第四章 探究课1 探究“对勾”函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件围绕“对勾”函数的图象与性质展开，从幂函数运算类比引入新函数，通过计算机软件绘制图象，以f(x)=x+1/x为基础，逐步探究f(x)=x+a/x（a>0及a<0）的性质，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以数学眼光发现函数研究新对象，通过典例与对点训练的严谨证明（如单调性定义法推导）和分类探究，培养数学思维与表达能力。学生能提升逻辑推理与探究能力，教师可依托结构化内容实施高效探究教学。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质时 1．“对勾”函数f (x)＝x＋的图象 学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f (x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图． 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质 2．“对勾”函数f (x)＝x＋的性质 (1)定义域：∵x≠0， ∴函数f (x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：函数f (x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质 (3)奇偶性：∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)，∴函数f (x)＝x＋为奇函数． (4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在 (－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，在[－1，0)，(0，1]上单调递减． 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质 【典例】　试探究函数f (x)＝x＋(a＞0)的性质，并画出它的简图． [解]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)奇偶性：奇函数． (4)单调性：函数f (x)＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0，]上为减函数． 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质 证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)． 因为0＜x1＜x2≤， 所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜a， 所以＞1，所以1－＜0， 所以f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)． 所以f (x)在(0，]上为减函数． 任取x1，x2∈[，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)． 因为x1－x2＜0，x1x2＞a， 所以＜1，所以1－＞0， 所以f (x1)－f (x2)＜0，所以f (x1)＜f (x2)， 所以f (x)在[，＋∞)上为增函数． 同理，f (x)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数． 其图象如图所示． 试探究函数f (x)＝x＋(a＜0)的性质，并画出它的简图． [解]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：R． (3)奇偶性：奇函数． (4)函数f (x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． 探究课1　探究“对勾”函数的图象与性质 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋ ＝(x1－x2)， 因为0＜x1＜x2， 所以x1－x2＜0， 又a＜0， 所以1－＞0， 所以f (x1)－f (x2)＜0， 即f (x1)＜f (x2)， 所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 同理可知，函数f (x)在区间(－∞，0)上单调递增． 其简图如图所示． $