专题02 指数型及对数型复合函数（高效培优专项训练）数学人教B版2019高一必修第二册

专题02 指数型及对数型复合函数 题型一：对数型复合函数的定义域 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用单调性比较大小 题型五：利用单调性解不等式 题型六：求值域 题型七：已知值域求参数 题型八：零点问题 题型九：恒成立问题 题型十：新定义问题 题型一：对数型复合函数的定义域 1．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 2．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】对于函数，则有，又，所以， 所以，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 3．函数的定义域为 【答案】 【详解】由题，可得，等价于，解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使有意义， 只需：， 即：， 解得： 或 . 故答案为： 题型二：求单调区间 5．若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 【答案】 【详解】由题意可得且， 由函数在上单调递减，则有， 解得，即， 因函数在上单调递减， 令，解得或， 由在上单调递减，在上单调递增， 故函数的递增区间为. 故答案为：. 6．函数单调递减区间是 ；值域为 ． 【答案】 【详解】令， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：；. 7．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 8．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】先求函数的定义域即，解得， 根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间即求函数在上的单调减区间， 而函数在上的单调递减区间为，故函数的单调递增区间为. 故答案为： 9．设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】D 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为，关于原点对称， 而， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 当时，， 则函数在上单调递增，故B错误； 当时，， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. 10．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 题型三：已知单调性求参数 11．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得． 故选：A． 12．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的定义域为在区间上单调递增， 因为根据外函数是指数函数单调递增，所以内函数在区间上单调递增， 显然， ①当时，在和上单调递增，所以， 则． ②当时，在和上单调递减，不符合题意． 综上，实数的取值范围为． 故选：A． 14．函数在区间单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设 由复合函数单调性可知：若在区间上单调递减， 则在上单调递减且在上恒成立， ，解得：，即的取值范围为. 故选：C. 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 16．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，在上单调递增，且在上恒成立， 则，解得． 故答案为： 题型四：利用单调性比较大小 17．已知函数为增函数，记，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为增函数，由复合函数的单调性的判定方法，可得为增函数， 令，即，解得， 令，即，解得或， 令，即，解得， 如图所示， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 结合选项，可得C不可能成立. 故选；C.    18．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 所以， 当时，， 令， 所以函数在上单调递增，而在上也单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，， 所以， 所以，即. 故选：D 19．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 20．函数，若，，，则a，b，c的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 函数定义域为，，函数为偶函数， 当时，，且在上单调递增， 在上单调递增，故在上单调递增， ，，，故. 故选：D. 21．已知，，则M，N的大小关系为 ． 【答案】 【详解】令， 显然是R上的减函数，∴，即. 故答案为：. 题型五：利用单调性解不等式 22．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. 23．设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． 24．定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则， 又由在上单调递增，且， 则在上为增函数，且， 则在区间上，在区间上， 在区间上，在区间上， 不等式或， 所以或， 所以或， 所以或， 解得：或或 即不等式的解集为 故选：D. 25．已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 26．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】， 的定义域为，，所以函数是偶函数． 令，取， 则， 因为，在R上单调递增， 所以，故， 所以，故在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递增， 所以不等式， 等价于，两边平方得，， 解得． 故答案为： 27．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 题型六：求值域 28．函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【详解】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 29．函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 可知函数的值域为， 又因为在定义域内单调递减，则， 且，所以函数的值域为. 故答案为：. 30．函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 31．求函数的值域. 【答案】 【详解】因，设，则，， 再设，则，且，， 当时，； 当时，， 当时，因，则； 当时，，则，当且仅当时取等号故. 综上可得：函数的值域为. 32．函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 33．若，求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令， 所以的值域为. （2）令， 所以的值域为. （3）令， 所以的值域为. 题型七：已知值域求参数 34．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 35．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 36．已知函数的值域为，则实数的值为 . 【答案】1 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 37．已知的最小值为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 38．已知函数是奇函数，当时，其值域为，求的值． 【答案】 【详解】由函数是奇函数，得对定义域内任意的恒成立， 即对定义域内任意的恒成立， 则，即对定义域内任意的恒成立，因此，解得， 当时，，函数无意义；当时，，符合题意，则， 函数，由，得，且， 函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，当时，函数的值域为， 于是，即，则， 整理得，又，解得， 所以. 39．设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 题型八：零点问题 40．已知，则函数的零点个数是 . 【答案】6 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 41．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由解得或， 构造函数， 在上单调递减，， ，所以存在唯一零点， 所以对于，有唯一解. 令， 得或或， 得或或， 时，， 画出的大致图象如下图所示， 由图可知，函数的零点个数是. 故选：C    【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由求得函数的零点. 零点存在性定理法即利用来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断函数的零点. 42．已知则函数的零点个数是 ． 【答案】7 【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或． 作出函数的图像，如图所示． 由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点． 因此函数的零点有7个． 故答案为：7 43．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 【答案】B 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 题型九：恒成立问题 44．若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 45．已知对恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以由指数函数的单调性得， 函数在上单调递增， 又因为，且，所以函数在上单调递增； 所以当时，函数取最大值，最大值为， 所以，即，所以， 解得，即， 所以，解得或； 而，故. 故的取值范围为. 故答案为：. 46．函数，若，恒成立.则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】令 当时，的最小值为， 因为，恒成立. 所以， 即，解得， 因为，所以，所以； 当时，的最小值为， 因为，恒成立. 所以， 即，解得，所以. 综上：a的取值范围为： 故答案为：. 47．已知函数. (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明） (2)如果，求的取值范围； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义域为在上单调递增. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， 又为增函数，故在上单调递增； （2）因为的定义域为，且是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是； （3）因为等价于对任意恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 48．已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）是偶函数，，即， 即，而， ． （2），， ，又，， 而对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当，，， ，， ，令，， 而在上单调递增，在上单调递减， 的取值范围是． 49．已知函数，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【详解】， 当时，其图象是一条线段， ∵当时，恒成立，∴，得 则，解得． 题型十：新定义问题 50．对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当是定义在上的伪偶函数时， 则存在非零实数满足，即有解， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，其中． 又因为，所以，即. 故选：B 51．定义一种新的运算“”：，，都有． (1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系； (2)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵，，， ∴， ， ∴. （2）由题意得，， 若对任意的，总存在，使得， 则在R上的值域是函数在上的值域的子集 设，， 令，，则， ∴，∴ 设在上的值域为A，则， ∵，当且仅当时取等号， ∴，设在R上的值域为B，则， ∵，∴， ∴，∴，且， 解得且，即m的取值范围为. 52．定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）因为. 所以. ， ， 所以. （2） ， 令，则问题转化为二次函数在区间上有最小值，且最小值大于0， 因为二次函数过定点， 故只需 解得，而是整数，所以. （3）由题意，不等式， 即，即， 即， 要想满足题意，则必有，则，或.① 令，则， 所以的一个零点在内， 因为解集中的整数恰有4个， 所以4个整数解是， 故的另一个零点在区间内. 所以即② 由①②解得，或. 所以实数的取值范围是或. 53．若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用． (1)若，试判断是否为“2距”增函数； (2)假设函数为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 故，即函数是“2距”增函数． （2）因为， 即， 所以对任意都成立， 故对任意都成立， 则易得． ①当时，判断在上单调递增， 所以． ②当时，任取，且， 令，则 由，得， ，即，，即， 在上单调递增，． ③当时，由，得， ，即，，即， 在上单调递减，同理可证在上单调递增， ． 综上所述，． 54．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质；①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数；）.利用上述性质解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)已知，记函数，当时，总有，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由性质③知，所以， 由性质②知，，， 所以，即， 解得，. 因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意. （2）函数，设， 由性质①，在是增函数知， 当时， 所以原函数即，， ，即，设， （法一）， 由对勾函数与反比例函数的性质可知，单调递减， 所以， 即的最小值为，当且仅当时取到最小值. （法二）设，则，， 所以 而由对勾函数性质知在递增， 所以当时，，故， 此时，即， 即的最小值为，当且仅当时取到最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数型及对数型复合函数 题型一：对数型复合函数的定义域 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性求参数 题型四：利用单调性比较大小 题型五：利用单调性解不等式 题型六：求值域 题型七：已知值域求参数 题型八：零点问题 题型九：恒成立问题 题型十：新定义问题 题型一：对数型复合函数的定义域 1．函数的定义域是 ． 2．函数的定义域是 . 3．函数的定义域为 4．函数的定义域为 ． 题型二：求单调区间 5．若函数在上单调递减，则函数的递增区间是 . 6．函数单调递减区间是 ；值域为 ． 7．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间为 ． 9．设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 10．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 题型三：已知单调性求参数 11．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．函数在区间单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 16．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 题型四：利用单调性比较大小 17．已知函数为增函数，记，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．函数，若，，，则a，b，c的大小关系（    ） A． B． C． D． 21．已知，，则M，N的大小关系为 ． 题型五：利用单调性解不等式 22．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 23．设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．定义在上的奇函数在上单调递增，且则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，则不等式的解集 . 26．已知函数，则不等式的解集为 ． 27．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 题型六：求值域 28．函数（    ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 29．函数的值域为 . 30．函数的定义域为 ，值域为 . 31．求函数的值域. 32．函数，当时，求该函数的值域. 33．若，求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 题型七：已知值域求参数 34．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 36．已知函数的值域为，则实数的值为 . 37．已知的最小值为，则的取值范围为 ． 38．已知函数是奇函数，当时，其值域为，求的值． 39．设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 题型八：零点问题 40．已知，则函数的零点个数是 . 41．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 42．已知则函数的零点个数是 ． 43．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 题型九：恒成立问题 44．若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．已知对恒成立，则的取值范围为 . 46．函数，若，恒成立.则a的取值范围为 . 47．已知函数. (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明） (2)如果，求的取值范围； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 48．已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 49．已知函数，当时，恒成立，求的取值范围． 题型十：新定义问题 50．对于函数，若在定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．若存在实数使得是定义在上的伪偶函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 51．定义一种新的运算“”：，，都有． (1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系； (2)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 52．定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 53．若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用． (1)若，试判断是否为“2距”增函数； (2)假设函数为“2距”增函数，求的最小值． 54．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质；①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数；）.利用上述性质解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)已知，记函数，当时，总有，求的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $