阶段滚动检测(二)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

阶段滚动检测(二) 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·湛江模拟)已知复数z=,则= (　　) A.6+i B.6-i C.1+6i D.1-6i 【解析】选A.由z=可得z====6-i,则=6+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知两个单位向量a,b的夹角为70°,则-a与a+b的夹角为 (　　) A.35° B.70° C.110° D.145° 【解析】选D.设a=,b=,a+b=,因为a,b均为单位向量, 所以四边形OACB为菱形,且OC平分∠AOB, 所以a与a+b的夹角为70°÷2=35°,则-a与a+b的夹角为180°-35°=145°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知sin (α+)-sin α=,则cos (2α+)= (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选B.由题意得=sin (α+)-sin α=sin α+cos α-sin α =cos α-sin α=cos (α+),所以cos (2α+)=2cos2(α+)-1=2×()2-1=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.(2024·安徽师大附中模拟)已知等边△ABC的边长为2,点D,E分别为AB,BC的中点,若=2,则·= (　　) A.1 B. C. D. 【解析】选A.在△ABC中,取,为基底,则||=||=2,<,>=60°,连接AE. 因为点D,E分别为AB,BC的中点, ==,=+=(+)+=+, ·=·(+)=·+=×2×2×cos 60°+×4=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.(2025·齐齐哈尔模拟)已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】选B.因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λa+b=k(a+μb), 又向量a,b不共线,所以⇒λμ=1,因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4, 当且仅当λ=4μ时,取“=”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知单位向量e1,e2分别与平面直角坐标系x,y轴的正方向同向,且向量= 3e1-e2,=2e1+6e2,则平面四边形ABCD的面积为 (　　) A. B.2 C.10 D.20 【解析】选C.由向量正交分解的定义可知,=(3,-1),=(2,6),则 ||==,||==2. 因为·=3×2+(-1)×6=0,所以AC⊥BD,即平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积S===10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知复数z=cos θ+isin θ(其中i为虚数单位),下列说法不正确的是 (　　) A.z·=1 B.z+为实数 C.若θ=,则复数z在复平面上对应的点落在第一象限 D.若θ∈(0,π),复数z是纯虚数,则θ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选C.对于选项A,z·=(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)=cos2θ-(isin θ)2 =cos2θ+sin2θ=1,故A正确,不符合题意;对于选项B,因为z+=cos θ+isin θ+ =cos θ+isin θ+=cos θ+isin θ+cos θ-isin θ=2cos θ,所以z+为实数,故B正确,不符合题意;对于选项C,因为θ=为第二象限角,所以cos <0,sin >0,所以z=cos +isin 在复平面上对应的点落在第二象限,故C不正确,符合题意;对于选项D,复数z是纯虚数,则又因为θ∈(0,π),所以θ=,故D正确,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.(2024·成都模拟)在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,点E是线段AB上一点,且满足AE= 4EB.在平面ABCD中,动点P在以E为圆心,1为半径的圆上运动,则·的最大值 为(　　) A.+4 B.-6 C.2+4 D.2-6 【解题指南】建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算结合三角函数的性质求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选A.以E为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 动点P在以E为圆心,1为半径的圆上运动,故设P(cos θ,sin θ),则A(0,4),D(4,4), C(4,-1),·=(cos θ-4,sin θ-4)·(4,-5)=4(cos θ-4)-5(sin θ-4)=cos (θ+φ)+4,其中锐角φ满足tan φ=,故·的最大值为+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【加练备选】(2024·贵阳模拟)如图,在边长为2的正方形ABCD中.以C为圆心,1为 半径的圆分别交CD,BC于点E,F.当点P在劣弧EF上运动时,·的取值范围 为(　　) A. [1-2,-] B.[1-2,-1] C.[-1,1-] D.[1-2,1-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选B.依题意,以点C为原点,直线DC,BC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图, 设点P(cos θ,sin θ) (-π≤θ≤-),而D(-2,0),B(0,-2), 则=(cos θ,sin θ+2),=(cos θ+2,sin θ), 因此·=cos2θ+2cos θ+sin2θ+2sin θ=1+2sin (θ+), 由-π≤θ≤-,得-≤θ+≤-,则-1≤sin (θ+)≤-,因此1-2≤1+2sin (θ+)≤-1, 所以·的取值范围为[1-2,-1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知向量a=(1,),b=(-2,0),则下列说法正确的是 (　　) A.a·b=2 B.a与b的夹角为 C.a⊥(a+2b) D.a+b在b上的投影向量为b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选CD.对于A,由向量a=(1,),b=(-2,0),得a·b=1×(-2)+×0=-2,故A是错误的;对于B,因为cos<a,b>==-,所以a与b的夹角为,故B是错误的; 对于C,由a+2b=(1,)+2(-2,0)=(-3,),所以a·(a+2b)=(1,)·(-3,)=-3+3=0,即a⊥(a+2b),故C是正确的;对于D,由a+b=(1,)+(-2,0)=(-1,),则a+b在b上的投影向量为·=·=(-1,0)=b,故D是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,则(　　) A.φ= B.ω=2 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在[,]上的值域为[-2,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选BC.由题中函数f(x)=Asin (ωx+φ)的部分图象可知:A=2, 又因为f(0)=2sin (ω·0+φ)=1,即sin φ=,φ∈(0,2π),结合函数的单调性可得φ=,故A错误;f()=2sin (ω·+)=0,即sin (ω+)=0,ω+=π,所以ω=2,故B正确; 所以f(x)=2sin (2x+) . 对于选项C:当x=时,可得f()=2sin (+)=2sin =-2, 所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确; 对于选项D:当x∈[,]时,2x+∈[,],所以sin (2x+)∈[-1,], 即f(x)=2sin (2x+)∈[-2,],故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.(2024·晋中模拟)在△ABC中,D为边AC上一点且满足=,若P为边BD上一点,且满足=λ+μ,λ,μ为正实数,则下列结论正确的是 (　　) A.λμ的最小值为1 B.λμ的最大值为 C.+的最大值为12 D.+的最小值为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选BD.因为=,所以=3,又=λ+μ=λ+3μ,因为P,B,D三点共线,所以λ+3μ=1,又λ,μ为正实数,所以λμ=λ×3μ≤×()2=,当且仅当λ=3μ,即λ=,μ=时等号成立,故A错误,B正确;+=(+)(λ+3μ)=2++≥2+2=4, 当且仅当=,即λ=,μ=时等号成立,故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2024·汕头模拟)写出一个满足(1+i)·z∈R,且|z|>2的复数z,z=_________________.  【解析】设z=a+bi,a,b∈R,因为(1+i)·z=(1+i)·(a+bi)=a-b+(a+b)i∈R, 所以a+b=0,z=a-ai,由|z|==|a|>2,解得a>或a<-,则z可以为3-3i. 3-3i(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,||=2||=2,则(+)·= ________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】连接AF,DF,则=+,=+,又E,F分别为AD,BC的中点,所以=(+)=(+++)=(+), 所以(+)·=(+)·(+)=(+)·(-) =(-)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.窗花是贴在窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.在边长为2的正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________;若P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的最小值为________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】易得AF⊥AB,以点A为坐标原点,分别以AB,AF所在直线为x轴,y轴,建立 平面直角坐标系,如图所示, 则A(0,0),B(2,0),C(2+,),E(2,2+2),F(0,2+2),=(2,2+2), =(0,2+2),=(2+,),因为=λ+μ, 则(2,2+2)=λ(2+,)+μ(0,2+2),所以 解得λ=2-,μ=2-2,所以λ+μ=.设P(x,y),则-≤x≤2+,=(x,y),=(2,0), 则·=2x∈[-2,4+2],所以当点P在线段GH上时,·取得最小值为-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根. (1)求实系数方程x2+px+q=0的另一个根; 【解析】(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根互为共轭复数,所以它的另一根是2-i. (2)求p+q的值; 【解析】(2)根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1. (3)复数w满足zw是实数,且|w|=2,求复数w. 【解析】(3)设w=a+bi(a,b∈R).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0. 又|w|=2,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知向量a=(1,2),b=(3,-2). (1)求|a-b|; 【解析】(1)由题知,a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),所以|a-b|==2. (2)已知|c|=,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角. 【解析】(2)由题知,a=(1,2),|c|=,(2a+c)⊥c,所以|a|=,(2a+c)·c=0, 所以2a·c+c2=0,所以2|a||c|cos <a,c>+|c|2=0, 所以2×××cos <a,c>+10=0,所以cos <a,c>=-, 因为<a,c>∈,所以向量a与向量c的夹角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)在△ABC中,E为AC的中点,D为边BC上靠近点B的三等分点. (1)分别用向量,表示向量,; 【解析】(1)因为E为AC的中点,D为边BC上靠近点B的三等分点, 所以=2,=,则=+=+3=+3(-)=-2+3; =+=-+=-+(-2+3)=-2+. (2)若点N满足4+2=3,证明:B,N,E三点共线. 【解析】(2)因为4+2=3,所以=-+=-+×2=-+, 所以2=-+3,-=2(-),即=2,所以∥, 又因为,有公共点E,所以B,N,E三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【加练备选】 如图,△ABC中,=a,=b,D是AC的中点,=2,AB与DE交于点M. (1)用a,b表示; 【解析】(1)=-=-=b-a. (2)设=λ,求λ的值; 【解析】(2)=+=+λ=+λ(-)=λ+(1-λ)=2λ+,因为E,M,D三点共线,所以2λ+=1,解得λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若⊥,求∠ACB的最大值. 【解析】(3)=b-a,由(1)可知=b-a,⊥,所以·=0,得b2+a2=2a·b, 则a·b=|a|2+|b|2,所以cos ∠ACB==≥, 所以∠ACB的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴同方向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做在坐标系Oxy中的坐标.已知向量,在坐标系Oxy中的坐标分别为(2,3),(4,5). (1)求||; 【解析】(1)因为=-=4e1+5e2-(2e1+3e2)=2e1+2e2, 所以||==2=2,故||的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)是否存在y轴上一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出C点坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (2)假设y轴上存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形. 设=te2,则=-=2e1+3e2-te2=2e1+(3-t)e2, =-=(4e1+5e2)-te2=4e1+(5-t)e2. 根据题意得:⊥,则·=0,所以[2e1+(3-t)e2]·[4e1+(5-t)e2]=0, 得:8+(3-t)(5-t)+[2(5-t)+4(3-t)]×1×1×=0,整理得:t2-11t+34=0,其中Δ<0,则方程无解. 故在y轴上不存在点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)“向量”是近代数学中最重要的概念之一,由n个实数a1,a2,…,an所组成的有序实数组称为n维向量,记作a=(a1,a2,…,an),特别地,0=(0,0,…,0)称为零向量,所有n维向量组成的集合记为Rn={a|a=(a1,a2,…,an),ai∈R,i=1,2,…,n}.设λ∈R,a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn),定义加法和数乘分别为:a+b=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn),λa=(λa1,λa2,…, λan).对一组向量m1,m2,…,ms(s∈N*,s≥2),若存在一组不全为零的实数K1,K2,…Ks, 使得K1m1+K2m2+…+Ksms=0,则称这组向量线性相关;否则,称为线性无关. (1)若n=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关,并说明理由; ①a=(1,1,1),b=(3,3,3); ②a=(1,1,2),b=(3,3,6),c=(2,4,5); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】(1)对于①,设K1a+K2b=0,则可得K1(1,1,1)+K2(3,3,3)=0,则K1+3K2=0,所以a,b线性相关; 对于②,设K1a+K2b+K3c=0,则可得K1(1,1,2)+K2(3,3,6)+K3(2,4,5)=0, 即⇒K1+3K2=0,K3=0,所以a,b,c线性相关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知a,b,c线性无关,判断a+b,b+c,c+a是线性相关还是线性无关,并说明理由; 【解析】 (2)假设K1(a+b)+K2(b+c)+K3(c+a)=0,则(K1+K3)a+(K1+K2)b+(K2+K3)c=0, 因为向量a,b,c线性无关,所以,解得K1=K2=K3=0, 所以向量a+b,b+c,c+a线性无关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)已知t(t≥2)个向量m1,m2,…,mt线性相关,但其中任意t-1个向量都线性无关,证明: ①如果存在等式K1m1+K2m2+…+Ktmt=0(Ki∈R,i=1,2,…,t),则这些系数K1,K2,…,Kt或者全为零,或者全不为零; ②如果两个等式λ1m1+λ2m2+…+λtmt=0,μ1m1+μ2m2+…+μtmt=0(λi∈R,μi∈R,i=1,2,…,t)同时成立,其中μ1≠0,则==…=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】(3)①因为K1m1+K2m2+…+Ktmt=0,如果某个Ki=0,i=1,2,…,t, 则K1m1+K2m2+…+Ki-1mi-1+Ki+1mi+1+…+Ktmt=0, 因为其中任意t-1个向量都线性无关,所以K1,K2,…,Ki-1,Ki+1,…,Kt都等于0, 所以这些系数K1,K2,…,Kt或者全为零,或者全不为零. ②因为μ1≠0,所以μ1,μ2,…,μt全不为零, 由μ1m1+μ2m2+…+μtmt=0可得m1=-m2-m3-…-mt, 代入λ1m1+λ2m2+…+λtmt=0,可得λ1(-m2-m3-…-mt)+λ2m2+…+λtmt=0, (-λ1+λ2)m2+(-λ1+λ3)m3+…+(-λ1+λt)mt=0, 所以-λ1+λ2=0,-λ1+λ3=0,…,-λ1+λt=0,所以==…=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $