精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025---2026学年度第一学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的一般式确定其斜率，进而可求解. 【详解】由，可知直线斜率为， 即，所以， 故选：D 2. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知方程化为椭圆的标准方程，判断焦点位置，计算后即可求解. 【详解】由，得椭圆的标准方程为， 显然焦点在轴上，且. 所以焦点坐标为和. 故选：B. 3. 若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 5. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可． 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C. 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量法求线线角即可. 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:BCD. 10. 已知曲线，则下列选项正确的是（ ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的一个顶点为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设方程所表示的曲线列不等式求参数范围判断A、B；代入的值得到具体曲线，由方程可求离心率或顶点可判断C、D. 【详解】对于A：若曲线表示椭圆，则， 解得，故A错误； 对于B：若曲线表示双曲线，则，解得或，即，故B正确； 对于C：若，则，，离心率，故C错误； 对于D：若，则，焦点在轴上，令得，，顶点为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的方法化简已知条件，从而求得与的夹角. 【详解】设与的夹角为， 所以根据， ， 即， 又，． 故答案为： 13. 已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是________． 【答案】16 【解析】 【分析】由双曲线的定义可得答案. 【详解】由双曲线方程得，， 由双曲线的定义得，① ，② ①＋②，得， 所以． 故答案为：16. 14. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法求解动点的轨迹方程，以及中点公式等知识点，即可求解. 【详解】由题意，设， 则，所以，代入圆的方程， 整理得，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点． （2）经过，两点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出椭圆的焦点，根据焦点相同的条件设椭圆方程，再代入已知点求解； （2）设椭圆方程，代入两点坐标得到方程组，解方程组求出参数即可． 【小问1详解】 椭圆方程为：，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为：， 椭圆经过点， ，化简得，解得或（小于1，舍去）， 所求椭圆方程为：． 【小问2详解】 设所求椭圆方程为， 椭圆经过，两点， ，解得， 所求椭圆方程为：． 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，． （1）用、、表示，； （2）求的长度． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）首先用、、表示，再根据向量数量积的运算律计算可得； 【小问1详解】 解： ； 即， 【小问2详解】 解：因为 ，，，，，， 所以 所以，即 17. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设直线的截距式方程，再把已知点代入方程求出的值，从而得到直线方程. （2）先设圆的标准方程，根据圆经过原点和点以及圆心在直线上这三个条件列出方程组，然后求解方程组得到、、的值，进而得到圆的方程. 【小问1详解】 设直线的方程为（）， 因为直线过点，将点的坐标代入直线方程可得， 化简方程即，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过原点和点， 将原点坐标代入圆的方程可得， 将点代入圆的方程可得， 又因为圆心在直线上，所以， 由和相减可得： ，即， 联立方程，解得，， 把，代入得， 所以圆的方程为. 18. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 【答案】（1）证明：法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 【点睛】 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 【答案】（1） （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，， 而，则． ， 又，即， ∴为定值． （ii）由消去x，得，① ， 由①得，，又， 则 ， 解得（舍）或，满足， 因此直线PQ的方程为，∴直线PQ过定点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率即可求解； （2）（i）根据两点斜率公式即可代入化简求解，（ii）联立直线与椭圆的方程，可得韦达定理，即可结合化简求解定点. 【小问1详解】 由椭圆C过点得， 又离心率为，即，则，∴． ∴椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025---2026学年度第一学期期中考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的一个焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 已知，直线，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 斜率相等的两直线平行 10. 已知曲线，则下列选项正确的是（ ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的一个顶点为 11. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 13. 已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是________． 14. 已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点． （2）经过，两点． 16. 已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，． （1）用、、表示，； （2）求的长度． 17. 已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等，且过点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过原点和点，且圆心在直线上，求圆的方程. 18. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $