精品解析：湖北省武穴市实验中学2025-2026学年上学期期中质量检测九年级数学试题

武穴市实验中学 二O二五年秋期中质量检测九年级数学试题 时间：120分钟 分数：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解． 【详解】选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A、当时，方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、式子不是方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 3. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 4. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个一元二次方程的判别式，判断根的情况．当时，方程有两个不相等实数根． 【详解】解：对于A：，∵，∴，∴无实数根，故此选项不符合题意； 对于B：，∵，∴，∴有两个不相等实数根，故此选项符合题意； 对于C：，∵，∴，∴无实数根，故此选项不符合题意； 对于D：，∵，∴，∴有两个相等实数根，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△A′B′C′．当点B′落在BA的延长线上时，恰好A′B′∥AC，若α=140°，则∠B的度数为（　　） A. 140° B. 30° C. 20° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等，还考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和为等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，利用等腰三角形等边对等角得到，最后利用三角形内角和算出答案． 【详解】解：由题意知，绕点顺时针旋转得到，， ∴， 又∵落在的延长线上且， ∴， ∴， 故选：C． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 最小值4 B. 最大值4 C. 最小值2 D. 最小值3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数开口向上，有最小值，最小值在顶点处取得． 【详解】解：∵在中，， ∴函数图像开口向上， ∴二次函数有最小值，最小值为顶点纵坐标4． 故选A． 7. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的性质． 作于点，连接，则，，可得，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点，连接，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∴直尺的宽度为． 故选：B． 8. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 9. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知方程有一根为m，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 利用方程根的定义，将m代入方程得到关系式，再代入所求表达式计算． 【详解】m是方程的根， ， 即， ． 故答案为． 12. 当m________时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得：且，由此解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：是一元二次方程， ， ， 故答案为： 13. 已知点，，都是抛物线上的点，则将，，用“<”连接为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对应的函数值是解题的关键． 直接将点，，代入函数解析式，求出函数值比较即可． 【详解】解：∵点，，都是抛物线上的点， ∴； ； ， ∴， 故答案为：． 14. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为________． 【答案】10． 【解析】 【分析】连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2， ∵CD⊥AB，CD＝12 ∴CE=DE=CD=6， 在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2， ∴（r-2）2+62=r2，解得r=10， 即⊙O半径为10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理得综合应用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 15. 如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则___________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 即， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 17. 已知，点是等边三角形内一点，线段绕点逆时针旋转到，连接，．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、图形的旋转、全等三角形的判定，根据等边三角形的性质可知，，由旋转的性质可知，，可证，利用可证结论成立． 【详解】证明：如下图所示， 是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，，， ， ， 在和中，， ． 18. 为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． （2）年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）； （2）15个． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用等知识． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意列方程得 ，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2） 设该市在2025年可以改造y个老旧小区，根据题意列出不等式，解不等式，取最大整数解，问题得解． 【小问1详解】 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得 ，不符合题意，舍去 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为； 小问2详解】 解：设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为 答：该市在2025年最多可以改造15个老旧小区． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 20. 已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为 ，方程的解为 （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 【答案】（1）直线；，； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）①先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ②先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案为：直线；，； 【小问2详解】 解：①当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ②当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案：或． 21. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【小问1详解】 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，w最大，最大值为2450元． （3）当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 23. （1）如图，在正方形中，的顶点，分别在，上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）如图，在中，，，点，是边上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在图中，连接分别交，于点，，若，，，求，的长度． 【答案】 （1）的度数为； （2），，之间的数量关系为，理由见解析； （3）的长度为，的长度为． 【解析】 【分析】（1）根据高与正方形的边长相等，证明三角形全等，可得角相等，从而可得的度数； （2）由旋转的性质，可得，，，结合已知，可证明，对应边相等，根据勾股定理，可得，等量代换，即可得，，之间的数量关系； （3）设正方形的边长为，，则，，，根据勾股定理可得，由三角形全等可得对应边相等，等量代换，结合线段之间的数量关系，列方程求解，即可得，的长度． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：，，之间的数量关系为，理由如下： 由旋转可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， 由（1）得，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 如图，令与交于点，与交于点， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 解得， ∴， ∴的长度为，的长度为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质． 24. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，求得，将代入求得，再由待定系数法求解即可； （3）过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为，证明，则，，那么，同上可求直线表达式为：，与抛物线解析式联立得：即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入得，， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入， 得：， 解得：，（舍）， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为：； 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可求直线表达式为：， 与抛物线解析式联立得：， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与角度的存在性问题，涉及待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点问题等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武穴市实验中学 二O二五年秋期中质量检测九年级数学试题 时间：120分钟 分数：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 下列方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△A′B′C′．当点B′落在BA的延长线上时，恰好A′B′∥AC，若α=140°，则∠B的度数为（　　） A. 140° B. 30° C. 20° D. 100° 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 最小值4 B. 最大值4 C. 最小值2 D. 最小值3 7. 如图，将一把两边都带有刻度直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知方程有一根为m，则值为_______． 12. 当m________时，方程是关于x的一元二次方程． 13. 已知点，，都是抛物线上的点，则将，，用“<”连接为______． 14. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为________． 15. 如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则___________（结果保留根号）． 三．解答题（共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 已知，点是等边三角形内一点，线段绕点逆时针旋转到，连接，．求证：． 18. 为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． （2）年老旧小区改造平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 20. 已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为 ，方程的解为 （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x取值范围为 21. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 23. （1）如图，在正方形中，的顶点，分别在，上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）如图，在中，，，点，是边上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在图中，连接分别交，于点，，若，，，求，的长度． 24. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $