阅读学案02二项分布与正态分布在实际生活中的应用-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

课题：二项分布与正态分布在生活中的应用山东省 2024级高二年级阅读学案 编号：02 编制人： 审核人： ----------衔接教材选择性必修二4.2《二项分布与正态分布》 1、 阅读引导 1. 阅读的价值与意义 （1）理解数学的文化背景​ 通过阅读二项分布与正态分布的实际应用，体会概率统计并非抽象公式，而是源于真实场景的数学工具，感受数学知识从实践中来、到实践中去的发展脉络，理解数学在人类生产生活与社会发展中的重要地位。 （2）提升数学建模与问题解决能力​ 在阅读案例过程中，学会将实际问题转化为对应的概率模型，掌握 “提取信息-确定分布-计算概率-做出决策”的完整思路，提升数学抽象、数学建模与数据分析素养。 2. 阅读要求与方法建议 (1)目标导向阅读: 带着“二项分布用在什么场景、正态分布用在什么场景” 的问题阅读，明确每段文字要解决的实际问题，不孤立记忆概念。 (2)抓关键词句法: 圈画关键信息如:二项分布的 “两种结果、独立重复、固定概率”；正态分布的 “大量独立小因素、中间多两头少、均值与标准差”。 (3)案例对比法:边读边归类,体会哪些是二项分布案例（芯片合格、新生儿窒息、短视频点赞）；哪些是正态分布案例（身高体重、考试成绩、医学指标、零件尺寸）。 3. 检查方式 问题判断检查 给出实际情境（如抽检产品、学生成绩、医学指标），能快速判断应使用哪种概率模型，并简单说明理由。 思考与评价检查 能结合阅读内容，回答：两种分布如何帮助人们科学决策；数学在生活中的价值体现在哪里。 二、阅读目标 1.通过阅读学案，了解二项分布和正态分布在生产生活中的应用； 2.通过完成思考与评价，学会应用二项分布和正态分布概率模型解决相关的问题. 三、阅读内容 在统计学中，二项分布和正态分布是两种非常重要的概率分布模型。它们在各个领域都有着广泛的应用，从科学研究到日常生活决策，从经济金融到工业生产，帮助我们理解和预测各种现象和事件发生的概率，为决策提供科学依据。 （一）二项分布的应用 1.产品质量控制 在工业生产中，产品的质量是至关重要的。一批产品中合格产品的数量可以看作服从或近似服从二项分布。例如，一家电子厂生产某种芯片，已知芯片的合格率为 0.95。现在生产了1000片芯片，我们可以通过二项分布来计算出合格芯片数量的概率分布，从而确定在一定的置信水平下合格芯片数量的范围。如果实际生产中合格芯片的数量超出或低于这个范围，就可能意味着生产过程中存在问题，需要进行质量检查和改进。 2.仪器设备配置问题 例如，新生儿窒息在剖宫产手术中时有发生。据北京几家医院的记载，1 070例住院新生儿中有107例发生过新生儿窒息。抢救窒息的新生儿需要长时间使用呼吸机。若一家医院在一天平均接收10名新生儿，那么该院最好准备多少台呼吸机？其次，该院至少需要准备多少呼吸机，才能保证90%以上的概率满足使用？ [解析]设X为出现新生儿窒息的婴儿数，因此最可能值为(n+1)p=(10+1)×0.1=1.1, 即该院为应付最可能出现的情况应该准备1台。9 1 但是这不同于一般的工业生产，而是人命关天的大事，而且患儿又需要长时间使用，所以再计算如下： 因此，P(X≤2)=0.929 809 173。 因此，该院为了稳妥起见，最好购置2台呼吸机才能保证90%以上的概率够用。 类似的问题，在医学研究中，二项分布也经常被用来分析临床试验的结果。例如，在一项药物疗效的临床试验中，将患者随机分为两组，一组服用新药，另一组服用安慰剂。假设服用新药有效的概率为P，对几名患者进行试验后，有效的患者数量就服从二项分布。通过对试验结果的统计分析，我们可以判断新药是否具有显著的疗效，以及其疗效的可靠程度。这对于新药的研发和审批、临床治疗方案的选择等都具有重要的意义。 3.二项分布在短视频领域的应用 在短视频领域，二项分布可用于分析用户的行为。例如，分析某短视频在一定曝光量下的点赞情况。假设视频获得了10000次曝光，用户点赞的概率为5%，通过二项分布，可以计算出恰好有 500 次点赞的概率。还可以用于评估不同类型短视频的受欢迎程度。将展示每种类型的短视频视为一次试验，用户观看并喜欢为成功，不喜欢为失败。通过多次试验和二项分布的分析，了解用户对不同类型短视频的喜好倾向，为创作者提供创作方向和策略调整的依据。 在产品的质量控制、经济和科技中的预测和管理、决策等方面，通过二项分布，可以获得某一事件发生的概率大小，从而科学合理地实现人力、物力、财力等资源的优化配置，提高社会经济效益。 （二）正态分布的应用 正态分布是我们生活中最常见的一种分布，又称为常态分布。大量的实践经验和理论分析表明，自然界与工程技术中服从正态分布的随机变量是最常见的。诸如机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命，随机测量误差，人的身高、体重，农作物的收获量，健康人的白细胞数目，纤维的强力，炼铁厂每炉铁水的含碳量，学生考试分数，机床维修保养时间，某地区的年降雨量，炮弹弹落点的分布等，都可以看作是服从或近似服从正态分布。 数学和经验都证明：受大量、独立、均匀小效应影响的随机变量服从正态分布。在数理统计中用于统计推断的许多统计量，不管原分布是什么，只要样本容量 n 充分大，它都近似服从正态分布。某些统计量即使偏离了正态分布，只要偏离量不大，也可以按正态分布处理。因此，正态分布的应用是十分广泛的。 1.教育领域 在教育领域，学生的考试成绩往往近似服从正态分布。通过对学生成绩的统计分析，我们可以了解学生的整体学习水平、成绩的分布情况、教学质量等。 例如，我们可以计算出成绩的均值和标准差，根据正态分布的性质，大约 68%的学生成绩会落在均值加减一个标准差的范围内，大约 95%的学生成绩会落在均值加减两个标准差的范围内。通过比较不同班级、不同学校、不同年份的成绩分布情况，我们可以发现教学中存在的问题和不足，为教学改进提供依据。 2.医学领域 正态分布可用来估计医学参考值范围。参考值也称正常值，指正常人的各种解剖、生理和生化常数。由于个体指标的变异，参考值有一定的波动范围，因此一般采用参考值范围。有了参考值范围，在评价个体某指标值是否正常时就有了依据。在范围以内，则认为个体的该项指标正常；在范围以外，则认为该指标异常。 医学指标的参考值范围采用单侧还是双侧界值来界定，是根据医学专业知识来定的。例如白细胞过低或过高都属于异常，因此应采用双侧参考值范围，分别制定上限和下限界值；尿铅排出量过高才属于异常，因此应采用单侧参考值范围，只需要制定上限界值；肺活量过低才属于异常，因此应采用单侧参考值范围，只需要制定下限界值。医学指标的参考值范围的意义是指绝大多数正常人的变量值都在这个范围内，这个绝大多数习惯上是包括正常人的80%，90%，95%，99%等，而最常用的是95%。如果参考值范围采用95%，则在参考值范围之外正常人的变量值尚有5%，对于双侧界值，在上限界值和下限界值之外各有2.5%；对于单侧界值，在上限界值或下限界值之外有5%。若资料服从正态分布或近似分布，样本含量较大(比如n>100)，则可根据正态分布曲线下面积分布规律用公式计算。 二项分布和正态分布作为重要的概率分布模型，在生活中的各个领域都有着广泛的应用。通过对这些分布的深入理解和应用，我们可以更好地分析和解决实际问题，做出科学合理的决策。随着科技的不断发展和数据的大量积累，二项分布和正态分布的应用前景将会更加广阔。 三、思考与评价 1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图(如图)． (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量， 求Y的分布列． 2.　2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育(德、智、体、美、劳)”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4 000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为X． (1)分析发现，学生劳动常识竞赛成绩ξ～N(71,81)，试估计参加劳动技能过关考核的人数(精确到个位)； (2)某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为，通过后两关的概率均为，且每关是否通过相互独立，求X的分布列及数学期望． 附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0．682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0．954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0．997 3． 四、答案与提示 1.(1)质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)． (2)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝． 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且，P(Y＝k)＝， 所以P(Y＝0)＝ P(Y＝1)＝ P(Y＝2)＝ ． 2.(1)依题意，μ＝71，σ＝9，所以μ＋σ＝80，所以P(ξ>80)＝＝0．158 65， 所以估计参加劳动技能过关考核的人数为4 000×0．158 65＝634．6≈635． (2)依题意，X的可能取值分别为0,20,40,60,80,100． 因为P(X＝0)＝＝， P(X＝20)＝＝， P(X＝40)＝＝， P(X＝60)＝＝， P(X＝80)＝＝， P(X＝100)＝＝， X 0 20 40 60 80 100 P 所以X的分布列为 E(X)＝0×＋20×＋(80＋40)×＋(60＋100)×＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $