第10讲 角（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第10讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的有关定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的单位换算 5.方向角 6.角的大小比较 7.角平分线 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、画特殊角 五、钟面角 六、方向角的表示 七、与方向角有关的计算题 八、角的单位与角度制 九、角的度数大小比较 十、角的比较 十一、三角板中角度计算问题 十二、几何图形中角度计算问题 十三、角度的四则运算 十四、实际问题中角度计算问题 十五、角平分线的有关计算 十六、角n等分线的有关计算 十七、尺规作一个角等于已知角 强化训练 单选题（9） 填空题（8） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.角的有关定义 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 知识点2.角的表示方法 1.角的几何符号：∠. 2.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 知识点3.角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 角的范围 角的名称 各种角之间的大小关系 0°<α <90° 锐角 (1) 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 . (2) 1 周 角 =2 平角 =4 直 角=360°； 1 平角 =2 直角 =180°； 1 直角 =90° α =90° 直角 90°<α <180° 钝角 α =180° 平角 α =360° 周角 知识点4.角的单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360等分，每一份就是1度的角， 记作1° ；把1度的角60等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角60等分，每一份叫作1 秒的角，记作 1″ . 2.角的换算 1 周角 =360°， 1 平角 =180°；1°=60′， 1 ′ = 60″， 1= () °， 1″= () ′； 1°=60′= 3 600″ ，1″= () ′= () °. 知识点5.方向角 1.方向角  用角度和方向表示方向的角 . 如图 4.2-4，与地面上的方向顺序相同 . 2. 方向角的描述  一般地，方向角是以测量点的第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动到目标方向线所形成的角 . 特殊方位角： (1) 东北方向为北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点6.角的大小比较 1. 观察法  当两个角相差很大时，可以通过直接观察比较大小 . 2. 度量法  用量角器先量出各角的度数 , 再按照角的度数比较大小 . 3. 叠合法  叠合法比较角的大小的方法也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把两个角的顶点及一条边重合，另一条边位于重合边的同侧，通过边的 位 置 关系比较角的大小 以 ∠ ABC 和∠ DEF 为例，把顶点 B 与顶点 E重 合， BA 与 ED重 合， 边 BC 与EF 位 于 BA(或ED)的 同 侧，通过 观 察 边 BC 与EF 的 位 置 关 系比 较 ∠ ABC 和∠ DEF 的大小 因为射线 EF 在 ∠ ABC 的内部，所以∠ ABC>∠ DEF 因为射线 BC 与EF 重 合， 所以∠ ABC=∠ DEF 因为射线 BC 在∠ DEF 的内部，所以∠ ABC< ∠ DEF 知识点7.角平分线 1. 定义及表示方法 方法 示例 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 若 OC 平分∠ AOB，则∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB， ∠ AOB=2 ∠ AOC=2 ∠ BOC. 反之，结合左图，如果角之间满足上面的数量关系也可以说明 OC 是∠ AOB 的平分线 2. 角的 n 等分线  如图 4.2-8 所示， 射线 OC， OD在∠ AOB 的内部， 如果∠ AOD= ∠ DOC=∠ COB， 那么射线 OC， OD 是 ∠ AOB 的三等分线 . 类似地， 从一个角的顶点出发，把这个角分成 n个相等的角的射线， 叫作这个角的 n 等分线 . 如四等分线、五等分线等 . 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】(1)， (2)，， (3)有7个：，，，，，，． 【知识点】角的概念理解 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型二、角的表示方法 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（   ） A．图中共有3个角 B．可以用表示 C．与是同一个角 D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法即可判断求解． 【详解】解：A、图中共有3个角、、，故选项A正确，不符合题意； B、不可以用表示，故选项B错误，符合题意； C、与是同一个角，该选项C正确，不符合题意； D、，该选项D正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    【答案】9 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【知识点】角的表示方法 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 题型三、角的分类 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【知识点】角的分类 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级上·江西上饶·期末）一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 【答案】3或4或5 【知识点】角的分类 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 9．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 【答案】锐角． 【知识点】角的分类 【分析】根据钝角的概念进行解答即可． 【详解】解：∵大于90°而小于180°的角叫钝角， ∴它的一半是锐角． 【点睛】本题考查的是角的概念，熟知锐角和钝角的定义是解答此题的关键． 题型四、画特殊角 10．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【知识点】画特殊角 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 11．作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【答案】作图见解析 【知识点】画特殊角 【分析】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角． 【详解】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【点睛】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键． 题型五、钟面角 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 【答案】D 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握角的度数及钟面角解题的关键． 根据钟面角，可知一个小时时针转一大格为，一小时分针转一周，9点整时，时针与分针成角，6点整时，时针与分针成角． 【详解】解;一个小时钟表的时针转，故A正确，不符合题意； 一个小时钟表的分针转一周，故B正确，不符合题意； 当9点整时，时针与分针成角，故C正确，不符合题意； 当6点整时，时针与分针成角，故D错误，符合题意． 故选：D． 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）下午5点时，时钟的时针与分针的夹角是 ． 【答案】 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角问题． 用乘以即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【知识点】钟面角 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 题型六、方向角的表示 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）一架客机从甲机场向着北偏东飞行了200公里到达乙机场，则该客机返回时应向（   ） A．南偏西方向飞行200公里 B．南偏东方向飞行200公里 C．西偏南方向飞行200公里 D．东偏南方向飞行200公里 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角． 根据位置的相对性：两地相互之间的方向相反，距离相等作答即可． 【详解】∵一架客机从甲机场向着北偏东飞行了200公里到达乙机场 ∴该客机返回时应向南偏西方向飞行200公里 故选：A 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 【答案】北偏东/被骗到30度 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查的是方向角的含义，掌握方向角的定义是解本题的关键．由方向角的定义即可得出结论． 【详解】解：射线表示的方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，A，B两处是我国在南海上的两个观测站．从A处发现它的北偏西方向有一艘轮船，同时，从B处发现这艘轮船在它的北偏西方向上．试在图中确定这艘轮船的位置C处（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】如图所示，点C即为所求 【知识点】方向角的表示 【分析】方法规律：方位角通常以正北、正南方向为基准线，配以偏东或偏西的角度描述具体的方向，表示两个方向的射线的交点，就是船的位置． 【详解】解：如图所示，点即为所求. 【点睛】本题主要考查方位角的相关知识，熟练掌握方位角的作法是解题的关键． 题型七、与方向角有关的计算题 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向， ∴， ∴， ∵轮船B在南偏东的方向， ∴， ∴． 故选：C． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方向是北偏东 ， ． 【答案】 /60度 /105度 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【详解】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 20．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 【答案】(1)射线的方向是北偏 (2) 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查与方向角有关的计算，熟练掌握方向角的定义，是解题的关键： （1）求出的度数即可得出结果； （2）利用平角的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏； （2）解：∵是的反向延长线，由（1）知：， ∴． 题型八、角的单位与角度制 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列换算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握是解题的关键． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题需根据度与分、度与秒的换算关系，对每个等式逐一进行验证. 【详解】解：①,等式正确； ②,等式正确； ③,等式正确； ④,故，等式错误. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了度分秒的换算，解题关键是牢记度、分、秒之间的进率，准确进行单位换算. 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列各角用度、分、秒表示出来： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角的单位与角度制 【分析】（1）乘以进行计算即可得解． （2）把小数部分，即可得解； （3）把小数部分，再，即可得解. 【详解】（1）解：． （2）． （3）． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决问题的关键是注意度分秒是进制进行计算即可，比较简单． 题型九、角的度数大小比较 24．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式． 将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 25．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查比较角的大小，根据角度制，将转化为度，分，秒的形式，进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 26．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵， ，， ∴，即最大， 题型十、角的比较 27．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的比较 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 28．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，大于的角有 个． 【答案】3 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较．观察图形，首先找出以为边的比大的角，再找出以为边的比大的角，最后找出最大的角是否比大，即可求解． 【详解】解：图中大于的角有，，，共3个； 故答案为：3． 29．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【答案】见解析 【知识点】角的比较 【分析】本题主要考查了角的关系，根据图中各个角之间的关系，进行解答即可． 【详解】解：根据图形可知：； ； ． 题型十一、三角板中角度计算问题 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了余角和补角，度、分、秒的换算．熟练掌握，，是解题的关键． 根据，代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 31．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 32．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误；②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【详解】（1）解：，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 题型十二、几何图形中角度计算问题 33．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的角为直角是解题的关键． 利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导三个角的数量关系． 【详解】如图， 正方形的每个角都是， ，， ， 又， ∴． 故选：C． 34．（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【详解】本题主要考查了角的计算；熟练掌握折叠重合的性质是解决问题的关键．由折叠重合可得，即可得出结果． 【分析】解：由折叠重合得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：。 35．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】根据已知求得的度数，然后根据即可求解． 【详解】 故的度数为. 【点睛】本题考查了角度的计算，正确求得的度数是关键． 题型十三、角度的四则运算 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，那么 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度制的计算，准确的计算是解决本题的关键． 根据角度制的运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算：1度分，即，1分秒，即． （1）先分别进行度、分的加法运算，然后利用60进位制转化； （2）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （3）先把化为，再分别进行度、分的减法运算； （4）原式进行乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十四、实际问题中角度计算问题 39．（2024·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 题型十五、角平分线的有关计算 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则平分 ，平分 ， ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据并结合角平分线的定义可得平分，平分，即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴平分，平分，， 故答案为：，，，． 43．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 题型十六、角n等分线的有关计算 44．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 45．已知，若，则的度数是 ． 【答案】25°或75° 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的度数；当OC在∠AOB中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数． 【详解】解：分两种情况考虑． 当OB在∠AOC中时，如图1所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°； 当OC在∠AOB中时，如图2所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°． 故答案为：75°或25°． 【点睛】本题考查了角的计算，分∠AOC＝∠AOB+∠BOC和∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC两种情况考虑是解题的关键． 46．已知＝，、是过点的射线，射线、分别平分和． （1）如图①，若、是的三等分线，求的度数； （2）如图②，若＝，，则＝________； （3）如图③，在内，若＝，则＝________． 【答案】（1）80º；（2）85º；（3） 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】（1）由题意易得＝＝＝，进而可得＝，＝，然后问题可求解； （2）由题意易得，，则有，进而可得＝，然后问题可求解； （3）由题意可得，则有＝，然后根据角的和差关系可求解． 【详解】解：（1）∵、是的三等分线， ∴＝＝＝， ∵射线、分别平分和， ∴＝，＝， ∴＝＝； （2）∵射线、分别平分和， ∴，， ∴， ∵＝，＝， ∴＝＝， ∴＝， ∴＝＝； 故答案为85°； （3）∵射线、分别平分和， ∴，， ∴， ∵＝，＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝＝； 故答案为． 【点评】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的性质． 题型十七、尺规作一个角等于已知角 47．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案． 【详解】解：用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是： 以点为圆心，线段长为半径画； 故选：C 48．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，用尺规作，使． 作法：①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ②作射线． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ⑤过点作射线． 就是所要作的角． 以上作法中，正确的顺序是 ．（请填写序号） 【答案】②④①③⑤ 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可． 【详解】解：根据题意得， 做法：②作射线， ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ⑤过点作射线． ∴正确的顺序是②④①③⑤． 故答案为：②④①③⑤． 49．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质是解题的关键． 要在上找一点，使得，可借助线段垂直平分线的性质构造等量关系： 作的垂直平分线，与交于点，利用垂直平分线性质得到，进而由等腰三角形“等边对等角”得到，再根据三角形外角性质，是的外角，等于与之和，即． 【详解】 解： 分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点， 过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，与相交于点，点即为所求． 理由如下：因为点在的垂直平分线上， 所以，根据等边对等角，可得， 又因为是的外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和， 所以． 强化训练 一、单选题 1．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 【详解】①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的分类的定义，掌握根据各类角的度数范围，判断角之间的数量关系及角的类型是解题的关键． 2．尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法即可判断求解，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】解：选项错误，应该以点为圆心，以的长为半径作弧，与已知的弧交于点， 故选：． 3．如图，下列说法正确的是（    ） ①OA的方向是东北方向；        ②OB的方向是北偏西； ③OC的方向是南偏西；    ④OD的方向是南偏东． A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了方位角．结合图形进行判断即可，解题的关键是根据图示找出正确的方位角． 【详解】解：①OA的方向是东北方向，说法正确； ②OB的方向是北偏西，说法正确； ③OC的方向是南偏西，说法正确； ④OD的方向是南偏东，说法错误． 故选：B ． 4．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 5．已知：，，，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算及大小比较．需将不同单位的角度统一为以度为单位的数，再进行比较． 【详解】解：， ∵， ∴ 故选：B． 6．时钟7：30的分针与时针夹角度数是（   ） A．55度 B．45度 C．35度 D．60度 【答案】B 【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答． 【详解】解∶ =30°+15° =45°， 即时钟7：30的分针与时针夹角度数是45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 7．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 8．如图，交于点O，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角定义，以及角平分线定义．根据平角、角平分线定义求得，结合求出，利用平角的定义求解，即可解题． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④．可以表示的余角的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；求出=90°即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④． 【详解】解：∵∠α与∠β互补， ∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β， ∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确； ∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确； （∠α+∠β）（180°﹣∠β+∠β）＝90°，∴③错误； （∠α﹣∠β）（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，关键是注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β． 二、填空题 10．比较大小： ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】根据度分秒之间的关系进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了角的度分秒计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 12．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从C岛看A，B两岛的视角等于 度． 【答案】30 【分析】根据C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，得到，，作差即可得到． 【详解】解：∵C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向， ∴，， ∴． 故答案为：30． 【点睛】此题考查了方向角，根据题意找出方向角是解题的关键． 13．小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 14．如图，将一副三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则（1） ，理由是 ；（2） ． 【答案】 同角的余角相等 180 【分析】根据同角的余角相等可得，根据即可求得． 【详解】，， ，理由是同角的余角相等， ， ， 故答案为：，同角的余角相等，180． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，三角尺的角度计算，掌握同角的余角相等是解题的关键． 15．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平角定义，角度的折叠问题，根据平角定义计算出，再根据折叠的性质得，即可求出结果．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 长方形纸片沿折叠后，点分别落在、的位置， ， ， 故答案为：． 16．如图，由尺规作．若，平分，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角的2倍，角的和差运算，角平分线的定义，先证明，求解，再结合角平分线的定义进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由作图可得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为： 17．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【详解】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与5相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 20．（1）通过学习我们知道，比较两个角的大小，有两种方法：方法：度量法，用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；方法：重叠法，把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定．如图，已知 ， ，请用重叠法，比较它们的大小．要求圆规和无刻度的直尺作出图形，并得出它们的大小关系．（保留做题痕迹，铅笔画图后，须再用黑色水笔把线条描清楚） （2）已知在同一平面内的两个角 ， ，若平分，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析，（2）或 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角的大小比较，角平分线的定义； （1）根据题意把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定； （2）分在的内部时，在的外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义，结合图形计算即可求解． 【详解】解：（1）如图： 把放在上，使和重合，边和重合，和在的同侧， 从图形可以看出包含， 即． （2）如图所示，当在的内部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 当在的外部时， ∵ ， ，平分，平分， ∴ 21．如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4，DB＝7． (1)求线段AB的长； (2)如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，∠MON＝，∠NOP＝（＜）．求∠AOB的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出DC的长，因为D是AC的中点，所以，求出AB即可； （2）根据M，N分别为AD，CB的中点，求出MD，CN的长，再求出MN的长即可； （3）用和表示出因为OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，可以表示出，，即可用和表示出∠AOB的大小． 【详解】（1）解：∵，DB＝7． ∴． ∵D是AC的中点，所以， ∴； （2）解：由（1）知：，因为M，N分别为AD，CB的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了线段中点的概念和两点间距离的计算，角平分线的定义和角的和与差的计算，利用线段的和差与角的和差进行计算是解答本题的关键． 22．如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 23．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 角（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.角的有关定义 2.角的表示方法 3.角的分类 4.角的单位换算 5.方向角 6.角的大小比较 7.角平分线 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、画特殊角 五、钟面角 六、方向角的表示 七、与方向角有关的计算题 八、角的单位与角度制 九、角的度数大小比较 十、角的比较 十一、三角板中角度计算问题 十二、几何图形中角度计算问题 十三、角度的四则运算 十四、实际问题中角度计算问题 十五、角平分线的有关计算 十六、角n等分线的有关计算 十七、尺规作一个角等于已知角 强化训练 单选题（9） 填空题（8） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.角的有关定义 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 知识点2.角的表示方法 1.角的几何符号：∠. 2.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 知识点3.角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 角的范围 角的名称 各种角之间的大小关系 0°<α <90° 锐角 (1) 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 . (2) 1 周 角 =2 平角 =4 直 角=360°； 1 平角 =2 直角 =180°； 1 直角 =90° α =90° 直角 90°<α <180° 钝角 α =180° 平角 α =360° 周角 知识点4.角的单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360等分，每一份就是1度的角， 记作1° ；把1度的角60等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角60等分，每一份叫作1 秒的角，记作 1″ . 2.角的换算 1 周角 =360°， 1 平角 =180°；1°=60′， 1 ′ = 60″， 1= () °， 1″= () ′； 1°=60′= 3 600″ ，1″= () ′= () °. 知识点5.方向角 1.方向角  用角度和方向表示方向的角 . 如图 4.2-4，与地面上的方向顺序相同 . 2. 方向角的描述  一般地，方向角是以测量点的第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动到目标方向线所形成的角 . 特殊方位角： (1) 东北方向为北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点6.角的大小比较 1. 观察法  当两个角相差很大时，可以通过直接观察比较大小 . 2. 度量法  用量角器先量出各角的度数 , 再按照角的度数比较大小 . 3. 叠合法  叠合法比较角的大小的方法也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把两个角的顶点及一条边重合，另一条边位于重合边的同侧，通过边的 位 置 关系比较角的大小 以 ∠ ABC 和∠ DEF 为例，把顶点 B 与顶点 E重 合， BA 与 ED重 合， 边 BC 与EF 位 于 BA(或ED)的 同 侧，通过 观 察 边 BC 与EF 的 位 置 关 系比 较 ∠ ABC 和∠ DEF 的大小 因为射线 EF 在 ∠ ABC 的内部，所以∠ ABC>∠ DEF 因为射线 BC 与EF 重 合， 所以∠ ABC=∠ DEF 因为射线 BC 在∠ DEF 的内部，所以∠ ABC< ∠ DEF 知识点7.角平分线 1. 定义及表示方法 方法 示例 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 若 OC 平分∠ AOB，则∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB， ∠ AOB=2 ∠ AOC=2 ∠ BOC. 反之，结合左图，如果角之间满足上面的数量关系也可以说明 OC 是∠ AOB 的平分线 2. 角的 n 等分线  如图 4.2-8 所示， 射线 OC， OD在∠ AOB 的内部， 如果∠ AOD= ∠ DOC=∠ COB， 那么射线 OC， OD 是 ∠ AOB 的三等分线 . 类似地， 从一个角的顶点出发，把这个角分成 n个相等的角的射线， 叫作这个角的 n 等分线 . 如四等分线、五等分线等 . 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 题型二、角的表示方法 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在内部作了一条射线，下列说法错误的是（   ） A．图中共有3个角 B．可以用表示 C．与是同一个角 D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有 个．    6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 题型三、角的分类 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 8．（24-25七年级上·江西上饶·期末）一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为 个． 9．一个角是钝角，它的一半是什么角？ 题型四、画特殊角 10．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 11．作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 题型五、钟面角 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）下午5点时，时钟的时针与分针的夹角是 ． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 题型六、方向角的表示 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）一架客机从甲机场向着北偏东飞行了200公里到达乙机场，则该客机返回时应向（   ） A．南偏西方向飞行200公里 B．南偏东方向飞行200公里 C．西偏南方向飞行200公里 D．东偏南方向飞行200公里 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，射线表示的方向是 ． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，A，B两处是我国在南海上的两个观测站．从A处发现它的北偏西方向有一艘轮船，同时，从B处发现这艘轮船在它的北偏西方向上．试在图中确定这艘轮船的位置C处（保留画图痕迹，不写画法）． 题型七、与方向角有关的计算题 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）在灯塔 O处观测到轮船A位于北偏西 的方向，同时轮船B在南偏东的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，方向是北偏东 ， ． 20．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的反向延长线，在的内部，且． (1)求出射线的方向； (2)直接写出的度数． 题型八、角的单位与角度制 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列换算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列各角用度、分、秒表示出来： (1)． (2)． (3)． 题型九、角的度数大小比较 24．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·新疆阿克苏·期末）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 26．（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 题型十、角的比较 27．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 28．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，大于的角有 个． 29．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 题型十一、三角板中角度计算问题 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 32．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 题型十二、几何图形中角度计算问题 33．（24-25七年级上·湖南永州·期末）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 35．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，．求的度数． 题型十三、角度的四则运算 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，那么 ． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四、实际问题中角度计算问题 39．（2024·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ． 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 题型十五、角平分线的有关计算 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则平分 ，平分 ， ． 43．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 题型十六、角n等分线的有关计算 44．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 45．已知，若，则的度数是 ． 46．已知＝，、是过点的射线，射线、分别平分和． （1）如图①，若、是的三等分线，求的度数； （2）如图②，若＝，，则＝________； （3）如图③，在内，若＝，则＝________． 题型十七、尺规作一个角等于已知角 47．（2025·贵州六盘水·二模）如图，用尺规作射线平行，关于作法正确的描述是（   ） A．以点为圆心，线段长为半径 B．以点为圆心，线段长为半径 C．以点为圆心，线段长为半径 D．以点G为圆心，线段长为半径 48．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，用尺规作，使． 作法：①以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点． ②作射线． ③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点． ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． ⑤过点作射线． 就是所要作的角． 以上作法中，正确的顺序是 ．（请填写序号） 49．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 强化训练 一、单选题 1．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．尺规作图：作，如图，下列作图过程中，错误的是（    ）    A．作射线 B．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点 C．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点 D．以点为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点 3．如图，下列说法正确的是（    ） ①OA的方向是东北方向；        ②OB的方向是北偏西； ③OC的方向是南偏西；    ④OD的方向是南偏东． A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④ 4．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 5．已知：，，，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 6．时钟7：30的分针与时针夹角度数是（   ） A．55度 B．45度 C．35度 D．60度 7．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 8．如图，交于点O，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④．可以表示的余角的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 10．比较大小： ．(填“”“”或“”) 11．计算： ． 12．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从C岛看A，B两岛的视角等于 度． 13．小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 14．如图，将一副三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则（1） ，理由是 ；（2） ． 15．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 16．如图，由尺规作．若，平分，则 度． 17．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 20．（1）通过学习我们知道，比较两个角的大小，有两种方法：方法：度量法，用量角器测量两个角的大小，角度大的角大；方法：重叠法，把两个角的顶点和其中一条边重合，看另一条边的情况来确定．如图，已知 ， ，请用重叠法，比较它们的大小．要求圆规和无刻度的直尺作出图形，并得出它们的大小关系．（保留做题痕迹，铅笔画图后，须再用黑色水笔把线条描清楚） （2）已知在同一平面内的两个角 ， ，若平分，平分，求的度数． 21．如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4，DB＝7． (1)求线段AB的长； (2)如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，∠MON＝，∠NOP＝（＜）．求∠AOB的大小． 22．如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 23．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $