|,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos 60°=|a|×2|a|×=|a|2, 则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2,所以2a-b在b上的投影向量为×=×=-b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=-2对称,且对∀x∈R,有f(x)+f(-x)=6.当x∈(0,3]时,f(x)=x+3,则下列说法正确的是(　　) A.10是f(x)的周期 B.f(x+3)为奇函数 C.f(2 024)=1 D.f(x)在[6,12]上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选C.函数y=f(x-1)的图象由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到, 且其对称轴为x=-2, 所以函数y=f(x)的对称轴为x=-3,即f(-3+x)=f(-3-x)或f(x)=f(-6-x). 又f(x)+f(-x)=6,所以函数图象关于点(0,3)对称,所以f(x)=6-f(-x)=6-f(-6+x) =6-[6-f(6-x)]=f(6-x)=f(-6-(6-x))=f(x-12), 所以函数f(x)为周期函数,且最小正周期为12,故A错误; 因为f(x)=f(6-x),故函数图象关于x=3对称,把函数图象向左平移3个单位长度, 得函数y=f(x+3)的图象,图象关于y轴对称,所以f(x+3)为偶函数,故B错误; f(2 024)=f(168×12+8)=f(8)=f(6-8)=f(-2)=6-f(2)=6-5=1,故C正确; f(8)=1,f(11)=f(-1)=6-f(1)=6-4=2,f(8)<f(11),故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=AB =BC=2,AC=2,则球O的表面积为(　　) A. B.20π C.π D.π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选A.设△ABC外接圆的半径为r,因为AB=BC=2,AC=2, 由余弦定理得cos ∠ACB==,所以sin ∠ACB=, 则2r==,故r=. 记△ABC的外心为O1,连接O1A,O1B,O1C, 则O1A=O1B=O1C, 分别取AB,BC的中点E,F,连接O1E,O1F,则O1E⊥AB,O1F⊥BC. 又因为PA=PB=PC,可得PE⊥AB,PF⊥BC. 因为PE∩O1E=E,PF∩O1F=F,且PE,O1E⊂平面PEO1,PF,O1F⊂平面PFO1, 所以AB⊥平面PEO1,BC⊥平面PFO1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又因为PO1⊂平面PEO1,PO1⊂平面PFO1,所以PO1⊥AB,PO1⊥BC. 因为AB∩BC=B且AB,BC⊂平面ABC,所以PO1⊥平面ABC,可得PO1=. 由题意可得外接球的球心在PO1上,设外接球的半径为R, 可得+=R2,解得R=, 所以球O的表面积S=4πR2=π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.设函数f(x)=.若曲线y=sin x上存在点(x0,y0),使得f(f(y0))=y0,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,e+2] B.[e-1-3,1] C.[1,e+1] D.[e-1-3,e+1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选A.由题意可得y0=sin x0∈[-1,1],f(y0)=, 因为曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0, 所以存在y0∈[0,1],使f(y0)=c,f(c)=y0成立. 因为函数f(x)=在它的定义域内单调递增, 假设f(y0)=c>y0,则f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足f(f(y0))=y0. 同理假设f(y0)=c<y0,则不满足f(f(y0))=y0. 综上可得,f(y0)=c=y0. 则问题等价于方程f(x)=x,x∈[0,1]有解,即x2=ex+3x-a在x∈[0,1]有解,分离参数可得a=ex+3x-x2,令g(x)=ex+3x-x2,因为g'(x)=ex+3-2x>0,x∈[0,1],所以函数g(x)在[0,1]上单调递增,所以1=g(0)≤g(x)≤g(1)=e+2,所以1≤a≤e+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为P.过点P作直线与抛物线交于A,B两点,其中点A在点B的右边.若∠AFP=120°,△FAB的面积为,则p=(　　) A.2 B.1 C.2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选D.由题可知F(,0),P(-,0),直线AB斜率必存在,且kAB≠0,由对称性不妨设k>0,则A和B在第一象限,因为∠AFP=120°,所以∠AFx=60°,过A作AH⊥x轴交于点H,则tan 60°===,即yA=(xA-).又点A(xA,yA)在y2=2px(p>0)上,所以=2pxA,即xA=,代入yA=(xA-)得,yA=(-),整理得-2pyA-p2=0,即(yA+p)(yA-p)=0,所以yA=-或yA=p,此时A(,-)或A(,p).因为A和B在第一象限,所以A(,p),故B(,), 所以S△FAB=S△FAP-S△FBP=|PF|·|yA|-|PF|·|yB|=|PF|(|yA|-|yB|) =×p(p-)=,所以p2=3,即p=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.给出下列命题,其中正确的命题为(　　) A.已知数据x1,x2,x3,…,x10满足:xi-xi-1=2(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据, 则新数据的方差为21 B.随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,若P(X<a)=0.34,则a=0.5 C.一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为 =2x+3,若xi=30,则yi=63 D.对于独立性检验,随机变量χ2的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选ABD.对于A选项,去掉x1,x10后的平均数为==x1+9, 方差为=21,故A选项正确; 对于B选项,由于随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34, 则P(X<a)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5关于1对称,则a=0.5,故B选项正确; 对于C选项,因为xi=30,所以=5,又因为线性回归方程为 =2x+3,所以=2×5+3=13, 所以yi=13×6=78,故C选项错误; 对于D选项,对于独立性检验,随机变量χ2的值越大,则两变量有关系的程度的错误率 越低,故χ2越大,判定“两变量有关系”的错误率越低,D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则(　　) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选ACD.(sinh x)'=≥0, 则sinh x单调递增,A正确; (cosh x)'==f(x), 又f(0)==0, 所以当x<0时,f(x)<0,cosh x单调递减; 当x>0时,f(x)>0,cosh x单调递增,所以B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 tanh x===1-单调递增,C正确; tanh(x+y)=. == ===tanh(x+y),得证,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限. △AF1F2的内心为I1,AI1与x轴的交点为P,记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,△BF1F2的内切圆I2的半径为r2,则下列说法正确的有(　　) A.若双曲线渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为2或 B.若AF1⊥AF2,且|BF1|-|AF1|=2a,则双曲线的离心率为 C.若a=1,b=,则r1-r2的取值范围是(-,) D.若直线l的斜率为,AI1=2I1P,则双曲线的离心率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选ABD.对于A,双曲线渐近线的夹角为60°,则=或者=,故e==2或e==. 对于B,设|AF1|=x,则|BF2|=x,|AF2|=x-2a,|BF1|=x+2a. 故x2+(2x-2a)2=(x+2a)2,解得x=3a.又x2+(x-2a)2=4c2,10a2=4c2,故e=. 对于C,令圆I1切AF1,AF2,F1F2分别为点D,Q,T,则|AD|=|AQ|,|F1D|=|F1T|,|F2Q|=|F2T|, |F1T|-|F2T|=|F1D|-|F2Q|=|AF1|-|AF2|=2a,令点T(x0,0),而F1(-c,0),F2(c,0), 因此x0-(-c)-(c-x0)=2a,解得x0=a,又I1T⊥F1F2,则点I1横坐标为a,同理点I2横坐标为a,即直线I1I2的方程为x=a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设直线AB的倾斜角为2θ,那么∠OF2I2=θ, ∠I1F2O=-θ. 在△I1F2T中,r1=(c-a)tan(-θ)=(c-a).在△I2F2T中,r2=(c-a)tan θ,渐近线的斜率为±. 因为A,B均在右支上,故60°<2θ<120°,30°<θ<60°,tan θ∈(,). 如图所求,r1-r2=(c-a) (-tan θ)=-tan θ∈(-,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D,2====,故|AF1|+|AF2|=4c, 而|AF1|-|AF2|=2a,kAB=,故|AF1|=a+2c,|AF2|=2c-a,∠F1F2A=120°, 由余弦定理可知(2c+a)2=(2c-a)2+4c2+2c·(2c-a),4c=5a,故e=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知cos 2x=cos 2(x-),则tan x=_________.  【解析】cos 2x=cos 2(x-)⇒cos 2x-sin 2x==(cos x+sin x)(cos x-sin x), 当cos x+sin x=0时⇒sin x=-cos x⇒tan x=-1, 当cos x+sin x≠0时⇒cos x+sin x=2cos x-2sin x⇒cos x=3sin x⇒tan x=. -1或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.现有4个相同的袋子,里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球,第k(k=1,2,3,4) 个袋中有k个红球,4-k个白球.现将这4个袋子混合后,任选其中一个袋子,并且连续 取出三个球(每个取后不放回),则第三次取出的球为白球的概率为________.  【解析】由题意,设Ai=“选第i个袋子,其中i=1,2,3,4”,B=“从袋子中连续取出三个球,第三次取出的球为白球”,则Ω=A1∪A2∪…∪A4,且A1,A2,A3,A4两两互斥. P(Ai)=,P(B|Ai)=, 所以P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)=, 所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)+P(A4B)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.以minM表示数集M中最小的数.函数f(x)=cos x·sin x+min{cos x,2sin x}(x∈R) 的最大值是________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】f(x)≤cos x·sin x+cos x=cos x· (1+sin x)= (cos 2-sin 2)·. 令m=cos -sin ,n=cos +sin ,则m2+n2=2. 而f(x)≤(cos 2-sin 2)·=m·n3==. 令g(t)=(2-t)·t3,其中t=n2∈[0,2],则由g'(t)=6t2-4t3>0,可知0<t<,令g'(t)<0,得<t<2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即g(t)在(0,)上单调递增,在(,2)上单调递减,故g(t)≤g()=,即f(x)≤, 当且仅当,即sin x=, cos x=时等号成立,故f(x)的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)求A的值; 【解析】(1)由题意知,=,故2cos A·sin B=sin A·cos C+cos A·sin C =sin (A+C)=sin B. 又sin B≠0,故cos A=,而A∈(0,π),则A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若c=2b=4,M为边BC上一点,且2BM=3MC,求AM的长. 【解析】(2)·=cb·cos A=, =+, 故||2===,故AM=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AD=2,AB=1, PA⊥平面PCD,且PC=PD=1,设E,F分别为PB,AC的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; 【解析】(1)因为底面ABCD为平行四边形,F是AC中点,所以F是BD中点, 所以EF PD.又因为EF⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值. 【解析】(2)法1:(几何法)因为DE⊂平面PBD,平面PBD∩平面PAC=PF, 所以直线DE与平面PAC的交点即为DE与PF的交点,设为G. 因为PC=PD=CD=1,所以△PCD为等边三角形,取PC中点O,连接OD, 则DO⊥PC.因为PA⊥平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD. 又因为平面PAC∩平面PCD=PC,DO⊥PC,所以DO⊥平面PAC, 所以∠DGO是直线DE与平面PAC所成角. 因为E,F分别为PB,AC的中点,所以G是△PBD的重心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在Rt△PAD中,PA=,所以PB=AC=2.在平行四边形ABCD中,BD=, 在△PBD中,cos ∠BPD==-, 在△PED中,DE2=1+1-2×1×1× cos ∠EPD=,所以DE=, 所以DG=DE=.又因为OD=, 所以sin ∠DGO==,即直线DE与平面PAC所成角的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法2:(向量法) 取PC中点O,则OF PA,因为PA⊥平面PCD,所以OF⊥平面PCD. 因为PC=PD=CD=1,所以△PCD为等边三角形, 所以OD⊥PC,此时OD,OF,OP两两垂直, 如图,建立空间直角坐标系,P(0,0,),D(,0,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在Rt△PAD中,PA=,所以F(0,,0),由=,得E(-,,), 所以=(-,,),平面PAC的法向量为=(,0,0), 所以cos <,>==-, 所以sin θ=|cos <,>|=,即直线DE与平面PAC所成角的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)古楼雪峰茶,产于洞口县古楼,1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中,在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工,其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为p,,,每道工序的加工都相互独立,且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶,恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶,恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶,其余的为不合格雪峰茶. (1)在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,求杀青加工合格的概率; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】(1)因为三道工序至多有两道工序合格的概率为, 所以三道工序都合格的概率为,即p××=,解得p=. 记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A,B,C, 这三道工序加工中恰有两道工序合格为事件D, 则P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=, P(AD)=P(AB)+P(AC)=××+××=, 所以P(A|D)===. 所以在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下,杀青加工合格的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元,其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元,70元,50元,而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为X元,求随机变量X的分布列及数学期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】(2)由题意可知随机变量X的所有可能取值为-20,30,50,80, P(X=-20)=××==, P(X=30)=××+××+××=, P(X=50)=××+××+××==, P(X=80)=××==, 则随机变量X的分布列为 故随机变量X的数学期望E(X)=-20×+30×+50×+80×=. X -20 30 50 80 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0). (1)求C的方程; 【解析】(1)由题意知⇒, 所以C的方程为+=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点; 【解析】(2)设F1M0的中点为P,所以P(0,2),=2, 所以F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2. ⇒3x2+4(x2-2x+4)=12, 所以x2-2x+1=0,Δ=4-4=0, 所以F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】(3)设M(x0,y0). 情形一:当y0=0时,F1M的垂直平分线为x=,此时=±2,x0=5或-3, 情形二:当y0≠0时,F1M的垂直平分线为:y=-(x-)+=-x+. 联立,得⇒3x2+4[-x+x2]=12. 所以[3+]x2-x+-12=0. 因为F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以Δ=-4[3+][-12]=0 ⇒-36-=0 ⇒+(2-14)+-18-32x0-15=0 ⇒+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0 ⇒(++2x0+1)(+-2x0-15)=0. 因为++2x0+1=+>0, 所以+-2x0-15=0, (5,0),(-3,0)也满足上式,所以M的轨迹为圆,方程为(x-1)2+y2=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)对于函数f(x),规定f'(x)=[f(x)]',f(2)(x)=[f'(x)]',…,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]',f(n)(x)叫做函 数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间 (a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x,f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+ +…++R(n)(x),该公式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰 勒展开式,R(n)(x)是此泰勒展开式的n阶余项.已知函数f(x)=ln (x+1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式(R(n)(x)用R(3)(x)表示即可); 【解析】(1)由f(x)=ln (x+1),得f'(x)=,f(2)(x)=-,f(3)(x)=, 所以f(1)=ln 2,f'(1)=,f(2)(1)=-, f(3)(1)=, 所以函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式为f(x)=ln 2+(x-1)-(x-1)2+(x-1)3+R(3)(x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为g(x),求证:对任意的x∈(-1,1),g(x)≤0; 【解析】(2)由(1)得,f(0)=0,f'(0)=1,f(2)(0)=-1,f(3)(0)=2, 所以函数f(x)在x=0处的3阶泰勒展开式为f(x)=x-x2+x3+R(3)(x), 所以g(x)=R(3)(x)=ln (x+1)-x+x2-x3, g'(x)=-1+x-x2=-,令g'(x)=0,得x=0, 当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 所以g(x)≤g(0)=0,即对任意的x∈(-1,1),g(x)≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)求证: (1+)(1+)(1+)…(1+)<(n∈N*). 【解析】(3)由(2)知,当x∈(0,1)时,g(x)=ln (x+1)-x+x2-x3<0,即ln (x+1)<x-x2+x3. 因为∈(0,1)(n∈N*),所以ln (1+)<-·+·. ln (1+)+ln (1+)+ln (1+)+…+ln(1+)<++…+-(++…+)+(++…+) =-×+×=+·--·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为+·--·<+·-=+(-)=+()<(n∈N*), 所以ln (1+)+ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)<, 即ln [(1+)×(1+)×(1+)×…×(1+)]<, 所以(1+)(1+)(1+)…(1+)<(n∈N*). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $