精品解析：甘肃省兰州市五校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度第一学期交大附中五校联考九年级数学 期中考试试卷 一．选择题（共11小题，，共33分） 1. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，再找到其解集，即可在数轴上表示． 【详解】解 解不等式①得x≤2， 解不等式②得x＞1 故不等式的解集为1＜x≤2 在数轴上表示如下： 故选C． 【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 3. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 5. 下列投影中，不是中心投影的是（ ） A. 路灯下行人的影子 B. 舞台上演员的影子 C. 台灯下书本的影子 D. 太阳光下旗杆的影子 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； B. 舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意； C. 台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D. 太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； 故选：D． 6. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 7. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 8. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象过一，二，三象限，的值随值的增大而增大，故A，B选项错误； 当时，， ∴点一定在函数图象上；故C选项正确； ∵和是图象上两点，且， ∴；故D选项错误； 故选C． 9. 如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 10. 若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的对称性，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数的表达式为，则， A．图中面积，故A选项不符合题意； B．阴影面积，故B选项不符合题意； C．阴影面积，故C选项符合题意； D．阴影面积，故D选项不符合题意； 故选：C． 11. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A. 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ． 又于点，于点． ， 四边形是矩形． ． 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， 即， 线段长的最小值为4.8； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解题的关键是利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值． 二．填空题（共4小题，共12分） 12. 在中，，，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据，由特殊角三角函数值即可得出角度，从而求解． 【详解】解：，，， ∴ ∴ 故答案为：． 13. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称、坐标确定位置，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 由题意得，该图形的对称轴为直线，则点D的横坐标为，点D的纵坐标为4，进而可得答案． 【详解】解：，， 该图形的对称轴为直线， ， 点D的横坐标为，点D的纵坐标为4， 点D的坐标为 故答案为：． 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有6种， ∴的概率是． 故答案为：． 15. 如图，、是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解：、是锐角的高， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：2． 三．解答题（共11小题，共75分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②得：4x=12， 解得：x=3， 把x=3代入①得：y=-1， 所以方程组的解为： 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， 由勾股定理可得； 【小问2详解】 解：设， ，， 由（1）知， 在中，由勾股定理， ， 解得， ，， ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求不等式的解集．（请直接写出答案） 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、数形结合思想等，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据图形可知，当的图象在一次函数上方的部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：的图象过点， ， 即反比例函数解析式为， 当时，，即， 过和， 则， 解得， ； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或． 21. 已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，，，且， ， 由（1）知， ， 解得：， ． 22. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，． 四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所求； （2） 证明：∵中，，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图垂直平分线，菱形的判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． （1）先作线段的垂直平分线，交于点M，连接，并延长，以点M为圆心，的长为半径画弧，交射线与点E，连接，即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得M是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 母爱如诗，润物无声．某校在全校学生中组织开展了“感恩慈母，从家务开始”主题劳动活动，让孩子们在母亲节这个特殊的日子里，通过帮妈妈做家务的方式感恩母亲，在实践中感受劳动带来的幸福感．为了解此次活动的开展情况，校团委随机抽取该校部分学生母亲节这天家务劳动时间，形成了如下调查报告： ××学校学生“感恩慈母，从家务开始”劳动活动调查报告 调查主题 ××学校学生母亲节家务劳动时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据收集、整理 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所调查学生母亲节家务劳动时间的众数为______小时，中位数为______小时； （2）求所调查学生母亲节家务劳动时间的平均数； （3）若该校有1200名学生，请你估计该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生有多少名？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： ， ， （2）小时 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，从而得出所调查学生母亲节家务劳动时间为小时的人数，即可补全条形统计图如图，再由众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义计算即可得解； （3）用乘以该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：抽取学生的总人数为：（人）， 故所调查学生母亲节家务劳动时间为小时的人数为：（人）， 因为所调查学生母亲节家务劳动时间为小时的人数最多，故众数为； 所调查学生母亲节家务劳动时间处在第、位分别为、，故中位数为； 【小问2详解】 解：由题意可得（小时）， 故所调查学生母亲节家务劳动时间的平均数为小时； 【小问3详解】 解：（名）， 故估计该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生有名． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、中位数、众数、平均数、由样本估计总体、补全条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 25. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）． 理由：在 上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）的长为2或3 【解析】 【分析】此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“合成矩形”．如图为点，的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为， ①当B点坐标为时，点A，B的“合成矩形”的面积是 ； ②若点P在直线上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为，点D为直线上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 【答案】（1）①3；②或 （2）或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了学生对新定义的理解和运用能力、正方形的性质、以及一次函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用数形结合解决此类问题的关键． （1）①由的坐标为，的坐标为，得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积； ②根据正方形的边长相等，建立的方程求解； （2）根据正方形面积公式，求出点的坐标，代入函数表达式，求的取值范围． 【小问1详解】 解：①点，的“合成矩形”如图， 的坐标为，的坐标为， ，． 点，的“合成矩形”的面积． 故答案为：3； ②如图，当点在直线上， 设点． 当点在轴上方时， 点，的“合成矩形”为正方形， 则正方形的边长为和， 可得方程， 解得， 点的坐标为． 当点在轴下方时， 同理可得， ， 点， 点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时，点的坐标为或； 【小问2详解】 解：点的坐标为， 如图，，的“合成矩形”为正方形时， 且点在轴上，点在轴上． 当点在轴的上方， 且正方形面积等于2时，． ， 点代入直线得， ， 解得． 正方形面积不小于2， 的取值范围为． 同理可得， 当点在轴下方时， 的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期交大附中五校联考九年级数学 期中考试试卷 一．选择题（共11小题，，共33分） 1. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（     ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 5. 下列投影中，不是中心投影的是（ ） A. 路灯下行人的影子 B. 舞台上演员的影子 C. 台灯下书本的影子 D. 太阳光下旗杆的影子 6. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 8. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 9. 如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 16 D. 20 10. 若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ） A. 4 B. 4．8 C. 5．2 D. 6 二．填空题（共4小题，共12分） 12. 在中，，，，则的度数为________． 13. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为______． 14. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是______． 15. 如图，、是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为______． 三．解答题（共11小题，共75分） 16. 计算：； 17. 解方程：． 18. 解方程组： 19. 如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求不等式的解集．（请直接写出答案） 21. 已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 【阅读材料】 老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形． 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，． 四边形即为所求作的菱形． 【解答问题】 （1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹； （2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 23. 母爱如诗，润物无声．某校在全校学生中组织开展了“感恩慈母，从家务开始”主题劳动活动，让孩子们在母亲节这个特殊的日子里，通过帮妈妈做家务的方式感恩母亲，在实践中感受劳动带来的幸福感．为了解此次活动的开展情况，校团委随机抽取该校部分学生母亲节这天家务劳动时间，形成了如下调查报告： ××学校学生“感恩慈母，从家务开始”劳动活动调查报告 调查主题 ××学校学生母亲节家务劳动时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据收集、整理 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所调查学生母亲节家务劳动时间的众数为______小时，中位数为______小时； （2）求所调查学生母亲节家务劳动时间的平均数； （3）若该校有1200名学生，请你估计该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生有多少名？ 24. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 25. 课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“合成矩形”．如图为点，的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为， ①当B点坐标为时，点A，B的“合成矩形”的面积是 ； ②若点P在直线上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为，点D为直线上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $