精品解析：江苏省盐城市东台市 第五教育联盟2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025秋学期期中考试九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，排除； B. 右边为分式，不是整式方程，排除； C. 整理为 ，是只含未知数的整式方程，且最高次数为2，符合定义； D. 化简后为 ，是一元一次方程，排除； 故选：C． 2. 某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（　　） A. 平均数是92 B. 中位数是90 C. 众数是92 D. 极差是7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数以及极差的定义、计算公式对各选项进行判断． 【详解】解：A．这组数据的平均分×（85+90+92+92+96）＝91分，所以A选项错误； B、这组数据按从小到大排列为：85、90、92、92、96，所以这组数据的中位数为92（分），所以B选项错误； C、这组数据的众数为92（分），所以C选项正确； D．这组数据极差是96﹣85＝11，所以D选项错误； 故选C． 【点睛】本题查平均数，中位数，众数以及极差，解题关键是正确熟练运用公式． 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3得到直线l与⊙O相交，即可判断出直线l与⊙O有两个公共点． 【详解】解：∵⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个公共点． 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键．当d＞r时，直线与圆相离，没有公共点，当d=r时，直线与圆相切，有一个公共点，当d＜r时，直线与圆相交，有两个公共点． 4. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为 ，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵2、3月的总营业额为1000万元， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键． 5. 小李的旅行箱密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用．最后一个数字可能是中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算是解题的关键． 【详解】根据题意可知总共有种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有 种，所以一次就能打开该密码概率为：， 故答案选C． 6. 以 为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的 刻度线与斜边重合．点 为斜边上一点，作射线 交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ， 点所对应的读数为， ， 为直径， ， 点 在 上， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 7. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为．根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为：， ∴点A到对称轴的距离为：， 点B到对称轴的距离为：， 点C到对称轴的距离为：， ∵， ∴该函数图象开口向上， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 8. 如图，在矩形 中， ，，、、 分别与 相切于、 、 三点，过点 作 的切线交 于点 ，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接 ，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接 ，，，，如图所示， 在矩形 中， ∵，， ∵，， 分别与 相切于， ， 三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是 的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知关于 的一元二次方程的一个根是 ，求方程的另一根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，由已知根和常数项可求另一根． 【详解】解：设方程的另一根为，则，则， 故答案为：． 10. 某招聘考试分笔试和面试两项，笔试按、面试按计算总成绩．若小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则小明的总成绩是____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，将笔试成绩和面试成绩分别乘以对应的权重，然后求和得到总成绩． 【详解】解：， ∴小明的总成绩是87分， 故答案为：87． 11. 设 是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 13. 如图，正五边形内接于 ，点F在劣弧上，则的度数为 _____°． 【答案】72 【解析】 【分析】先求得正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正五边形内接于 ， ∴， ∵四边形是 内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：72． 【点睛】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 14. 学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 15. 抛物线，当时，的最小值是 _____，的最大值是 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， ∵， ∴若，当 时，函数取最小值， 将 代入，得， ∴的最小值为，最大值为3． 故答案为：，3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 16. 如图， 是半径为 的的弦，将弧 沿 将翻折后，恰好经过圆心 ，点 是翻折的弧 上的一动点；连接并延长交于C，点 为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接 、 ，，，作于点 ，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接 、 ，，，作于点 ， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵ 为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得： 为 中点， 在中，为斜边 上的中线， ∴， ∵， ∴当 、 、 三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于 的方程，最后利用 的范围确定 的值． 【小问1详解】 解：根据题意得 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 ；⊙P的半径为 ； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】（1）图见解析，， （2）点N在上 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了确定圆心，点与圆的位置关系，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，圆锥的侧面积计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点画出 和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，再由圆锥侧面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵P，， ∴， ∴的长等于的半径， ∴点N在上； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴该圆锥的侧面积为． 21. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）填表见解析；（2）理由见解析；（3）变小． 【解析】 【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解： （2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. （3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小． 【详解】解：（1）根据数据可得：甲的众数为8， 乙的平均数=（5+9+7+10+9）=8， 将乙的数据重新排序为：5，7，9，9，10 乙的中位数为9； 故填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变， 则乙的方差为， 所以乙的射击成绩的方差变小． 【点睛】题目主要考查众数、平均数和中位数的求法，利用方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键． 22. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）不经过，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，求二次函数的顶点坐标和对称轴，求二次函数的函数值等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：新抛物线不经过，理由如下： 把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴新抛物线不经过． 23. 如图，为 的直径，点 是 上一点，点 是 外一点，，连接 交 于点． （1）求证： 是 的切线． （2）若，求 的长度． 【答案】（1） 证明：连接， 为 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论； （2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过O作于F， 在 中，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 24. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元． （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？ 【答案】（1）销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元； （2）销售定价应为80元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出取各x值的月销售成本． （1）设销售单价涨x元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）利用月销售成本=每件的销售成本×月销售量，可分别求出取各x值的月销售成本，结合月销售成本不超过10000元，即可得出销售定价应为80元． 【小问1详解】 设销售单价涨x元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当销售单价涨10元或30元时，月销售利润能够达到8000元． 【小问2详解】 当时，月销售成本为，不合题意，舍去； 当时，月销售成本为，符合题意，此时． 答：销售定价应为80元． 25. 在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． （1）问题情境：如图 ，在 中，，，则 的外接圆的半径为________； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形 的内部作出一点 ，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） （3）迁移应用：已知，在 中，，，，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案； （2）作 的垂直平分线，交 于点O，以O为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求； （3）作 的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 的外接圆的半径为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图中，点P为所求． ∵点 在 的垂直平分线， ∴，， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 过点E， ∵， ∴， 【小问3详解】 解：如图，作 的外接圆， ∵，， 当时， 为最长弦，即直径， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 的取值范围为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 26. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为 表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 （____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1 【解析】 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为 的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为 表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为 的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为 表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴ ． 故答案为：1． 27. [发现问题] 爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点， 的半径为1，点．动点B在 上，连接，作等边 （A，B，C为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题] 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转 得，连接，求长的最大值． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以 为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以 为边作等边，请直接写出的最值． 【答案】（1），理由见解析；（2） ；（3）；（4）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，即可得解； （2）由题意可得，，再由三角形三边关系可得，从而得出当、 、 共线时，的值最大，即可得解； （3）连接，由旋转的性质可得，，将绕着点 顺时针旋转 得到，连接，则由旋转的性质可得，，，推出是等腰直角三角形，求出，结合线段的最大值等于线段的最大值得出当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为，即可得解； （4）以 为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点D在以 为直径的 上运动，由图可知，当点D在 上方，时，的值最大；欲求的最小值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图： ∵ 、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）∵ 的半径为1，点． ∴，， ∵， ∴当、 、 共线时，的值最大，最大为 ， ∴的最大值为 ； （3）如图，连接， ∵以P为旋转中心，把 逆时针旋转 得， ∴，， 将绕着点 顺时针旋转 得到，连接， 则由旋转的性质可得，，， ∴； ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵ ∴当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （4）如图，以 为边作等边三角形，连接 ， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可， 当M、D、O共线时，最小， 如图： ∵，O是 中点，是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 如图，以 为边作等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可， 由图可知，当点D在 上方，时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． 综上，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、圆和坐标与图形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋学期期中考试九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩分别是：92分，96分，90分，92分，85分，则下列结论正确的是（　　） A. 平均数是92 B. 中位数是90 C. 众数是92 D. 极差是7 3. 已知⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O有公共点（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 4. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为 ，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 小李的旅行箱密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 以 为中心点的量角器与直角三角板 按如图方式摆放，量角器的 刻度线与斜边 重合．点 为斜边 上一点，作射线 交弧 于点 ，如果点 所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在矩形 中， ，， 、 、 分别与相切于 、 、 三点，过点 作的切线交 于点 ，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知关于 的一元二次方程的一个根是 ，求方程的另一根是______． 10. 某招聘考试分笔试和面试两项，笔试按、面试按计算总成绩．若小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则小明的总成绩是____分． 11. 设 是方程的一个根，则______． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 _____． 13. 如图，正五边形内接于，点F在劣弧 上，则的度数为 _____°． 14. 学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为____． 15. 抛物线，当时， 的最小值是 _____， 的最大值是 _____． 16. 如图， 是半径为 的的弦，将弧 沿 将翻折后，恰好经过圆心 ，点 是翻折的弧 上的一动点；连接并延长交于C，点 为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 ；⊙P的半径为 ； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面积为 ． 21. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 22. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 23. 如图， 为的直径，点 是上一点，点 是外一点，，连接 交 于点 ． （1）求证： 是的切线． （2）若，求 的长度． 24. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元． （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？ 25. 在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． （1）问题情境：如图 ，在 中，，，则 的外接圆的半径为________； （2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形 的内部作出一点 ，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） （3）迁移应用：已知，在 中，，，，求 的取值范围． 26. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为 表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 （____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 27. [发现问题] 爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连接 ，作等边 （A，B，C为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题] 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边，连接 ． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段 外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转 得，连接，求长的最大值． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以 为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以 为边作等边，请直接写出 的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $