精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷

浠水一中2025年高一上学期数学期中试卷 命题教师：潘林辉 审题教师：邱望月 考试时间：2025-11-13 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设则（    ） A. B. 0 C. D. 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数满足，当时，，当时， （ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列是真命题的是（ ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. ，若，则__________. 14. 已知函数．若，使，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 16. （1）若关于的不等式的解集是，求，的值. （2）若，求关于的不等式的解集. 17. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）用定义证明：函数在区间上是减函数； （2）求不等式的解集． 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）求证：在上是增函数； （3）解不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2025年高一上学期数学期中试卷 命题教师：潘林辉 审题教师：邱望月 考试时间：2025-11-13 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 设则（    ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式及分段函数的定义可求解. 【详解】当时，，故，当时，． 故． 故选：C. 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】当时，得或，即不一定成立， 当时，且，所以成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 4. 已知函数满足，当时，，当时， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选:C． 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抽象函数定义域的求解结合根式列出不等式，求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为. 对于函数，则， 解得，所以函数的定义域是. 故选：B. 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 8. 已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象,设,结合函数的图象性质,易得,,进而可求出答案. 【详解】作出函数的图象,如下图. 当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为;当时,为直线的一部分. 设,,由图象可知,, 令,解得,则,且, 则,即. 故选:A. 【点睛】本题考查方程的根与分段函数的性质,利用一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键,属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可. 【详解】解：的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 10. 下列是真命题的是（ ）． A. 已知，且，则 的最大值为5 B. 已知，则的取值范围为 C. 已知且恒成立，实数的最大值是 D. 若则的最大值是6． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】对于A， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值，故A错误； 对于B，由，可得， 又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意，，，， 所以转化为， 可得，即， 因为， 当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确； 对于D，由可得， 两边同乘以， ， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立， 令，则有，即， 解得，因此的最小值为， 此时且满足； 的最大值为，此时且满足，故D正确． 故选：BCD 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为, 故答案为： 13. ，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，为奇函数， 由，解得，所以. 所以. 故答案为：4. 14. 已知函数．若，使，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据命题和命题否定的关系，先求出“，都有”成立的的范围，利用恒成立关系结合函数的单调性和基本不等式求出最值得解. 【详解】命题“，使”的否定为“，都有”， 即成立， 又时，，且， 故，则， 又，所以， 即在上恒成立，当时，上式成立， 即在上恒成立， 所以， 因为函数在上单调递增，所以， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以命题“，使”成立对应的的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【小问1详解】 由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. 【小问2详解】 由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 16. （1）若关于的不等式的解集是，求，的值. （2）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）讨论参数a的取值，求不等式解集即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以与是方程的两根，且， 将代入，得，则， 所以不等式为，转化为，所以原不等式解集为，所以． （2）由，整理得，即， 当时，，故不等式的解集为或； 当时，，不等式为，故其解集为； 当时，，故不等式的解集为或； 综上：①当时，原不等式解集为或； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为或. 17. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）用定义证明：函数在区间上是减函数； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） 由题意知函数是定义在上的函数，且， 则，解得， 故； 任取， 则 ， 由于，故， 则，即， 故函数在区间上是减函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据可求出a的值，即得的解析式，根据函数单调性定义，即可证明结论； （2）利用函数的单调性将原不等式转化为关于t的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由不等式，得 结合函数在区间上是减函数， 可得，解得， 即不等式的解集为. 18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求的值； （2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）由年产量为10台时，需另投入成本500万元求解； （2）根据利润销售收入成本，分和求解； （3）由（2），分和，分别利用二次函数和基本不等式求解. 【小问1详解】 解：将，代入， 得，解得. 【小问2详解】 由题意可得，当时，； 当时，. 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问3详解】 由（2）得当时，； 当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，. 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元. 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元. 19. 已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）求证：在上是增函数； （3）解不等式：. 【答案】（1）是偶函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； 【小问3详解】 因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $