精品解析：福建省福州第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

福州三中2025—2026学年第一学期期中 高二数学试卷 命题：高二集备组 校对：刘佳欣 审核：黄炳锋 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上，要认真填涂准考证号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆长轴长的定义可求． 【详解】对于椭圆，焦点在y轴上，所以，即，长轴长为． 故选：A． 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】方程表示双曲线，需满足，据此推出m满足的范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法即可分析出正确选项． 【详解】方程，若表示为双曲线，则需满足，也即， 充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件； 必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件； 综上，“”是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线可化为， 当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点， 设圆的圆心为，半径， 当直线时，取得最小值，且最小值为， 此时弦长对的圆心角为，所以劣弧长为. 故选：B. 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 5. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系的相关性质逐项分析即可判断正确答案． 【详解】对于A，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行， 所以若，，则，故A错误； 对于B，若，，则与的位置关系可能是平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，，则与的位置关系可能是或，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面， 所以已知，，且，可得，故D正确． 故选：D． 6. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，进而求出目标值. 【详解】设等轴双曲线方程为，则， 双曲线，即的渐近线方程为，半焦距， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：C 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据向量共线的充要条件，可判断A正确；对于B：由，可判断B错误；对于C：若为锐角，则 且向量 不共线，解不等式即可求解；对于D：由模长公式计算即可分析判断. 【详解】对于A：若，则存在唯一实数使得即， 所以解得，所以.故A正确； 对于B：若，则，即.故B错误； 对于C：若为锐角，则 且 不共线，即即， 由A知当时，此时.故C正确； 对于D：若，则即，当时，故D错误. 故选：AC 10. 已知曲线：的两个焦点分别为，，点在上，且，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则 C. 若，则 D. 若，则的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于的大小范围不确定，焦点位置无法确定，进一步即可分析的取值情况；对于B，若是双曲线，则的焦点在轴上，根据双曲线几何意义求解即可；对于C，若，设，则，据此化简表达式，可得；对于D，若，则是双曲线，根据a、b、c的关系即可求解． 【详解】对于A，若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，则，故A错误； 对于B，若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，曲线是椭圆，易得，，， 因此焦点，， 设点在椭圆上，满足，整理得， 的斜率，的斜率， ，将代入上式， 得，并不恒等于，故C错误； 对于D：若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，在四边形中，，，， ，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由已知条件利用向量数量积运算得解；对B，在中，由余弦定理可得解；对C，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求得答案；对D，求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】对于A，如图，连接，由， 解得，又，所以，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得，， ，故B错误； 对于C，因为，，所以，， ，，， 在中，由正弦定理，，即 解得， 在中，由余弦定理可得， 即，则，故C正确； 对于D，在中，，，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在相应横线上． 12. 空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出在上的投影向量即可得解. 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： 13. 若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由点到直线距离公式，即可得出结果. 【详解】设的中点坐标为，因为，，所以， 又，分别在直线和上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因此原点到直线的距离，即为的中点到原点的距离的最小值； 由点到直线距离公式，可得：距离最小值为：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查求直线上的点到原点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 14. 已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，求得，，而以为直径的圆恰好经过点可得，据此求得直线MP的斜率，进一步得的值，再利用点差法求得，两者联立后代入离心率公式求解即可． 【详解】设，，则，，由得， 从而有，， 因为以为直径的圆恰好经过点，所以，所以， 又由得，则， 即，所以，所以． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：． （1）若直线被圆所截得的弦的中点为，求的方程； （2）设直线与圆相切，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）借助圆的垂径定理的推论求出直线的斜率，进而求出直线方程. （2）利用圆的切线性质及点到直线的距离公式列式求解. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径，显然点在圆内， 直线的斜率，由直线被圆所截得的弦的中点为， 得，因此直线的斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 由直线，即与圆相切，得， 所以或. 16. 中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）利用正弦定理、差角的正弦公式求解. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理得， 而，则，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 由正弦定理得，而为锐角，则， 所以. 17. 已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为. （1）求动点P的轨迹方程； （2）求面积的最小值. 【答案】（1）动点P的轨迹方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得动点P的轨迹方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况求得的范围，进而可求得面积的最小值. 【小问1详解】 设点，由动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1， 所以， 因为P不在直线l左侧，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以动点P的轨迹方程为； 【小问2详解】 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入方程，得， 所以，整理得， 因为直线与动点P的轨迹交于A、B两点，所以， 设，则， 所以 令，所以 ， 所以， 当斜率不存在时，直线方程为，所以， 此时，所以， 综上所述：，所以面积的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． （1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3） 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 由平面平面，得， 得， 得， 故存在点E，使得平面平面，此时． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及平面的一个法向量，利向量公式即可求解. （3）令，求出平面的法向量，再由两平面垂直得进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 则， 故二面角的余弦值为：． 【小问3详解】 略 19. 点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点. （1）设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值； （2）的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴. （ⅰ）求椭圆的离心率； （ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围. 【答案】（1）证明：依题意，. 设，则，， 所以， 所以， 又，所以，，所以， 所以，即为定值，且这个定值为. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由两点间距离公式（结合点在椭圆上）、点到直线距离公式表示出，两式相比即可得解； （2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得，另一方面结合已知以及椭圆定义得，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得的面积与的面积之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）解法一：依题意，， 设直线与轴交于点，因为轴，所以， 所以， 因为的内切圆与轴切于点， 所以， 又因为，解得 由（1）得，所以， 所以椭圆的离心率. 解法二：依题意，， 设直线与轴交于点，因为轴，所以， 所以， 因为的内切圆与轴切于点， 所以， 又因为，得 所以两式平方后作差，得对任意成立， 所以椭圆的离心率. 解法三：依题意，，因为轴，设点坐标为， 可求直线方程为， 则点到直线的距离， 即， 化简得，① 同理，由点到直线的距离等于，可得，② 将式①－②，得，则. 将代入式①，得， 化简得，得， 所以椭圆的离心率. （ⅱ）由，得，又，所以，， 所以椭圆的方程为. 根楛椭圆对称性，不妨设点在第一象限或轴正半轴上，即， 又，， 所以直线的方程为， 设直线与交于点，因为，所以， 的面积与的面积之比为， 令（），则， 当，，当，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 又因为，，， 所以的值域是，所以， 所以， 根据对称性，被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得的面积与的面积之比的表达式，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2025—2026学年第一学期期中 高二数学试卷 命题：高二集备组 校对：刘佳欣 审核：黄炳锋 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上，要认真填涂准考证号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的长轴长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 2. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 6. 等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若，则 10. 已知曲线：的两个焦点分别为，，点在上，且，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则 C. 若，则 D. 若，则的离心率为 11. 如图，在四边形中，，，， ，，则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在相应横线上． 12. 空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 13. 若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________． 14. 已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知圆：． （1）若直线被圆所截得的弦的中点为，求的方程； （2）设直线与圆相切，求的值． 16. 中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求，的值； （2）求的值． 17. 已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为. （1）求动点P的轨迹方程； （2）求面积的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． （1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点. （1）设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值； （2）的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴. （ⅰ）求椭圆的离心率； （ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $