精品解析：黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷（一）

高一数学试卷（一） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若存在，使得成立，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 4. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（ ）． A. 第一种 B. 第二种 C. 都一样 D. 与物品价格有关 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. [0，1] 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知是定义在上偶函数，当时，，则（ ） A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）． A. 若，，则的图象经过四个象限 B. 若，则图象经过三个象限 C. 若，，则的图象能经过第四象限 D. 若，则的图象能经过第一象限 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 已知集合，则集合A有7个真子集 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”必要不充分条件 C. 若函数的定义域为，则其值域为 D. 若，则 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”，已知，以下说法正确的是（ ）． A. 为“准奇函数” B. 函数图象关于点对称 C. D. 函数的最大值与最小值的和为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合.若，则______. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 18 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 19. 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷（一） （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用补集和交集的概念进行求解，得到答案. 【详解】全集，，故， 由韦恩图得图中的阴影部分表示的集合为. 故选：A 2. 命题：，的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题否定的结构即可求解. 【详解】，否定是，， 故选：D 3. 若存在，使得成立，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 4. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的购买方案，第一种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品单价的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购买方案更实惠（ ）． A. 第一种 B. 第二种 C. 都一样 D. 与物品价格有关 【答案】D 【解析】 【分析】设两次购买此种商品的单价分别为，，方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y，再结合基本不等式计算方案二的平均单价的最大值，即可判断. 【详解】设两次购买此种商品的单价分别为，， 方案一中每次购买这种物品数量为x，方案二中每次购买这种物品所花的钱数为y， 其中，，x，y均为正数， ∴方案一的平均单价为； 方案二的平均单价为， 当且仅当时取等号， 所以当相等时，两种方案一样， 当时，第二种购买方案更实惠． 综上，哪种购买方案更实惠与物品价格有关. 故选：D． 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. [0，1] 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 即， 则， 所以， 解得：， 所以函数的定义域为， 故选：A 7. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，然后代入求解，最后利用偶函数性质求解即可. 【详解】由，解得，则. 所以，因为是定义在上的偶函数，所以. 故选：D 8. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）． A. 若，，则的图象经过四个象限 B. 若，则的图象经过三个象限 C. 若，，则的图象能经过第四象限 D. 若，则的图象能经过第一象限 【答案】D 【解析】 分析】根据函数过点，，进而根据函数图象平移变换依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵，∴的图象过点， 又， 对于A，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故正确； 对于B，若，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确； 对于C，若，，则，，函数的图象由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图，故正确； 对于D，若，则，，函数图象由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，如下图，故错误； 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ）． A. 已知集合，则集合A有7个真子集 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. 若函数的定义域为，则其值域为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由真子集的概念可判断A，由方程有一个正根和一个负根，得到，即可判断，由，通过换元，化为，进而可判断，通过配凑可判断D. 【详解】对于A，集合，集合A的真子集有，，共3个，A错误； 对于B，方程有一个正根和一个负根， 则，若则，但若，则不一定成立， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确； 对于C，， 令，则原函数化为， ∵，∴，由二次函数的图象可知， 当时，取得最小值，当时，取得最大值1， ∴，∴， ∴原函数的值域为，C错误； 对于D，∵， ∴，D正确． 故选：BD． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可逐项判断. 【详解】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 对于函数，若存在常数a，b，使得函数为“奇函数”，则称函数为“准奇函数”，已知，以下说法正确的是（ ）． A. 为“准奇函数” B. 函数的图象关于点对称 C. D. 函数的最大值与最小值的和为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】令并确定函数为奇函数，利用定义判断A；利用中心对称的意义及性质判断BCD. 【详解】函数的定义域为，设，则， 对于A，由，得为奇函数，则为“准奇函数”，A正确； 对于B，由为奇函数，得， 则，函数的图象关于点对称，B错误； 对于C，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称， 故，则，又， 因此 ，C正确； 对于D，由B选项的分析可知，函数的图象关于点对称， 故函数的最大值与最小值的和为6，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 【答案】24 【解析】 【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 14. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过x的最大整数，例如，，.现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义，分析的取值范围，结合图象，得出的最值情况确定的取值范围. 【详解】设，则，得. ， 令，则， 所以，得， 又既有最大值又有最小值， 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值和最小值，符合题意； 当时，的图象如图所示， 在上有最大值，无最小值，不符合题意； 综上，，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，再由真子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. （3）由命题“，则”是真命题可得，分类讨论和，再由子集的定义列不等式，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以或. 【小问2详解】 由“”是“”充分不必要条件，得是的真子集， 又，， 因此或， 解得:. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 命题“，则”是真命题，则有, 当时，，解得，符合题意，因此 当时，而， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 16. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； 【小问2详解】 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． （1）求的值； （2）试判断的单调性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【小问1详解】 令，得，解得； 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 18. 设函数，，. （1）求函数的值域； （2）若对，，使得成立，求实数的取值范围； （3）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，借助二次函数求出值域. （2）根据给定条件，转化为求出函数在指定区间上的最小值即可. （3）求出函数的单调区间，再分类讨论并结合一元二次方程实根分布求解. 【小问1详解】 令，则，于是， 而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为. 【小问2详解】 当时，，当时，设， 在上递增，则， 因对，，使得成立，可得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数在上递减，在上递增， 设是一个优美区间，则或， 当时，有，则方程，即有两个不等的非负根， 设方程两根分别为，由，得， 又由，得，因此； 当时，有，则，两式相减得，因，则 于是，则方程，即有两个不等的非正根， 由，解得，又，可得，因此， 综上可得：实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的值域，函数不等式恒成立和函数新定义问题，属于难题. (1)对于函数值域问题，换元法是常用技巧，将复杂函数转化为熟悉的二次函数，再利用二次函数性质求解. (2)解决函数不等式恒成立或存在性问题，关键是转化为函数最值比较问题. (3)对于函数 “优美区间” 这类新定义问题，先分析函数单调性，再根据定义建立方程或方程组，结合一元二次方程知识求解. 19. 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. （1）若，证明二维形式的权方和不等式：. （2）已知，，求的最小值. （3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】（1）证明见解析； （2）60； （3）解法不正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【小问1详解】 证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. 【小问2详解】 ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. 【小问3详解】 这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $