精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学（理科）试题

新蔡一高2025-2026学年上学期11月月考 高二数学试题（理科） 一、选择题 1. 已知点 在平面 内，并且对于空间中不在平面ABC上的任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 11. 已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积是平行六面体的体积的 三、填空题 12. ，，，则________． 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 14. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 四、解答题 15. 已知的顶点坐标为. （1）若顶点，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若顶点在轴上，且的面积为8，求顶点的坐标. 16. 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 17. 已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，，侧面是等边三角形，平面平面，在线段上. （1）若为的中点，求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值 （3）若与所成角的正弦值为，求 19. 已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． （1）求C的方程． （2）M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年上学期11月月考 高二数学试题（理科） 一、选择题 1. 已知点 在平面 内，并且对于空间中不在平面ABC上的任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求解即可. 【详解】因为四点共面，且， 所以，解得. 故选：D 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 5. 已知点，，，圆，一条光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于直线的对称可得，即可根据三角形三边关系结合共线求解. 【详解】直线方程为，即， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 故， 圆心为，半径为，故， 因此过经过反射在处，由于， 故光线从点发出，经直线反射到圆上的最短路程为， 故选：B 6. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知得，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求渐近线. 【详解】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得A为圆任意一点，设圆的圆心为M，从而得到为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解． 【详解】由，则， 又，且A为线段中点，则， 所以A为圆任意一点， 设圆的圆心为M，则， 又，所以圆O与圆M相离， 所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离， 所以， ， 所以的取值范围为． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：依题意得的几何意义为圆与圆这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键． 8. 已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 二、多选题 9. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】直线方向向量的定义、平行线间距离公式，结合互相垂直两直线的性质、正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：直线的方向如果是，它的斜率为， ，所以直线的斜率为，因此选项不正确； B：， 所以直线与直线之间的距离为，因此选项正确； C：因为直线与直线相互垂直， 所以有，或，因此选项正确； D：由直线的方程可知该直线的斜率为， 因为，所以， 设直线的倾斜角为，则有， 解得，或，所以选项不正确， 故选：BC 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D. 【详解】由题意可知，， 故，故两圆相交，公切线有2条，A正确， 与圆相减可得， 故直线方程为，B正确， 到直线的距离为，故，故C错误， 可看作是圆上的一个点到点的距离的平方， 故最大值为，则的最大值为，D错误， 故选：AB 11. 已知平行六面体的各棱长均为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥的体积是平行六面体的体积的 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间基底来表示空间向量，利用向量的数量积运算可判断AB，利用线线垂直证明线面垂直和面面垂直，可得线面角的平面角，再用余弦定理可求角，来判断C，利用锥体的体积公式和柱体的体积公式求解即可判断D. 【详解】以为空间向量的基底来表示空间向量： ， 因为 所以，故B正确； 又由， 则，故A正确； 由底面是菱形，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 因为平面，平面平面， 所以直线与平面所成的角就是， 利用的菱形可得：， 再由余弦定理得：， 则，故C正确； 设平行六面体的高为，则三棱锥的体积为， 而平行六面体的体积为， 所以三棱锥的体积是平行六面体的体积的，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12. ，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】，解得，故， 故答案为： 13. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 14. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】如图所示： 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 四、解答题 15. 已知的顶点坐标为. （1）若顶点，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若顶点在轴上，且的面积为8，求顶点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，利用两线垂直求出边上的高的斜率，由点斜式方程即可求得答案； （2）设，求出和点到直线的距离，根据的面积列出方程，求解即得. 【小问1详解】 由，可得直线的斜率为， 则的边上的高所在直线的斜率为，该线又经过点， 由点斜式方程可得：，即， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 依题意，设，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且， 则的面积为， 解得或，即顶点的坐标为或. 16. 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）3； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. 【小问2详解】 由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 17. 已知圆分别与，轴的正半轴交于，两点，为圆上的动点（异于，两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） 设，则， 直线方程是：，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值. 【解析】 【分析】（1）设点，，根据向量运算公式可得，代入圆的方程，可得轨迹方程； （2）根据，方程确定，，结合两点间距离公式化简可得证. 【小问1详解】 由已知，， 设，， 则，， 则，即， 则，即， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，，侧面是等边三角形，平面平面，在线段上. （1）若为的中点，求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值 （3）若与所成角的正弦值为，求 【答案】（1） 连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，可得，可证结论； （2）取的中点，的中点，连接，可证，，，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和底面的一个法向量，利用向量法可求得侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）设，求得平面的一个法向量，利用向量法可得，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 因为三角形是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以侧面与底面所成二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，由（2）可得， 所以， 所以， 又， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为，与所成角的正弦值为 所以， 所以，所以， 所以，解得， 所以. 19. 已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． （1）求C的方程． （2）M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2） （i）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 【解析】 【分析】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明；（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【小问1详解】 因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $