河南省郑州市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年上学期期中考试 27届高二（数学)试题 命题人：娄净超审题人：何远顺 说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)，满分150分。 2.考试时间：120分钟。 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。 第I卷（选择题，共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.过点(3,4)和点(2,5)的直线倾斜角为() A.135 B.45° C.60° D.120° 2.a,b,c是空间的一组基底向量，d=3a+2b-c,用基底{a,b+c,b-c表示d 的系数分别为() A好 B对 C.3-,-3 2’2 D.3 3.已知点A(-1,1),B(2,1),直线：y=-1与线段AB总有交点，则实数k的取 值范围是() A.[-2,1]B.（-o0,-2]U[1,+o∞)C.(-o,-1]U[2,+o)D.[-1,2] 4.在三棱柱ABC-A,B,C,中，设AA=a,AB=b,AC=c,E为B,C的中点， 则E=() A.++8 B.a+-B+1c 22 221 C.a+b+c D. 1-.1,1- a+46+40 5.己知直线l:x-y+4=0与直线L2:x+my+1=0垂直，点M在直线l2上运动， 高二（数学）试题第1页（共6页） 且点A(-2,-4),点B(2,1),则MA-MB的最大值是() A.2 B.√2 C.1 D.2 2 6.己知圆M:x2+y2-2r-4y+5t2-1=0,由点P(0,2√5)向圆M引两条切线， 切点分别为A,B,则四边形PAMB周长最小值为() A.2W5 B.2W5+2 C.2W3+2 D.2W5 7已知的图乐等+茶 +存=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，5，点A为E上 点，∠RAE的平分线与x轴交于点B,且AF=2BF,则椭圆E的离心率为() A.2 B. D 8.如图，在四棱锥E-ABCD中，CE⊥底面ABCD, AB=AD=VI3,BC=BD=CD=2,CE=3,F是棱AE 的中点，则三棱锥B-DEF的外接球的表面积为() A. 41元 B.4 3π C. 43π 41π D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点M为棱 AA的中点，若N为底面A,B,CD,内一点（不包含边界），且满 足MN/平面BDC.则下列说法正确的是（) A.点N轨迹长度为√2 B.A到平面BDC,的距离为4W5 3 高二（数学）试题第2页（共6页） C.存在点N使得CN⊥平面BDC D.设直线MN与直线CC,所成的角为a,则tana∈ 10.己知直线4：(m+1)x+y+2m-3=0,42:2x+my+m-2=0,C:(x+4)+(y-3)}2=9 则下列说法正确的是() A.l∥12的充要条件为m=1或m=-2 B.若直线l,不经过第四象限，则m≤-1 C.4与圆C,相交弦长最短为2 D.圆C2:x2+y2-4x+10y+m=0与圆C,相外离，则-20<m<29 已知椭圆C仁+上=的焦点分别为0，-、0，)，设直线1与梢圆 3 交于P,Q两点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的离心率为巨 B.椭圆上不存在点N使得∠FNE=90° 为线段P2的中点，则△F,P9的周长为45 D. E是椭圆上的动点，A是直线x+√3y-12√3=0上的动点，则EA-EF 的最小值为7V5 2 高二（数学）试题第3页（共6页） 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(0,2,-1),b=(2,2,3),(a-kb)La,则k=_ 13.已知四棱锥P-ABCD底面是长为2的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD, 点M在△PAB内，且tan∠MCB=√2tan∠MDA,点M的轨迹的长度为 圆千+左右焦点为，上，直线过点，与椭圆交 点，其中P点在x轴上方，直线PF与圆E:(x+1)2+y2=16交于x轴上方一点B, 3 若 Sp暖=5， SAOFF 则P= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验 算步骤。 15.(13分) 己知m=（2,-1,4),m+2方=(10，-3,4). (1)求向量n的坐标； (2)设向量c=(2,y,z),c11(m-),求. 16.(15分) 己知直线l:(a+4)x+(a-2)y-4=0 直线l2:(a+1)x+(1-a)y+3=0 (1)若l⊥12，求实数a的值； (2)当a=0时，直线1过点F(3,0),且被直线4，l所截线段被F平分，求直线1的 方程. 高二（数学）试题第4项（共6页） 17.(15分) 己知圆C:(x-2)2+y+1)2=5,圆D与圆C相切于点P(3,),且过点E(1,3). (I)求圆D的方程； (2)直线EP与圆C交于另外一点F,在圆C上求一点M,使得SAPr=1. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，其中AB/CD, ∠ABD=60°，BD=CD=1,AD=√5，平面PAD⊥平面ABCD. (I)证明：BD⊥PD. (2)若CD⊥PD,E是棱PC上的动点，且PC与平面ABCD所成角的正切值为1. (i)求二面角B-PA-D的余弦值； (i)记直线BE与平面PAD所成角为B,求sinO的最大值. 高二（数学）试题第5页（共6页） 19.(17分) 已知椭圆C: a+ -1的离心率为 3,且过点(2,0)，F,F,分别为椭圆的左 右焦点，l:y=+m(k≠0)与椭圆交于M,N两点，G为线段MN中点. （1)当k=1时，求m的取值范围； （2)在第(1)问的条件下，证明： 1+1为定值，并求出该定值： (3)直线OG与椭圆交于A,B两点，是否存在直线1使得A,M,B,N四点共圆？ 高二（数学）试题第6页（共6页） 2025~2026学年上学期期中考试 27届高二（数学)参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C C D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.5 13.2x 14.3 2 三、解答题 15.(13分) 【答案】(1)由m=(2,-1,4),m+2i=(10,-3,4), 得元=m+2)- 2=(4,-1,0) (3分) 2 则i=(4,-1,0) (3分) (2)由(1)得m-元=(-2,0,4)， (2分) 而向量c=(2,y,z),c11(m-), 因此c=(2,0,-4, (3分) 所以1c=√22+(-42=25. (2分) 16.（15分) 【答案】(1)因为l⊥12，所以(a+4)(a+1)+(a-2)(1-a)=8a+2=0,(3分) 得a= (2分) (2)a=0时，直线l:2x-y-2=0,直线l2:x+y+3=0, (1分) 设直线1与直线！交点为A(:,y),直线1与直线l2交点为B(:,2), (1分) 因为F(3,0)为线段AB中点，所以x+x2=6y,+y2=0, (2分) 解得为3=6-x,》2=-, (1分) 2x-y-2=0 因为A∈l,B∈2，所以 (2分) 6-x+(-y)+3=0 11 x= 3 得 ,1 即A( 3’3 (2分) y=3 所以直线1方程为：8x-y-24=0。 (1分) 17.(15分) 【答案】(1)易求直线EP方程为：x+y-4=0, 所以直线EP的中垂线方程为：x-y=0①， (2分) 又圆心C(2,-1),所以直线CP方程为：2x-y-5=0②， (1分) 联立①②得圆心D(5,5), (1分) 所以DP2=20, (1分) 所以圆D的方程为：(x-5)2+(y-5)2=20: (1分) (2)圆心C2,-1)到直线EP的距离为d,则d=3V (1分) 2 所以弦长FP=25-d2=√2， (1分) 设点M到弦FP的距离为h,则Swm=)2h=1,得h=V5。 (1分) 2 设直线l为与直线FP平行且距离为√，设I:x+y-m=0, 则4-刚-V5,解得m=2或6， (2分) l:x+y-2=0 m=2时，联立 oC:(x-22+(y+1=5得y+y-2=0, (1分) 解得y=1或-2，所以M(1,1)或(4，-2)； (1分) :x+y-6=0 m=6时，联立 oC:(x-22+(y+12=5得y2-3y+4=0, 该方程无解： (1分) 综上可得M(1,1)或(4，-2)。 (1分) 18.(17分) 【答案】(1)因为∠ABD=60°，BD=1,AD=√5，在三角形ABD中，由正弦定 2公BDm2BAD所以sn∠BAD=克即∠AAD=30, 理得， AD BD (1分) 所以∠ADB=90°，即AD⊥BD, (1分) 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, (1分) 所以BD⊥平面PAD, (1分) 又因为PDC平面PAD,所以BD⊥PD (1分) (2)(i)因为CD⊥PD,BD⊥PD,BDOCD=D,BD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥平面ABCD,所以PC与平面ABCD所成角即为∠PCD, 所以tan∠PCD=PD-PD-l,所以PD=l: (1分) CD 1 以D为原点，分别以DA,DB,DP为x,y》,z轴正方向，建立空间直角坐标系 D-yz,如下图所示， B 因为P(0,0,),A(V3,0,0,B(0,1,0),所以AB=（-V31,0,BP=(0,-1,1) 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 所以 AB1=0 -3x+y=0 BP.n=0 所以 -y+z=0 取x=1,则y=5,2=5,所以元=山，V5,3: (1分) 取平面PAD的一个法向量为%，=(0,1,0)， (1分) 设二面角B-PA-D的平面角大小为中， 所以cos中=cos(7,n 32 (1分) n, V7x1 7 由图知二面角为锐角，所以二面角B-PA-D的余弦值为2 (1分) (ii)因为∠CDB=∠ABD=60°，BD=CD=1,所以三角形BCD是等边三角 形所以c （1分) 设E=cea小.且元-9与-小 远-匹-而-（小Qa-(0-小 (1分) 所以-刘小所以延，0-列 (1分) 设直线BE与平面PAD所成角为O, 所以sin0=cos BE,网= 12-2 2-元 V32+(1-2)2+(1-2}×4V822-12+8 (1分) t 1 令2-=1e2,所以in0= 2W2r2-5t+4 (2分) 由二次函数性质可知， 当-：即1-多，即2-号时，如0省最大位29 (1分) 19.(17分)