专题03 幂函数及函数模型11大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题03 幂函数及函数模型11大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂函数的辨析 1 题型二、求幂函数的函数值、解析式 1 题型三、幂函数的定义域问题。 1 题型四、幂函数的值域问题 2 题型五、幂函数的图象（重） 2 题型六、幂函数的单调性问题（重） 3 题型七、比较幂值的大小 4 题型八、利用幂函数的性质解不等式（重） 4 题型九、指数函数模型（重） 5 题型十、对数函数模型（重） 6 题型十一、指对幂函数速度的比较 7 B 综合攻坚・能力跃升 8 题型一、幂函数的辨析 1．“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 2．已知幂函数，则 . 3．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 4．已知幂函数是偶函数，则 . 题型二、求幂函数的函数值、解析式 5．已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 7．已知幂函数过点，则为 . 8．已知为幂函数，且，则 ． 题型三、幂函数的定义域问题 9．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．设，则 . 11．已知幂函数的定义域是，则 ． 12．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 13．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四、幂函数的值域问题 14．函数的值域为 . 15．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．函数的值域为 . 17．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 18．已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 题型五、幂函数的图象 19．函数的图象恒过点 . 20．（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 22．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 23．已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 24．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 题型六、幂函数的单调性问题 25．（025-2026学年高一上学期期中联考数学试题）已知幂函数的图象经过点，则函数为（　　） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 26．幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 27．已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 28．幂函数在区间上单调递增，则等于 . 29．若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 题型七、比较幂值的大小 30．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 31．设，，，则（    ） A． B． C． D． 32．已知，则（    ） A． B． C． D． 33．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型八、利用幂函数的性质解不等式 35．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 39．已知幂函数的图象过点. (1)求的表达式，并写出其单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 题型九、指数函数模型 40．宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 41．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（   ） A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B．时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 42．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去（假设细胞在一个月内不会死亡）．细胞总数超过个所用时间为（   ） （时间精确到个位．参考数据：，）． A．30小时 B．40小时 C．45小时 D．46小时 43．在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为 ．（保留两位有效数字） 参考数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135 题型十、对数函数模型 44．地震时释放出的能量（单位：尔格，1尔格焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若第一次地震的里氏震级比第二次高4级，则第一次地震释放出的能量是第二次的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 45．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定：．一场演唱会的声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 46．在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 47．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、指对幂函数速度的比较 48．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 49．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 一、单选题 1．已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（多选）如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则（    ）    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 5．（多选）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知函数则使不等式成立的的取值范围是 . 8．设是实数，集合.若有且仅有两个元素，则 . 9．已知函数，若，则的最大值为 . 10．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题 11．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 12．已知幂函数，且在上单调递减. (1)求的解析式. (2)若在上恒成立，求的取值范围. (3)是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂函数及函数模型11大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、幂函数的辨析 1 题型二、求幂函数的函数值、解析式 1 题型三、幂函数的定义域问题。 2 题型四、幂函数的值域问题 3 题型五、幂函数的图象（重） 4 题型六、幂函数的单调性问题（重） 6 题型七、比较幂值的大小 8 题型八、利用幂函数的性质解不等式（重） 10 题型九、指数函数模型（重） 12 题型十、对数函数模型（重） 14 题型十一、指对幂函数速度的比较 16 B 综合攻坚・能力跃升 19 题型一、幂函数的辨析 1．“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 2．已知幂函数，则 . 【答案】 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 3．有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【答案】④⑤ 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 4．已知幂函数是偶函数，则 . 【答案】1 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意； 当时，不是偶函数，不符合题意. 故答案为：1 题型二、求幂函数的函数值、解析式 5．已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设则，解得. 故选：D 6．（北京市通州区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【详解】设，则，解得，所以. 故答案为： 7．已知幂函数过点，则为 . 【答案】3 【详解】由题意. 故答案为：3 8．已知为幂函数，且，则 ． 【答案】 【详解】设幂函数,因为, 即, 所以, 即, 所以, 所以, 故答案为：. 题型三、幂函数的定义域问题 9．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 故选：B 10．设，则 . 【答案】 【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以. 对于函数，因为对于任意都成立，所以. 因为，，所以. 故答案为：. 11．已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 12．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 13．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 题型四、幂函数的值域问题 14．函数的值域为 . 【答案】 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 15．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 16．函数的值域为 . 【答案】 【详解】解：当时，单调递减，所以函数的值域为， 当时，单调递增，所以函数的值域为， 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 17．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 18．已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 题型五、幂函数的图象 19．函数的图象恒过点 . 【答案】 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 20．（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为时，，， 故选：BCD. 21．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 22．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 23．已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【详解】由题意或1. 故选：D. 24．如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 题型六、幂函数的单调性问题 25．（025-2026学年高一上学期期中联考数学试题）已知幂函数的图象经过点，则函数为（　　） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增． 故选：A 26．幂函数在区间上单调递增，则的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．或-3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，则， 解得或3， 又因为在区间上单调递增，则， 综上， 故选：B. 27．已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 28．幂函数在区间上单调递增，则等于 . 【答案】 【详解】因为函数是幂函数， 所以，所以或， 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意； 则. 故答案为：. 29．若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则；且，即． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：. 题型七、比较幂值的大小 30．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上单调递增，则； 函数在上单调递减，， 所以. 故选：B 31．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为上的减函数， 又，所以，故， 因为函数在上单调递增，又， 所以，故， 综上. 故选：D. 32．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由幂函数单调性可知，， 由指数函数单调性可知，. 综上所述，所以. 故选：B 33．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以等价于， 因为幂函数在和上单调递减且时，，时， 所以等价于或或， 当，时， 但不能推出或或， 所以充分性不成立， 当，时，但不能推出， 所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 34．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A 题型八、利用幂函数的性质解不等式 35．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为幂函数可知： 或3， 又，即在单调递减，故， 或或， 即. 故选：D. 36．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在单调递减， 所以由可得，解得， 故选：C. 37．已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于函数的定义域为， 且，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则由，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 38．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 39．已知幂函数的图象过点. (1)求的表达式，并写出其单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递减区间为和，无单调递增区间 (2) 【分析】 【详解】（1）设，代入，则，解得， 所以，单调递减区间为和，无单调递增区间； （2）由可知，又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 题型九、指数函数模型 40．宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（    ） A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 【答案】C 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 41．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（   ） A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B．时，浮萍面积就会超过 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则 【答案】D 【详解】由图可得：函数过点， 则，解得，即. 对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误； 对于选项B：若时，则， 所以浮萍面积不会超过，故B错误； 对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加， 即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误； 对于选项D：由题意可得：，则， 所以，故D正确. 故选：D. 42．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去（假设细胞在一个月内不会死亡）．细胞总数超过个所用时间为（   ） （时间精确到个位．参考数据：，）． A．30小时 B．40小时 C．45小时 D．46小时 【答案】D 【详解】不妨列举小时后细胞个数分别如下： 1小时后， 2小时后, 3小时后， 假设小时后可超过个，则依题意可有， 取对数得， 解之得，故D正确. 故选：D 43．在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为 ．（保留两位有效数字） 参考数 2 3 5 7 11 13 17 19 23 0.693 1.099 1.609 1.945 2.398 2.565 2.833 2.944 3.135 【答案】 【详解】由题意，，，则， 因此，整理得， 解得或（舍）， 因此，解得. 所以大草履虫种群的比增长率约为. 故答案为： 题型十、对数函数模型 44．地震时释放出的能量（单位：尔格，1尔格焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若第一次地震的里氏震级比第二次高4级，则第一次地震释放出的能量是第二次的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【详解】设第一次和第二次地震的里氏震级分别为、，释放的能量分别为、，由题意得， 则，所以， 即第一次地震释放出的能量是第二次的倍. 故选：C. 45．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定：．一场演唱会的声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】B 【详解】由题可得，且， 则，， 故选：B. 46．在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，且， 则，故C正确. 故选：C. 47．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于：由题意得，可得， 所以，所以， ，可得， 所以，所以， 所以，故错误； 对于：，故正确、错误. 故选：C. 题型十一、指对幂函数速度的比较 48．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 49．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出与的图象如图所示， 则对数函数与一次函数交于点， 所以的图象位于的图象下方时的取值范围为． 故选：A. 50．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【分析】 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 一、单选题 1．已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 2．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以. 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 3．已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则， 设，易知函数在上单调递增，且， 则函数为奇函数， 则原不等式即为，即， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 二、多选题 4．（多选）如图，一座小岛与海岸线上的点距离最近，最近距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇．假设一个人先从小岛驾驶小船到海岸上，再步行去城镇，驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸线处距点的距离，表示他驾驶小船的行驶距离．设，，则（    ）    A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 【答案】BD 【详解】对于A，由，单调递增，可得， ，则在上单调递减； 对于B，，所以 ； 对于C，由B可得， 当且仅当时，取等号，此时，即； 对于D，当时，，， 即． 故选：BD. 5．（多选）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 6．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题 7．已知函数则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，， 因为当时，在上单调递增， 所以，解得：， 若，，则， 由可得：，即， 解得：，又因为，所以. 故使不等式成立的的取值范围是：. 故答案为：. 8．设是实数，集合.若有且仅有两个元素，则 . 【答案】 【详解】幂函数，其定义域为，在上单调递减，且图象在第一、二象限，关于轴对称. 幂函数，其定义域为，在上单调递增，图象过原点和一三象限且关于原点对称. 幂函数，其定义域为，在上单调递增，图象过原点和第一象限. 因为，且有且仅有两个元素， 所以幂函数与的图象有两个交点. 由上，与或的图象均只有一个交点为，不满足有且仅有两个元素， 与的图象有两个交点和满足有且仅有两个元素. 由上述分析可知，当，的组合为和时，满足有且仅有两个元素. 所以. 故答案为：. 9．已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 10．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由和在上都是单调递增，知在上单调递增， 又，则为奇函数． 由，得，即，即有，解得． 故答案为： 四、解答题 11．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， （2）由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 12．已知幂函数，且在上单调递减. (1)求的解析式. (2)若在上恒成立，求的取值范围. (3)是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为是幂函数，所以，则或. 又因为在上单调递减，所以，故. 所以函数的解析式为 （2）由，可得. 因为与均在上单调递减， 所以在上单调递减， 则，所以的取值范围为. （3）因为在上单调递减， 若存在实数，使得当时，的值域为， 则，即， 即，是方程的两个不相等的正根， 则， 解得. 故存在，且的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $