第11讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

第11讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.一元一次方程 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 5.解一元一次方程的一般步骤 题型巩固 一、判断是否是一元一次方程 二、判断是否是一元一次方程解 三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 四、解一元一次方程（二）—去括号 五、解一元一次方程（三）—去分母 六、已知一元一次方程的解，求参数 七、一元一次方程解的关系 八、绝对值方程 强化训练 单选题（8） 填空题（8） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋x＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点2.解一元一次方程——移项 1. 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项. 2. 移项的依据 移项的依据是等式的性质1，在方程的两边都加上(或减去)同一个适当的数或整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在方程的另一边. 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边； (2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为1：得到方程的解为x＝. 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x＝c(c为常数)的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 2. 去括号解一元一次方程的步骤 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 3. 解一元一次方程的一般步骤 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母. 2. 去分母解一元一次方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点5.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1 . 通过这些步骤可以将一元一次方程转化为x＝c(c为常数)的形式. 2. 解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项如 下表 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质先把分母化为整数 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个多项式，去分母后加上括号 续表： 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律(去 括号法则) 不要漏乘括号里面的项， 不要弄错符号 移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则(等式的性质1) 移项要变号，不移的项不用变号 合并同类项 把方程化为ax＝b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)系数相加(2)字母及指数不变 系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为 x＝ (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)除数不为0(2)不要把分子、分母颠倒 题型巩固 题型一、判断是否是一元一次方程 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义判断即可，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． 【详解】解：A．，是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； B．，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     C．，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     D．，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题需要根据一元一次方程的定义来确定的值．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程只含有一个未知数且未知数的次数为、一次项系数不为是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元一次方程 ∴ 且 ∵ ∴ 或 ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 3．若是关于x的一元一次方程，求k的值． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．形如的方程，叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，得到，且，可求出k值． 【详解】解：根据题意，得，且，解得． 题型二、判断是否是一元一次方程解 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 5．写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．根据定义即可求解． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 6．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 题型三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（2025七年级上·江苏·专题练习）定义新运算：，已知，则x的值为（　　） A．12 B．16 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查定义新运算，解方程的综合，理解定义新运算的运算法则，掌握解方程的方法是解题的关键． 根据定义新运算的运算法则，解方程即可求解． 【详解】解：由， 得当时，， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查解一元一次方程，解题关键在于利用拆项法将原式变形． 方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解． 【详解】解： 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型四、解一元一次方程（二）——去括号 10．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算．根据，，可以求得题目中方程的解． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得， 解得：； 故选：C． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为 ． x … 0 1 3 … … 1 3 7 … 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据表格可得当时，，那么把所求方程中的看做一个整体可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， ∵， ∴把所求方程中的看做一个整体可得到， ∴， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得x＋10=3x， 移项，得， 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 题型五、解一元一次方程（三）——去分母 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在解方程时，下列去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去分母，得． 故选：B． 14．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 15．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型六、已知一元一次方程的解，求参数 16．如果关于的方程的解为，那么的值是（　　） A． B．2 C．6 D． 【答案】C 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．把方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得． 故选：C． 17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程的解是负整数得到的值为，，，求出k值解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数， ∴的值为，，， 解得的值为，，，共个， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 题型七、一元一次方程解的关系 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】对比两个方程后可以得出关于的一元一次方程的解为，从而求出的值．本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解满足， ， 故选：A． 20．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】6 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是_____（填写序号）； ①，②，③． (2)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)①，③ (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数，掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据互逆方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得：； 解得：； 解得：； 解得： ∴与方程为“互逆方程”的是①③； （2）解方程，得． 解方程，得． ∵两个方程为“互逆方程”， ∴． 解方程，得． 题型八、绝对值方程 22．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值方程的求解，解题的关键是根据绝对值的定义将绝对值方程转化为两个一元一次方程来求解． 根据绝对值的定义，可得或，分别求解这两个一元一次方程，得到或． 【详解】解：因为， 所以的值为或． 当时，； 当时，． 所以的值为或， 故选：C． 23．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．先根据绝对值的定义求出的值，再求出的值． 【详解】解：∵， ∴． 当时，； 当时，． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了有理数的混合运算，绝对值，熟练掌握其运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值求出x与y的值，再根据题意确定出x与y的值，代入计算即可求出值； （2）根据x与y的绝对值分别求出x的平方和y的平方，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 则或； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 强化训练 一、单选题 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2．当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据等式的性质解方程， 先方程两边同时乘以8，再两边都减去36，然后根据两边同时除以可得答案． 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法：移项，移项要变号是解题的关键． 逐个选项判断是否是移项即可． 【详解】解：A、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； B、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； C、由，得，变号后从方程左边移到右边成，选项符合题意， D、由，得，这是方程左边进行了加法交换律，故选项不符合题意． 故选：． 4．将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程去括号得到结果，即可作出判断. 【详解】解：方程去括号，得： 故选： ． 5．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 6．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 7．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 8．小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 10．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．未知数的最高次数为，且一次项系数不为是解题关键． 根据一元一次方程的定义可得，且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且 ∴． 故答案为：． 11．是的相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据相反数的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：∵是的相反数，的相反数是5， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．代数式的值等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意列方程，然后按照解一元一次方程的步骤解方程计算求解． 【详解】解：由题意可得：， 去分母得， 整理得， 解得， 故答案为：5． 13．在梯形面积公式中，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 将已知条件代入梯形面积公式得到关于的一元一次方程，解方程即可得到． 【详解】解：由题意，得． 去括号，得， 解得． 故答案为：． 14．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 15．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 16．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算括号内，最后运算除法，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． （1）根据合并同类项，系数化为即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 19．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 20．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 21．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）解方程，再将求出的解代入方程即可求出； （2）解关于的方程，再将求出的解代入方程即可求出． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得，   合并同类项，得， 两边都除以5，得． 把代入，得，所以． （2）由方程，得．把 代入，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以11，得． 22．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 23．定义运算：．例如． (1)计算； (2)已知，且为整数，求的值． (3)在数轴上，点对应的数分别是，已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)3或 (3)2或 【分析】本题主要考查绝对值的方程及有理数的运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题意易得，然后问题可求解； （3）由题意易得或，，然后根据可分类进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴或； （3）解：∵， ∴或， ， ∴， ∴或1 又∵， ∴x，y异号， ∴当时，时，， 当时，时，； ∴综上所述：的值为2或． 24．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． （2）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴①， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴②， ①②联立得∶解得：． （3）解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 25．同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 【答案】(1)5； (2)2，； (3)，，，0，1，2； (4)10； (5)11或 【分析】本题考查了绝对值，熟练运用绝对值的几何意义和数轴是解决本题的关键． （1）根据绝对值几何意义，计算即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答； （3）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （4）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （5）根据绝对值几何意义和数轴，计算出范围，分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）解：表示数轴上x与2这两点间的距离， 表示数轴上x与这两点间的距离． 故答案为：2，； （3）解：表示数轴上x到2和到的距离之和为5， 因为， 所以， 则x可取整数有，，，0，1， 故答案为：，，，0，1，2； （4）解：表示数轴上x到和到6的距离之和， 当时，距离之和最小值为． 故答案为：10； （5）解：时，或， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 故答案为：11或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.一元一次方程 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 5.解一元一次方程的一般步骤 题型巩固 一、判断是否是一元一次方程 二、判断是否是一元一次方程解 三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 四、解一元一次方程（二）—去括号 五、解一元一次方程（三）—去分母 六、已知一元一次方程的解，求参数 七、一元一次方程解的关系 八、绝对值方程 强化训练 单选题（8） 填空题（8） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋x＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点2.解一元一次方程——移项 1. 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项. 2. 移项的依据 移项的依据是等式的性质1，在方程的两边都加上(或减去)同一个适当的数或整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在方程的另一边. 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边； (2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为1：得到方程的解为x＝. 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x＝c(c为常数)的形式，一般需要先根据去括号法则去括号. 2. 去括号解一元一次方程的步骤 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 3. 解一元一次方程的一般步骤 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母. 2. 去分母解一元一次方程的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 知识点5.解一元一次方程的一般步骤 1. 解一元一次方程的一般步骤 一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1 . 通过这些步骤可以将一元一次方程转化为x＝c(c为常数)的形式. 2. 解一元一次方程的具体做法、变形依据、注意事项如 下表 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质先把分母化为整数 等式的性质2 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个多项式，去分母后加上括号 续表： 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律(去 括号法则) 不要漏乘括号里面的项， 不要弄错符号 移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则(等式的性质1) 移项要变号，不移的项不用变号 合并同类项 把方程化为ax＝b(a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)系数相加(2)字母及指数不变 系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为 x＝ (a ≠ 0) 等式的性质2 (1)除数不为0(2)不要把分子、分母颠倒 题型巩固 题型一、判断是否是一元一次方程 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则 ． 3．若是关于x的一元一次方程，求k的值． 题型二、判断是否是一元一次方程解 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 6．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（2025七年级上·江苏·专题练习）定义新运算：，已知，则x的值为（　　） A．12 B．16 C．4 D．6 8．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的解是 ． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程． (1) (2) 题型四、解一元一次方程（二）——去括号 10．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为 ． x … 0 1 3 … … 1 3 7 … 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）解方程： (1)； (2)． 题型五、解一元一次方程（三）——去分母 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在解方程时，下列去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 14．解下列方程： (1) (2) 15．解方程 (1) (2) 题型六、已知一元一次方程的解，求参数 16．如果关于的方程的解为，那么的值是（　　） A． B．2 C．6 D． 17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 题型七、一元一次方程解的关系 19．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 21．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是_____（填写序号）； ①，②，③． (2)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 题型八、绝对值方程 22．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，则x的值为（   ） A．8 B． C．8或 D．5或 23．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，则 ． 24．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）已知，． (1)若，求的值； (2)求的值． 强化训练 一、单选题 1．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．将方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 7．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 9．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 10．若是关于的一元一次方程，则 ． 11．是的相反数，则 ． 12．代数式的值等于，则 ． 13．在梯形面积公式中，已知，则 ． 14．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 15．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 16．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．解方程： (1)； (2)． 19．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 20．若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 21．我们把解相同的两个方程称为“同解方程”，例如：方程与方程的解都为，所以它们为“同解方程”． (1)若方程与关于的方程为“同解方程”，求的值． (2)若关于的方程与为“同解方程”，求的值． 22．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 23．定义运算：．例如． (1)计算； (2)已知，且为整数，求的值． (3)在数轴上，点对应的数分别是，已知，且，求的值． 24．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 25．同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 学科网（北京）股份有限公司 $