4.2.2 离散型随机变量的分布列及数字特征 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦离散型随机变量的分布列及数字特征，通过课前知识梳理填空回顾概念，结合课前思考（多选题得分方案分析）连接概率基础与实际应用，搭建从已知到未知的学习支架。 资料以合作探究为主线，典例与变式结合（如“巧合”个数分布列、小正方体抛掷问题），培养学生用数学眼光抽象现实问题，真题练习融入高考题，锻炼数学思维的推理与运算能力，课后实际问题设计助力用数学语言表达现实，提升核心素养。

离散型随机变量的分布列及数字特征 编写教师： 班级 姓名 厚德明志 博学笃行 《离散型随机变量的分布列及数字特征》 一、学习目标： 1.理解离散型随机变量的分布列及数字特征的概念及性质. 2.会求离散型随机变量的分布列及其概率. 3.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值和方差. 4.能运用离散型随机变量的均值和方差解决一些简单的实际问题. 二、学习重难点： 重点：1.求离散型随机变量分布列 2.根据分布列求离散型随机变量的均值和方差 难点：1.求离散型随机变量分布列 2.运用离散型随机变量的均值和方差解决一些简单的实际问题 三、课前知识梳理 知识点1：离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2、离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率____，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的___________ 3、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1） ； （2） ． 知识点2：离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2、均值的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．它们都可以度量随机变量取值与其均值的__________.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越____； 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形： 课前思考： 数学试题第11题为多选题，答案有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对这道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是。 方案一记：小明随机选择1个选项；方案二：小明随机选择2个选项； 请分析哪个方案对小明更有利？ 四、课上合作探究 合作探究一：求离散型随机变量的分布列 【典例1】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 【变式1】一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列 自主探究二：离散型随机变量的分布列的性质 【典例2】设随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则 ． 【变式2】设随机变量的分布为，则 ． 合作探究三：离散型随机变量的均值与方差 【典例3】一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 【变式3】如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.    (1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率； (2)设移动4次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望. 真题练习-命题洞见 1．（2024年全国Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 2．（2022年浙江省高考 ）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ． 五．课后巩固提升 1.已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知随机变量的概率分布为，则 3.设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 ①； ②当时，； ③若为等差数列，则；④的通项公式可能为． 其由所有正确命题的序号是 ． 4.假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的期望为 ． 5.已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为 ． 6.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是 ． 7.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ． 8.不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球次后游戏结束的概率记为，则 ；游戏结束后，总得分记为，则的数学期望 ． 9.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求比赛停止时已打局数的分布列。 10.袋子中装有5个白球和3个红球，现从袋子中不放回地摸取4个球，取到1个白球得2分，取到1个红球得1分，设摸球所得分数之和为随机变量． (1)求摸球得分不低于6分的概率； (2)求摸球所得分数之和的方差． 11.某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． (1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； (2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 12.在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 2 学科网（北京）股份有限公司 $