培优01解一元一次方程8大重难题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

培优01解一元一次方程8大重难题型 题型1利用合并同类项解解方程 1.合并同类项的意义 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为mx=n(m≠0)的简单形式，从 而更接近x=a(常数)的形式，便于求解. 2.合并同类项的依据：合并同类项的法则。 3利用合并同类项解一元一次方程的步骤 步骤1：合并同类项 步骤2：系数化为1 4.合并同类项的实质是根据乘法分配律，把同类项的系数相加，起到化简方程的作用 5.注意：(1)“系数化为1”使方程由mx=n(m≠0)变形为x=a(常数)，依据是等式的性质2. (2)像x,一y这样系数为1或一1的项，在合并同类项时不要漏掉 6.总结： (1)合并方程中的同类项时，要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变. (2)在系数化为1时，特别注意系数是负数时，符号不要出错， 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解下列方程： (1)． (2)． (3) (4) 3．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 题型2 利用移项解方程 1.定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫移项. 2.依据：等式的性质1. 3.移项解一元一次方程的一般步骤 移项→合并同类项→系数化为1. 4.注意：(1)方程中的项包括它前面的符号 (2)在解方程时，习惯上把含有未知数的项移到等 号的左边，不含有未知数的项移到等号的右边 (3)移项时一定要变号. 5.总结 移项的目的是将舍有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到方程的另一边，使 方程更接近于ax=b(a,b为常数，且a≠0)的形式。 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 6．解下列方程： (1)． (2)． 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型3 利用去括号解方程 1.方程中去括号的含义 当方程中含有括号时，根据乘法分配律，在解方程的过程中把含有的括号去掉就是方程中的去括号： 2.去括号法则 将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，与括号内各项相乘.当括号外的因数是正数时，去括号 后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；当括号外的因数是负数时，去括号后式子各项 的符号与原括号内式子相应各项的符号相反. 3.去括号的目的 与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(常数)的形式. 4.去括号时的“两点注意” (1)注意“十”“一”的改变，即括号前为正号时，去括号后各项不变号，括号前为负号时，去括号后各项 必变号； (2)去括号时，不要漏乘括号内的任何一项 8．解方程： (1) (2)． 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 11．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．代数式比代数式大，求x的值． 13．已知． (1)当取何值时，与互为相反数？ (2)当取何值时，比小2？ 14．原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） (1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ (2)写出正确的解答过程． 题型4 去分母解方程 1.方程中去分母的含义 当方程中未知数的系数为分数时，根据等式的性质2，将方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，约去分母的过程叫做方程中的去分母. 2.去分母的步骤 (1)找出各分母的最小公倍数： (2)方程两边同时乘这个最小公倍数，约去分母。 3.解一元一方程的基本步骤及依据 15．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 16．下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 17．若代数式比的值大，那么的值为 ． 18．已知，则方程的解为 ． 19．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 20．解下列方程：(1)； (2)． 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．解方程： (1)； (2)； (3)； 23．在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 题型5巧解分母为小数的一元一次方程 当方程的分母中含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，直接去分母会使运算烦琐.可以先 利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数，把小数化为整数，再求解 24．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 25．解方程：． 26．解方程：． 题型6巧解含多重括号的一元一次方程 系数有特色，求解要灵活 在解含多重括号的一元一次方程时，要根据方程各系数的特点，灵活选择运算步骤和运算方法，使 解过程更简便 27．解方程：； 28．解方程 (1) (2) 29．解方程： ． 题型7利用整体思想解一元一次方程 在解此类一元一次方程时，将一个式子作为一个整体来处理，这样可以使解题过程简便，达到事半功 倍的效果 30．在解方程3（x+1）-（x-1）=2（x-1）-（x+1）时，可以先不去括号，而把x+1，x-1分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得（x+1）=（x-1），再去分母，得3（x+1）=2（x-1），进而求解．这种解一元一次方程的方法叫做“整体求解法”．请你利用这种方法解方程：5-（2x+3）-（x-2）=2（x-2）+（2x+3）． 31．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 题型8巧解含绝对值的一元一次方程 在解含绝对值的一元一次方程时，要根据绝对值的性质（互为相反数的两个数的绝对值相等，，则x=±a），然后灵活选择运算步骤和运算方法，使解过程更简便 32．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 33．解方程：． 35．解方程：； 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程与方程的解相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列等式变形正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）当式子取最大值时，关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若与互为相反数，则 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）解方程时，去分母得 ． 9．（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 10．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为x，而A、B间的距离为8，则 ． 11．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，求 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解方程： (1) (2) 15．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 16．（25-26七年级上·重庆·开学考试）解方程： (1) (2) 17．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01解一元一次方程8大重难题型 题型1利用合并同类项解解方程 1.合并同类项的意义 将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为mx=n(m≠0)的简单形式，从 而更接近x=a(常数)的形式，便于求解. 2.合并同类项的依据：合并同类项的法则。 3利用合并同类项解一元一次方程的步骤 步骤1：合并同类项 步骤2：系数化为1 4.合并同类项的实质是根据乘法分配律，把同类项的系数相加，起到化简方程的作用 5.注意：(1)“系数化为1”使方程由mx=n(m≠0)变形为x=a(常数)，依据是等式的性质2. (2)像x,一y这样系数为1或一1的项，在合并同类项时不要漏掉 6.总结： (1)合并方程中的同类项时，要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变. (2)在系数化为1时，特别注意系数是负数时，符号不要出错， 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 2．解下列方程： (1)． (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据解一元一次方程的方法：合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）（2）（3）先合并同类项，然后系数化成1即可． 【详解】（1）解：合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型2 利用移项解方程 1.定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫移项. 2.依据：等式的性质1. 3.移项解一元一次方程的一般步骤 移项→合并同类项→系数化为1. 4.注意：(1)方程中的项包括它前面的符号 (2)在解方程时，习惯上把含有未知数的项移到等 号的左边，不含有未知数的项移到等号的右边 (3)移项时一定要变号. 5.总结 移项的目的是将舍有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到方程的另一边，使 方程更接近于ax=b(a,b为常数，且a≠0)的形式。 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程．根据移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项、合并同类项，得； （3）解：， 移项、合并同类项，得； （4）解：， 移项、合并同类项，得． 5．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】通过移项和合并同类项来求解未知数的值； 通过移项、合并同类项的步骤即可求解； 通过移项，合并同类项和系数化为即可求解； 通过移项，合并同类项和系数化为即可求解； 通过移项，合并同类项和系数化为即可求解； 通过移项，去分母，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：对于方程 移项，得： 合并同类项，得：． 故答案为：． （2）解：对于方程 移项，得： 合并同类项，得:． 故答案为：． （3）解：对于方程 移项，得： 合并同类项，得: 系数化为，得：． 故答案为：． （4）解：对于方程 移项，得： 合并同类项，得: 系数化为，得：． 故答案为：． （5）解：对于方程 移项，得： 合并同类项，得: 系数化为，得：． 故答案为：． （6）解：对于方程 去分母，得： 移项，得： 合并同类项，得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤：移项、合并同类项、系数化为，移项时要注意变号． 6．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后将的系数化为； （2）先移项，再合并同类项，最后将的系数化为． 【详解】（1）解：移项，得:． 合并同类项，得:． 系数化为，得:． （2）解：移项，得:． 合并同类项，得:． 系数化为，得:． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，掌握解方程的步骤是解题关键． 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）等式的两边同时减去，同时加上6，然后等式的两边同时除以2，就可得出答案； （2）等式的两边同时加上，然后等式的两边同时除以，就可得出答案； （3）等式的两边同时减去x，再同时加上1，然后等式的两边同时乘以2，就可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 题型3 利用去括号解方程 1.方程中去括号的含义 当方程中含有括号时，根据乘法分配律，在解方程的过程中把含有的括号去掉就是方程中的去括号： 2.去括号法则 将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，与括号内各项相乘.当括号外的因数是正数时，去括号 后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；当括号外的因数是负数时，去括号后式子各项 的符号与原括号内式子相应各项的符号相反. 3.去括号的目的 与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为x=a(常数)的形式. 4.去括号时的“两点注意” (1)注意“十”“一”的改变，即括号前为正号时，去括号后各项不变号，括号前为负号时，去括号后各项 必变号； (2)去括号时，不要漏乘括号内的任何一项 8．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可． （2）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． （3）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． （4）先去括号，再移项合并同类项，系数化成1，即可． 【详解】（1）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （4）解：∵， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 10．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）（2）（3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 11．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 解一元一次方程的一般步骤为去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据每个方程的结构，依次应用这些步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （2）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （3）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （4）解： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为:． 12．代数式比代数式大，求x的值． 【答案】 【分析】根据代数式比代数式大的数量关系列出方程，再通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解． 【详解】解：由题意，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是根据代数式的大小关系正确列出方程，再按照去括号、移项、合并同类项等步骤求解． 13．已知． (1)当取何值时，与互为相反数？ (2)当取何值时，比小2？ 【答案】(1)当时 (2)当时 【分析】（1）根据与互为相反数，列出关于的等式即可求出； （2）根据比小2，列出关于的等式即可求解． 【详解】（1）根据题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以16，得． 故当时，与互为相反数． （2）根据题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以4，得． 故当时，比小2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 14．原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） (1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________ (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；去括号时，未乘 (2)见解析 【分析】（1）根据去括号的法则判断即得答案； （2）根据去括号的法则、移项的法则、合并同类项的法则，即得答案； 【详解】（1）， ， 故答案为：一；去括号时，未乘． （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，去括号，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 题型4 去分母解方程 1.方程中去分母的含义 当方程中未知数的系数为分数时，根据等式的性质2，将方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，约去分母的过程叫做方程中的去分母. 2.去分母的步骤 (1)找出各分母的最小公倍数： (2)方程两边同时乘这个最小公倍数，约去分母。 3.解一元一方程的基本步骤及依据 15．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 16．下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可得解． 【详解】解：去分母，得，即， 所以错误开始于选项， 故选：． 17．若代数式比的值大，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 根据题意，列出一元一次方程，然后解一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 去分母得： 去括号得： 合并同类项，移项得： 系数化为得： 故答案为：． 18．已知，则方程的解为 ． 【答案】8 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，代到方程中求出的值． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 当，时，方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质和解方程的综合运用，根据非负数的性质求出、的值，然后解出方程的解． 19．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 20．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得∶， 化系数为1∶． 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母， 移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （3）解：     去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （4）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． 22．解方程： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 (4)． 23．在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 题型5巧解分母为小数的一元一次方程 当方程的分母中含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，直接去分母会使运算烦琐.可以先 利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数，把小数化为整数，再求解 24．在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （① ），得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． （② ），得． (1)小明的解题过程中，①处应填 ，解此步的依据是 ；②处应填 ； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的性质；系数化为1 (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：解： 原方程可变形为． ①去分母，得：． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． ②化系数为1，得 小明的解题过程中，①处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质；②处应填系数化为1； （2）解： 原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 25．解方程： 【答案】 【详解】解：原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 26．解方程：． 【答案】 【详解】解：方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 题型6巧解含多重括号的一元一次方程 系数有特色，求解要灵活 在解含多重括号的一元一次方程时，要根据方程各系数的特点，灵活选择运算步骤和运算方法，使 解过程更简便 27．解方程：； 【详解】解：方程为， 去括号可得，， 去分母可得，， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 解得， ∴方程的解为． 28．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题关键是掌握解方程的步骤，即：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 化简得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化成1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：． 29．解方程： ． 【答案】 【详解】去小括号，得， 去中括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 题型7利用整体思想解一元一次方程 在解此类一元一次方程时，将一个式子作为一个整体来处理，这样可以使解题过程简便，达到事半功 倍的效果 30．在解方程3（x+1）-（x-1）=2（x-1）-（x+1）时，可以先不去括号，而把x+1，x-1分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得（x+1）=（x-1），再去分母，得3（x+1）=2（x-1），进而求解．这种解一元一次方程的方法叫做“整体求解法”．请你利用这种方法解方程：5-（2x+3）-（x-2）=2（x-2）+（2x+3）． 【答案】x= 【分析】移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解：原方程可化为（2x+3）+（x-2）=5 去括号，得3x++x-7=5 移项、合并同类项，得x= 系数化为1，得x= 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即把2x+3和x-2分别当作一个整体来合并． 31．在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 题型8巧解含绝对值的一元一次方程 在解含绝对值的一元一次方程时，要根据绝对值的性质（互为相反数的两个数的绝对值相等，，则x=±a），然后灵活选择运算步骤和运算方法，使解过程更简便 32．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 33．解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 34．解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 35．解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程与方程的解相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元一次方程的解法求得题目中的方程的解，然后将所得解依次代入A、B、C、D的四个方程中，可以使得两边相等的方程即为所求的选项． 【详解】解： 移项合并同类项得： 系数化为得： 把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意； 把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意； 把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意； 把代入选项的方程：左边=，右边=，左边=右边，故选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程与方程及一元一次方程的解，能够根据题目所给的方程求得方程的解并掌握方程的解的定义是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解方程，再验证选项． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的解方程步骤． 3．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列等式变形正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据等式的性质和去括号法则解决问题． 【详解】A、∵，∴；故A选项不符合题意； B、若，则；故B选项不符合题意； C、若，则；故C选项不符合题意； D、若等式两边同乘6，则；故D选项符合题意． 故选：D． 4．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）当式子取最大值时，关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方数为非负数求出已知式子的最大值，以及此时的值，代入方程计算即可解答. 【详解】解：， 当式子取最大值时，， 即， 代入方程得，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，偶次方具有非负性，正确求解是解题的关键． 6．（2025·四川·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）若与互为相反数，则 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为与互为相反数，所以， 即， 解得：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）解方程时，去分母得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过寻找分母3和4的最小公倍数12，将方程两边同时乘以12以消除分母，得到去分母后的方程即可． 【详解】解：原方程为． 两边同时乘以12，得． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先根据新运算的规则把新运算转化为一般形式的运算，得到一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为x，而A、B间的距离为8，则 ． 【答案】或5 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用；由，间的距离为8，可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：或5． 11．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）学习卷中有一个方程“”中的“■”没印清晰，老师只是说：“■”是一个有理数．若该方程的解是，则“■”处的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入原方程求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：依题意，该方程的解是， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 根据绝对值的非负性求出x，y的值，进而代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ， 故答案为：2021． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）去括号，移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程： （1）先去括号，再移项，最后系数化为； （2）先去分母，再去括号，移项后合并同类项，最后系数化为． 【小题1】解：， ， ， ， 所以原方程的解是； 【小题2】解： ， ， ， ， 所以原方程的解是． 15．（25-26七年级上·山东东营·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．（25-26七年级上·重庆·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 17．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用． （1）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值； （2）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：（1）由题意得：， 方程两边同乘6，得 ， 去括号得： ， 移项，合并同类项得：， 解得：； （2）根据题意得， 去括号得： ， 移项合并同类项得：， 解得：． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）先根据新定义列出方程，再根据绝对值的意义，分类讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由 得： ， 即 ， 分类讨论： 若 ，则 ，方程为 ， ， 解得：（舍去） ， 若 ，则 ，方程为 ， ， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $