精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

华东师大三附中2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 命题：陆小红 审题：朱晓妹 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则____________. 2. 关于的不等式的解集为____________. 3. 已知幂函数的图象过点，那么该幂函数的解析式为___________． 4. 若正实数，满足，则最大值是______． 5. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 6. 已知，，则__________.（结果用表示） 7. 不等式的解集为____________. 8. 已知对于任意，，则实数的取值范围为______. 9. 已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 10. 若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 11. 设命题方程有两个不相等正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 12. 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案. 13. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 函数与函数在同一平面直角坐标系中图像可能为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，函数过点、.若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 16. 估计的位数为（ ）位. A 609 B. 610 C. 611 D. 612 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知指数函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该海报面积不超过，求的取值范围； （2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？ 20. 设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 21. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大三附中2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 命题：陆小红 审题：朱晓妹 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分. 1. 已知集合，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接化分式不等式为整式不等式计算即可. 【详解】由得，即，解之得. 故答案为： 3. 已知幂函数的图象过点，那么该幂函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，再利用给定的点求出参数即可. 【详解】依题意，设， 由幂函数的图象过点，得，解得， 所以该幂函数的解析式为. 故答案为： 4. 若正实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 5. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 6. 已知，，则__________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 7. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 8. 已知对于任意，，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】易知当时符合题意，当时，根据一元二次不等式恒成立建立关于的不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，不等式对恒成立， 当时，不等式变形为，恒成立； 当时，对于方程， 有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 9. 已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 10. 若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题证明为假的方法，构造函数，根据函数最值情况，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】命题“任意，”为假命题，则在上，函数的最小值为非正数， 可知二次函数在上单调递减，所以在处取得最小值， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 11. 设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围____________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得命题，为真时的范围，根据题意可得命题，一真一假，分真假和假真两种情况，分别求解，综合即可得答案． 【详解】当命题为真时，有，解得． 当命题为真时，有，即，解得． 由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若真假，则，解得； 若假真，则，解得． 综上可得实数的取值范围是． 故答案为： 12. 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案. 13. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由可推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 14. 函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C 15. 已知，函数过点、.若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点在函数上化简得出，，再结合已知得出，最后由求值即可. 【详解】函数经过点、， 则，，解得，， 所以，又， 所以，因为，所以、， 所以，又因为，解得． 故选：B 16. 估计的位数为（ ）位. A. 609 B. 610 C. 611 D. 612 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）首先可判断，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，即，等价于， 解得，所以， 因为，由，解得， 所以， 当时，， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 已知指数函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【小问1详解】 设且， 由，可得，又，， . 【小问2详解】 由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 19. 厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围； （2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？ 【答案】（1） （2）20cm 【解析】 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出的取值范围； （2）设宣传单的面积为，，表达出，利用基本不等式求出面积最小值和的大小. 【小问1详解】 依题意可得， 即， 解得， 又∵， ∴， 故的取值范围为. 【小问2详解】 记宣传单的面积为，设，则， ∴， 当且仅当，即，等号成立， ∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为. 20 设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），，M的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. 【小问3详解】 由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 21. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以不是“一集合”． 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $