4.2.4随机变量的数字特征第2课时方差学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.4随机变量的数字特征（课时2）——方差 1、 学习目标 1. 理解离散型随机变量的方差及标准差的概念 2. 掌握二项分布的方差 3. 掌握离散型随机变量的方差的性质，能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题. 2、 重难点 重点：离散型随机变量的方差及标准差计算 难点：用离散型随机变量的方差解决一些实际问题 新知识导入 某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你来决定谁参加全运会，你会怎样决定？说明理由. 甲的环数X1 8 9 10 p 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10 p 0.2 0.6 0.2 计算得到，E(X1) = E(X2) = 9. 即如果仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加的. 怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？ 离散型随机变量X的方差 D(X) 也可用 DX 表示. 一般地，称为离散型随机变量X的标准差. 随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 三、知识梳理 1.离散型随机变量的方差：如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示. 因为X的均值为 E(X) ，所以 能够刻画X相对于均值的 （或波动大小），这称为离散型随机变量X的 .离散型随机变量X的方差 D(X) 也可用 DX 表示. 一般地， 称为离散型随机变量X的 ，它也可以刻画一个离散型随机变量的 （或波动大小）. 2.二项分布的方差：若 X 服从参数为 n ， p 的二项分布，即 X ~ B(n，p)，则由离散型随机变量方差的定义，可知方差为 . 3.方差的性质：若 X 与 Y 都是离散型随机变量，且 ，则由 X 与 Y 之间分布列的关系及 E(X) 与 E(Y) 之间的关系可知 ，即 .. 3、 例题讲解 例1 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X) . 例2 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 随着相关科技成果不断落地，人工智能技术与实体经济加速融合，助推传统产业转型升级，某公司利用人工智能技术推动产业转型升级，三个产业转型升级的指标值是随机变量，的可能取值为0，1，x，且，，. （1）求x和的值； （2）若，求和的值. 五、课堂练习 1.已知随机变量X服从二项分布，且，则( ) A.5 B.10 C.20 D.40 2.已知随机变量，则( ) A. B. C.1 D.2 3.已知随机变量，若，则( ) A. B.1 C.2 D.4 4.随机变量X与Y满足，若，则( ) A.8 B.5 C.4 D.2 5.已知随机变量X满足，，则( ) A.， B.， C.， D.， 6.若随机变量，则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 7.若随机变量，则__________. 8.若随机变量，且随机变量，则________. 六、课后练习 1.已知随机变量，若方差，则的值为( ) A. B. C. D. 2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.（多选）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为X，则( ) A. B. C.X的数学期望 D.X的方差 4.（多选）已知随机变量，且，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知随机变量，若，，则________. 6.设随机变量，，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_____________． 答案及解析 三、知识梳理 1.离散程度 方差 标准差 离散程度 2. 3. 四、例题讲解 例题1 解：因为 X 只能取1，0这两个值，而且 P(X=1)=p，E(X)=p 所以 例题2 解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布， 即X~B(50，0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98. (2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 例题3 解：（1）设，则，得， 又，解得. 所以. （2）因为，所以， 五、课堂练习 1.答案：A 解析：. 故选：A. 2.答案：B 解析：因为，所以. 故选：B. 3.答案：D 解析：由题意可得，解得， 所以 故选：D. 4.答案：A 解析：. 故选：A. 5.答案：C 解析：由，得，则； 由，得，因此. 故选：C. 6.答案：D 解析：因为随机变量， 所以，， 所以，，D项错误， 故选：D. 7.答案：1.6 解析：因为，所以. 故答案为：1.6. 8.答案：6 解析：已知随机变量，即，，将其代入方差公式可得: . 若（a、b为常数），则. 已知，即，，由步骤1可知， 将其代入上述公式可得:. 故答案为：6. 六、课后练习 1.答案：D 解析：由，得，解得或， 所以. 故选：D. 2.答案：A 解析：由二项分布的方差公式有， 解得：或. 而 即， 解得： 所以，从而. 故选：A 3.答案：ACD 解析：由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为X，即为5次取球取到白球的个数， 知，故A正确； ，故B错误； X的数学期望，故C正确﹔ X的方差，故D正确. 故选：ACD. 4.答案：AD 解析：A：因为随机变量，且，所以，故A正确; B：，故B错误; C：，故C错误; D：，故D正确; 故选：AD. 5.答案：/0.5 解析：因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 6.答案： 解析：因为，，则，解得或， 又，则，可得，则， 所以有5名男生．所以． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $