15.1.2 线段的垂直平分线暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦线段的垂直平分线核心知识点，以定义（垂直且平分线段的直线）为起点，通过尺规作图（两弧交点法）掌握操作技能，进而梳理性质定理（上点到两端距离相等）与逆定理（到两端距离相等的点在上），最终延伸至实际应用（中点确定、最短路径、三角形外心），构建从概念到操作再到应用的完整学习支架。 资料融入思维导图助力知识结构化，易错点提醒（如作图半径需＞1/2线段长）培养严谨思维，巩固练习含证明与作图题提升推理能力与空间观念。结合几何直观与推理意识，课中辅助教师针对性教学，课后学生可通过练习与答案解析查漏补缺，强化知识应用与逻辑表达。

15.1.2 线段的垂直平分线 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的定义及其基本性质 2. 掌握用尺规作线段垂直平分线的方法 3. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 4. 能够运用垂直平分线的性质解决简单的几何问题 5. 培养几何作图能力和逻辑推理能力 知识点梳理 一、垂直平分线的定义 · 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 · 特点：既是垂线又是平分线 二、尺规作图方法 1. 以线段两端点为圆心，相同半径画弧（半径＞1/2线段长） 2. 两弧在线段两侧各有一个交点 3. 连接两交点得到垂直平分线 三、性质定理 · 内容：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等 · 应用：用于证明线段相等或确定点的位置 四、逆定理 · 内容：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 · 应用：判断点是否在垂直平分线上 五、实际应用 · 确定线段的中点 · 解决最短路径问题 · 三角形外心的确定 易错点提醒 1. 作图错误 · 画弧时半径选取不当（必须＞1/2线段长） · 连接交点时未保证直线完全通过线段中点 2. 概念混淆 · 将垂直平分线与角平分线混淆 · 忽视"垂直"和"平分"必须同时满足 3. 定理应用错误 · 混淆性质定理与逆定理的使用条件 · 忽视"距离相等"的前提条件 4. 证明过程错误 · 直接使用未证明的全等关系 · 逻辑推理不严谨 知识点小结 1. 垂直平分线具有双重性质：垂直性和平分性 2. 尺规作图的关键是保证两弧交点的准确性 3. 性质定理和逆定理从不同角度描述了垂直平分线的特征 4. 垂直平分线的性质为证明线段相等提供了新方法 5. 理解垂直平分线的对称性是应用的关键 建议 · 通过多次作图练习掌握精确作图技巧 · 对比记忆垂直平分线与角平分线的区别 · 从简单图形开始理解定理的应用 · 注意证明过程中条件的充分性 · 联系生活实际理解垂直平分线的应用价值 巩固练习 一、选择题 1．元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 3．观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 5．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等 7．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．24 8．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．写出命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题　 　． 10．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是　 　；这是　 　命题（真或假）． 11．如图，在中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连结，交于点E，交于点的周长是，则的长为　 　． 12．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，连接AD，则∠BAD的度数为　 　． 13．如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为　 　． 14．如图，在中，于于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点，则图中全等的直角三角形有　 　对. 15． 如图， 在 中， A C 边的垂直平分线分别交 AC， AB 于点 的周长为 18 cm ， 则 的周长为　 　cm . 16．如图：△ABC中，∠A =90°，∠ABD=22°，DE垂直平分BC，则∠C=　 　。 三、解答题 17．阅读下面的材料： 已知中，，在AC上确定一点P，使得． 下面是小方设计的尺规作图过程： 作法：如图， ①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，点N，作直线，直线交于点P； ②连接． 所以点P即为所求． 根据小方设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵是的垂直平分线，直线交于点P， ∴___________（___________）（填推理的依据）． ∵， ∴． ∴点P即为所求． 18．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假. （1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数； （2）如果a=b，那么 （3）等腰三角形两腰上的高相等. 19．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，的面积为求的长． 20．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E，F分别在AB，AC上． （1）求证：AD是BC的垂直平分线． （2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC． （3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数． 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．A 8．A 9．如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等 10．两直线平行，同位角相等；真 11． 12．55° 13．81 14．6 15．12 16．34° 17．（1）如图所示： （2），垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 18．（1）解：逆命题为：如果ab是无理数，那么a，b都是无理数 为假命题 （2）解：逆命题为：如果，那么a=b 为假命题 （3）解：逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形为等腰三角形 为真命题 19．（1）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 过点作，垂足为， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分，，， ． 20．（1）解： 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，又∵BD=CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线. （2）解： 证明：过点D作DM⊥EF，连结AD，如图：∵AD是BC的垂直平分线，AB=AC，∴AD平分∠BAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠DCB=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即DB⊥AB，DC⊥AC，∵MD⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，∴BD=DM，又∵BD=CD，∴CD=DM，∴FD平分∠EFC， （3）解：由（2）知：DE平分∠BEF，DF平分∠EFC，BD=DM=CD，∴△BDF≌△MDF，∴∠BDC=∠EDM，∠MDF=∠FDC，又∵∠BDC=120°，即∠BDE+∠EDM+∠MDF+∠FDC=120°，∴2∠EDM+2∠MDF=120°，2（∠EDM+∠MDF）=120°，∴∠EDM+∠MDF=60°，即∠EDF=60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$