阶段滚动检测(三)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

阶段滚动检测(三) 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{an}中,公差d=3,Sn为其前n项和,若S8=S9,则S17= (　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 【解析】选B.a9=S9-S8=0,S17==17a9=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.(2025·苏州模拟)等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则+++…+等于 (　　) A. B. C.4n-1 D.2n-1 【解析】选A.当n=1时,a1=21-1=1, 当n≥2时,a1+a2+a3+…+an=2n-1,a1+a2+a3+…+an-1=2n-1-1, 两式作差可得:an=2n-2n-1=2n-1,当n=1时,21-1=20=1=a1, 综上可得,数列{an}的通项公式为an=2n-1,故==4n-1, 则数列{}是首项为1,公比为4的等比数列, 其前n项和为+++…+==(4n-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.(2025·信阳模拟)a>0,b>0,+=1,则+的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.6 【解析】选C.a>0,b>0,+=1,则ab=2a+b,且a>1,b>2, 整理得到(a-1)(b-2)=2, 所以+≥2=,当且仅当=,即a=+1,b=+2时取等号. 即+的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=1,设数列{an}满足an=f(n),则数列{an}的前n项和的表达式为 (　　) A.n2-2n+2 B.n2-n+1 C. D.-n+1 【解析】选C.由题意可知an+1-an=2n-1,则an-an-1=2n-3,…,a2-a1=1, 累加可得an-a1=2n-3+…+1==(n-1)2, 且f(1)-f(0)=-1=a1-1,即a1=0,满足上式, 所以an=(n-1)2,所以{an}的前n项和的表达式为ai=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,若关于实数m的不等式f(log2m)+f(log0.5m)≥2f(3)恒成立,则m的取值范围是 (　　) A. (0,] B.[8,+∞) C. (0,]∪[8,+∞) D. (0,]∪[8,+∞) 【解析】选D.因为g(x)=x3f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)是偶函数,f(log0.5m)= f(-log2m)=f(log2m), 所以f(log2m)+f(log0.5m)≥2f(3)可化为f(log2m)≥f(3),又f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以|log2m|≥3,即log2m≥3或log2m≤-3,即m≥8或0<m≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.(2025·西安模拟)如图,用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品,其中第1堆只有1层,且只有1个球;第2堆有2层共4个球,其中第1层有1个球,第2层有3个球;…;第n堆有n层共Sn个球,第1层有1个球,第2层有3个球,第3层有6个球,….已知S20=1 540,则n2= (　　) A.2 290 B.2 540 C.2 650 D.2 870 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选D.在第n(n≥2)堆中,从第2层起,第n层的球的个数比第n-1层的球的个数多n, 记第n层球的个数为an,则an-an-1=n(n≥2), 得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=n(n+1),其中a1=1也适合上式,则an=n(n+1)=(n2+n), 在第n堆中,Sn=a1+a2+a3+…+an=[(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)] =[(12+22+32+…+n2)+n(n+1)], 当n=20时,S20=n2+210)=1 540,解得n2=2 870. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S11>0,S12<0,数列{}(1≤n≤11)中最大的项 为(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 【解析】选C.由题意,可得S11==11a6>0,S12==6(a6+a7)<0, 所以a7<-a6<0,且|a7|>a6, 又由等差数列{an}的公差d=a7-a6<-2a6<0, 所以数列{an}是递减数列,前6项均为正数,从第7项起为负数, 数列{Sn}的最大项为S6,a6是数列{|an|}中的最小项,且a6>0,所以数列{} (1≤n≤11)中最大的项为,即第6项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.(2025·武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+m,n∈N*,若对于任意的a∈[0,1],不等式<x2-(1+a)x-2a2-a+2恒成立,则实数x可能为 (　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选A.因为Sn=n2+m,当n=1时,a1=S1=1+m, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+m-[(n-1)2+m]=2n-1, 所以a1=1+m,a2=3,a3=5, 因为{an}为等差数列,所以a1=1,m=0, 从而an=2n-1,=2-<2, 所以x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2,即-2a2-(1+x)a+x2-x≥0, 则当0≤a≤1时,g(a)=2a2+(1+x)a-x2+x≤0恒成立, ,解得x≤-1或x≥3,只有选项A符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025·盐城模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,4),则下列说法正确的是 (　　) A.a∥b B.(b-a)⊥a C.与a同向的单位向量为(-,) D.a与b的夹角余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选BC.A.-1×4-2×3=-10≠0,故A错误; B.b-a=(4,2),(b-a)·a=4×(-1)+2×2=0,所以(b-a)⊥a,故B正确; C.|a|=,所以与向量a同方向的单位向量为=(-,),故C正确; D.cos<a,b>===,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.在数列{an}中,若对∀n∈N*,都有=q(q为常数),则称数列{an}为“等差比数列”,q为公差比,设数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法一定正确的是(　　) A.等差数列{an}是等差比数列 B.若等比数列{an}是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同 C.若数列{Sn}是等差比数列,则数列{an+1}是等比数列 D.若数列{an}是等比数列,则数列{Sn}是等差比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选BCD.等差数列{an}若为常数列,则an+1-an=0,无意义, 所以等差数列{an}不一定是等差比数列,A选项错误; 若公比为q的等比数列{an}是等差比数列,则{an}不是常数列,an=a1qn-1,q≠1, ==q,即该数列的公比与公差比相同,B选项正确. 若数列{Sn}是等差比数列,则==q,所以数列{an+1}是等比数列,故C选项正确; 若数列{an}是等比数列,公比为q,则==q, 所以数列{Sn}是等差比数列,故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.(2025·日照模拟)在平面四边形ABCD中,点D为动点,△ABD的面积是△BCD面积的3倍,又数列{an}满足a1=3,恒有=(an-3n-1)+(an+1+3n),设{an}的前n项和为Sn, 则(　　) A.{an}为等比数列 B.a4=-81 C.{}为等差数列 D.Sn=(3-n)·3n-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】选BCD.设AC,BD交于E点, 则====3, 即AE=3EC, 故=+=+=+(-)=+, 由于B,E,D三点共线,故存在实数λ(λ≠0),使得=λ, 即得=(an-3n-1)+(an+1+3n)=λ+λ, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 故, 整理得an+1+3n=3(an-3n-1), 即an+1=3an-2·3n,则=-,即-=-, 而a1=3,故{}为首项是=1,公差是-的等差数列,C正确; 则=1+(n-1) (-)=,故an=·3n,故a4=·34=-81,B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又===3-≠常数,故{an}不为等比数列,A错误; Sn=a1+a2+…+an=·3+·32+·33+…+·3n, 故3Sn=·32+·33+·34+…+·3n+·3n+1, 则-2Sn=3-·(32+33+34+…+3n)-·3n+1 =3-·-·3n+1=6-(6-2n)·3n, 故Sn=(3-n)·3n-3,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数=___________.  【解析】由题意易知z====i,所以=-i. -i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.(2025·沈阳模拟)已知公比q大于1的等比数列{an}满足a1+a3=5,a2=2.设bn=|2log2an-7|,则当n≥5时,数列{bn}的前n项和Sn=___________________.  【解析】由题意可得:,解得或, 因为q>1,所以,可得an=2n-1,则bn=|2log2an-7|=|2log22n-1-7|=|2n-9|=, 当n≥5时,则Sn=b1+…+b5+b6+…+bn=7+5+3+1+1+3+…+2n-9=16+ =(n-4)2+16. (n-4)2+16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=_________,若数列{an}的前n项和为Sn,记Rn=(n∈N*),则数列{Rn}的最大项为第______________项.  2n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】因为a1+a2+…+an=n(n∈N*), 当n=1时,a1=1,解得a1=2; 当n≥2时,a1+a2+…+an-1=n-1, 两式相减得an=1,即an=2n(n≥2), 经检验当n=1时,an=2n也成立,所以an=2n; 因为an=2n,所以Sn==2n+1-2, 所以Rn===65-(+2n)≤65-2=49, 当且仅当2n=,即n=3时取等号. 所以数列{Rn}的最大项为第3项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin A,sin A+ cos A),n=(cos A,cos A-sin A),f(A)=m·n,A∈[,]. (1)求f(A); 【解析】(1)f(A)=m·n=2sin Acos A+(sin A+cos A)(cos A-sin A) =sin 2A+(cos2A-sin2A) =sin 2A+cos 2A=2sin (2A+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求函数f(A)的最大值; 【解析】(2)因为A∈[,],所以2A+∈[,],所以当2A+=, 即A=时,f(A)有最大值2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若f(A)=0,a=,sin B+sin C=,求△ABC的面积. 【解析】(3)因为f(A)=0,所以2sin (2A+)=0,所以2A+=kπ,k∈Z, 因为A∈[,],所以A=, 由正弦定理得====2,所以sin B=,sin C=, 又因为sin B+sin C=,所以+=,得b+c=, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即3=(b+c)2-3bc,所以bc=1,所以S△ABC=bcsin A=×1×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)(2025·厦门模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,S4=10,且{}为等差数列. (1)求{an}的通项公式; 【解析】(1)设等差数列{}的公差为d,因为a1=S1=1, 所以-=3d,即-1=3d,d=, 所以=1+(n-1),即Sn=, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 当n=1时,a1=1,满足上式,所以an=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若bn=,求{bn}的前2n项和T2n. 【解析】(2)由(1)知bn= 则T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(1+3+5+…+2n-1) +(+++…+)=+×(-+-+…+-)=n2+-, 所以数列{bn}的前2n项和为T2n=n2+-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; 【解析】(1)因为an+1=,a1=3>0,所以an>0,所以==+, 所以1-=-=(1-),1-=≠0, 所以是首项为,公比为的等比数列. (2)求{an}的通项公式; 【解析】 (2)由(1)知,1-=()n⇒an==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)令bn=,证明:bn<bn+1<1. 【解析】 (3)bn==·===1-, 显然关于n∈N*单调递增,且3·()n-2>1恒成立, 所以{}单调递减, 所以{bn}关于n∈N*单调递增,且bn<1, 所以bn<bn+1<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比 数列. (1)求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)依题意得, ,解得, 所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设{}是首项为1,公比为3的等比数列, ①求数列{bn}的前n项和Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 【解析】 (2)①=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1, Tn=3+5·3+7·32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3·3+5·32+7·33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, 所以-2Tn=3+2·3+2·32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n. 所以Tn=n·3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②由(1)易求得Sn=n(n+2),所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立, 即转化为λ≤对一切n∈N*恒成立, 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ, 又f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时,f(n+1)-f(n)<0; n≥3时,f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3),且f(3)<f(4)<…,则λ≤f(n)min=f(3)=-. 所以实数λ的最大值为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)我们规定:若数列{kn}为递增数列且{}也为递增数列,则{kn}为“X-数列”. (1)已知:an=()n,bn=n,cn=,数列{an},{bn},{cn}中其中只有一个X-数列,它是: ______________;请从另外两个数列中任选一个证明其不是X-数列.  【解析】(1)空格处填{cn}. 原因如下:因为cn=,则=, 由幂函数y=与y=在[0,+∞)上都是增函数,由n∈N*,故数列{cn}与{}都是递增数列,则{cn}为“X-数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若选{an},下面证明{an}不是X-数列. 证明:由an=()n,则=,==. 故>,所以{}不是递增数列. 故{an}不是X-数列; 若选{bn},下面证明{bn}不是X-数列. 证明:由bn=n,则=,===. 所以{}不是递增数列,故{bn}不是X-数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知数列{an}满足:n(an+1-an)=an+a1,a1=1,Sn为{an}的前n项和,试求{an}的通项并判断数列{}是否为X-数列并证之. 【解析】(2)由n(an+1-an)=an+a1=an+1可得,nan+1=(n+1)an+1, 所以-==-. 设fn=,则f2-f1=1-,f3-f2=-,…,fn-fn-1=-, 累加得fn-f1=1-+-+…+-=1-=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又f1==1,故fn==+1=, 所以an=2n-1.由an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2, 故{an}是以1为首项,2为公差的等差数列. 所以Sn==n2,则=n,=1. 即数列{}是递增数列,但{}不是递增数列,故{}不是X-数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)已知数列{an}、{bn}均为X-数列,且a1>0,b1>0,求证:数列cn=an·bn也为X-数列. 【解析】(3)数列{an}、{bn}均为X-数列,且a1>0,b1>0, 由题意可得an>a1>0,bn>b1>0, 且>>0,>>0, 由不等式的性质可得,>,又cn=anbn>0,则cn<<cn+1,所以{cn}为递增数列,且有<,则-=->->0, 故{}也是递增数列,故{cn}为X-数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $